М.И. Векслер, Г.Г. Зегря
УравненияМаксвелла для электростатики имеют вид:
/> = ρ
/> =
/>
Приэтом
/> (4)
Ввакууме ε = 1, так что
/> (5)
Потенциалφ считается равным нулю на бесконечности, если не
оговорено иное.
Векторныеоператоры (grad, div, rot), фигурирующие в уравнениях
Максвелла, по-разномузаписываются в различных системах
координат:
/> =
/> (6)
/> (7)
/> (8)
/> =
/> (9)
/> (10)
/> (11) Δ φ =
/> (12)
/> (13)
/> (14)
Дляцилиндрической и сферической систем выписана лишь радиальная
частьсоответствующих операторов. Этого достаточно для решения
задач, в которых электрическиевеличины зависят только от r.
/> =
/> (15)
Задача.Электрическое поле зависит только от координаты x согласно
формуле />. Требуется вычислитьраспределение заряда ρ(x) и
распределение потенциала φ(x). Принахождении φ(x) принять φ|x = 0 =
0.
Решение:Распределение заряда находится непосредственно из уравнения
Максвелла: ρ =
/> ρ =
/>
Длянахождения потенциала φ(x) необходимо интегрирование уравнения
(4), причемс обоснованно взятыми пределами, а именно от точки x =
x*, в которой φ(x*)= 0 до точки x, в которой ищется потенциал:
/>
Вусловии сказано, что φ(0) = 0 — это и диктует выбор нижнего
предела:
/>
Вкачестве переменной интегрирования мы используем />, чтобы
избежатьпутаницы с x. Теперь мы проводим вычисление и приходим к
окончательному ответу:φ(x) =
/> =
/>
Задача.В некоторой области распределение потенциала
являетсяцилиндрически-симметричным и подчиняется закону φ = α r5,
где r — расстояниеот оси. Найти Er(r) и ρ(r) для этой области.
Ответ:Er(r) = –5α r4, ρ(r) = –25ε0α r3
Задача.Потенциал внутри шара зависит от координаты r как φ(r) =
ar2+b (a, b — константы).Найти ρ(r).
РешениеМы имеем дело со сферической системой и должны работать в
ней. Ввиду симметрии,электрическое поле направлено от центра шара
(или, вообще говоря, к нему — этозависит от знака a). Поле находим
как градиент потенциала:
/>
Послеэтого сразу записывается />(у нас ε = 1):
/>
Далееиспользуем уравнение Максвелла для нахождения заряда:
/>
Задача.В цилиндрической системе имеется электрическое поле />,
α>0. Выяснить, какомураспределению заряда ρ(r) и какому
потенциалу φ(r) такое полесоответствует.
Ответ:ρ(r) = Aε0exp(–α r)(2–α r), />
Задача.Проверить, выполняется ли критерий потенциальности (/>)
дляполя />и для поля />.
Ответ:Для первого поля — да, для второго — нет.
Список литературы
1.И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство
БИНОМ, 1998. — 448с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. — 416 с.
2.В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике
(под ред. М.М.Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. — 503 с.
3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. т.8
Электродинамика сплошных сред, 2-е изд., М.:Наука, 1992. — 661
с.
Дляподготовки данной работы были использованы материалы с сайта
edu.ioffe.ru/r