- Lektsia - бесплатные рефераты, доклады, курсовые работы, контрольные и дипломы для студентов - https://lektsia.info -

Уравнения с параметрами

Введение
Глава 1.
§1.Теоретические  основы  решения  уравнений  с  параметрами.
§2. Основные виды  уравнений  с параметрами.
       Глава 2.
       §1. Разработка  факультативных  занятий  по  теме.
        Заключение.
ВВЕДЕНИЕ
           
            Главной  целью  факультативных  занятий по математике  являются  расширение  и  углубление  знаний, развитие  интереса учащихся  к  предмету, развитие  их  математических  способностей. Процесс обучения  строится  как  совместная  исследовательская  деятельность  учащихся.
            Большую  роль  в  развитии  математического мышления  учащихся  на  факультативных  занятиях  играет  изучение  темы «Уравнения  с  параметрами». Вместе  с  тем  изучение  этой  темы  в школьной  программе  не  уделено  достаточного  внимания. Интерес  к  теме объясняется  тем, что  уравнения  с  параметрами  предлагаются  как  на школьных  выпускных  экзаменах, так  и  на  вступительных  экзаменах  в  вузы.
            Целью  курсовой  работы  является ознакомление  учащихся  с  теоретическими  основами  решения  уравнений  с параметрами, основными  их  видами  и  рекомендациями  к  решению.
ГЛАВА 1
§1. Теоретические основы  решения  уравнений  с  параметрами.
Рассмотрим уравнение
F(х,у, ..., z; α,β,  ..., γ) =0                   (F)
с неизвестными х,у, ..., z и с параметрами α,β,  ..., γ; при всякойдопустимой системе значений параметров α0,β0, ..., γ0 уравнение (F) обращается в уравнение
F(х,у, ..., z; α0,β0,  ..., γ0)=0                (F0)
с неизвестными х,у,..., z, не содержащее параметров. Уравнение (Fo) имеет некотороевполне определенное множество (быть, может, пустое) решений.
Аналогично рассматриваются системы уравнений,содержащих параметры. Допустимыми системами значений параметров считаютсясистемы, допустимые для каждого уравнения в отдельности.
Определение.Решить уравнение (или систему), содержащее параметры, это значит,для каждой допустимой системы значений параметров найти множество всех решенийданного уравнения (системы).
Понятие  эквивалентности  применительно  к уравнению, содержащим  параметры, устанавливается  следующим  образом.
Определение.Два уравнения (системы)
F(х,у, ..., z; α,β,  ..., γ) =0 (F),
                    Ф (х, у, ..., z; α,β,  ..., γ)=0 (Ф)
с неизвестным х, у,..., z и с параметрами α,β, ..., γ называются  эквивалентными, если для обоих уравнений (систем)множество допустимых систем значений параметров одно и то же и при всякой допустимойсистеме значений, параметров оба уравнения (системы уравнений) эквивалентны.
Итак,эквивалентные уравнения при всякой допустимой системе значений параметровимеют одно и то же множество решений.
Преобразованиеуравнения, изменяющее множество допустимых систем значений параметров, приводитк уравнению, не эквивалентному данному уравнению.
Предположим,что каждое из неизвестных, содержащихся в уравнении
F(x,у,,z; α,β,  ..., γ)=0 (F)
задано в виде некоторой функции от параметров: х =х(α,β,  ..., γ);
                                                                                     у =  у(α,β,  ..., γ);….
                                                   z=z (α,β,  ..., γ).  (Х)
      Говорят,что система функций (Х), заданных совместно, удовлетворяет уравнению (F),если при подстановке этих функций вместо неизвестных х, у,..., z вуравнение (F) левая его часть обращается в нуль тождественно при всехдопустимых значениях параметров:
    F(x(α,β, ..., γ), y(α,β,  ...,γ),…,z (α,β,  ..., γ)≡0.
       При  всякой  допустимой системе  численных  значений  параметров  α = α0,β=β0, ..., γ= γ0 соответствующие  значения функций  (Х)  образуют  решение  уравнения
F(х, у, ..., z;α0,β0,  ..., γ0) =0
§2. Основные  виды уравнений  с  параметрами .
Линейные и квадратные  уравнения.
            Линейное  уравнение,записанное  в  общем  виде, можно  рассматривать  как  уравнение  с  параметрами:  ах = b, где  х – неизвестное, а,b – параметры. Для  этого  уравнения особым  или  контрольным  значением  параметра  является  то,  при  котором обращается  в  нуль  коэффициент  при неизвестном. 
            При  решении линейного  уравнения  с параметром  рассматриваются  случаи, когда  параметр  равен своему  особому  значению  и  отличен  от  него.
            Особым  значением параметра  а  является  значение  а = 0.
1. Если  а ≠ 0, то при  любой  паре  параметров  а   и  b  оно  имеет единственное  решение  х = />.
2. Если  а = 0, то уравнение  принимает  вид: 0 х = b. В этом  случае  значение  b = 0  является  особым значением  параметра  b.  
2.1.   При b ≠ 0 уравнение  решений  не  имеет.
2.2.   При b = 0  уравнение  примет  вид: 0 х = 0.Решением  данного  уравнения  является  любое  действительное  число.
    П р и ме р. Решим уравнение
2а(а — 2) х=а — 2. (2)
Р е ш е н ие. Здесь контрольными будут те значения параметра, при которых коэффициент при хобращается в 0. Такими значениями являются а=0 и а=2. Приэтих значениях а невозможно деление обеих частей уравнения накоэффициент при х. В то же время при значениях параметра а≠0,а≠2 это деление возможно. Таким образом, целесообразно множество всехдействительных значений параметра разбить на подмножества
A1={0},А2={2} и Аз= {а≠0, а≠2}
и  решить уравнение (2) на каждомиз этих подмножеств, т. е. решить уравнение (2) как семейство уравнений,получающихся из него при следующих значениях параметра:
1) а=0  ;    2) а=2  ;    3) а≠0, а≠2
Рассмотрим этислучаи.
1) При а=0уравнение(2) принимает вид 0 х= — 2. Это уравнение не имеет корней.
2) При а=2уравнение (2) принимает вид 0 х=0. Корнем этого уравнения является любоедействительноечисло.                                                                                  
3) Приа≠0, а≠2  из уравнения (2) получаем, х=  />
откуда х=  />.
0 т в е т: 1) если а=0,то корней нет; 2) если а=2, то х — любое действительное число;                                           3)  если а≠0,а≠2, то  х= />
    П р и ме р. Решимуравнение
(а — 1) х2+2(2а+1) х+(4а+3) =0; (3)
Ре ш е н и е. В данном случае контрольным является значение a=1. Дело втом, что при a=1 уравнение (3) является линейным, а при а≠ 1оно квадратное (в этом и состоит качественное изменение уравнения). Значит,целесообразно рассмотреть уравнение (3) как семейство уравнений, получающихсяиз него при следующих значениях параметра:    1) а=l; 2) а≠1.
Рассмотримэти случаи.
1)При a=1 уравнение (3) примет вид бх+7=0. Из этого
         уравнения находим х= — />.
2)Из множества значений параметра а≠ 1 выделим те значения, прикоторых дискриминант уравнения (3) обращается в 0.
Дело в том, что если дискриминант D=0 при а=ао, топри переходе значения D через точку аодискриминантможет изменить знак (например, при аDа>аоD>0). Вместе сэтим при переходе через точку ао меняется и число действительныхкорней квадратного уравнения (в нашем примере при акорнейнет, так как Dа>аоD>0 уравнение имеет два корня). Значит, можно говорить окачественном изменении уравнения. Поэтому значения параметра, при которыхобращается в 0 дискриминант квадратного уравнения, также относят к контрольнымзначениям.
Составимдискриминант уравнения (3):
/> =(2а+ l)2 — (а —1) (4а+3). После упрощений получаем /> = 5а+4.
Из уравнения /> =0находим а= /> — второеконтрольное значение параметра а. При
/>этом если а />, то D a≥ />, ,то  D≥0.
                                                            a ≠ 1
Такимобразом, осталось решить уравнение (3) в случае, когда  а/>и  в  случае, когда  { a≥ />, a ≠ 1 }.
Если  а/>,  то  уравнение  (3) не  имеет  действительных корней; если  же
{ a≥ />, a≠ 1 }, то  находим  />
Ответ: 1) если  а/>,  то  корней  нет ; 2)если а= 1,  то  х = -/> ;
/>           3)    a ≥ />,    то               />     
                    a ≠1               
Дробно-рациональные уравнения  с  параметрами, сводящиеся  к  линейным.
            Процесс решения дробных уравнений протекает пообычной схеме: дробное уравнение заменяется целым путем умножения обеих частейуравнения на общий знаменатель левой и правой его частей. После чего учащиесярешают известным им способом целое уравнение, исключая посторонние корни, т. е.числа, которые обращают общий знаменатель в нуль. В случае уравнений спараметрами эта задача более сложная. Здесь, чтобы исключить посторонние корни,требуется находить значение параметра, обращающее общий знаменатель в нуль, т.е. решать соответствующие уравнения относительно параметра.
    П р и м ер. Решим уравнение
                           
                                        /> (4)
Р е ш е н и е.Значение а=0 является контрольным. При a=0 уравнение (4) теряетсмысл и, следовательно, не имеет корней. Если  а≠0, то послепреобразований уравнение (4) примет вид:
х2+2 (1 — а)х +а2 — 2а — 3=0. (5)
Найдем дискриминант уравнения (5)
/>= (1 — a)2 — (a2 — 2а — 3) = 4.
Находим корни уравнения (5):
х1=а + 1,   х2 = а — 3.
При переходеот уравнения (4) к уравнению (5) расширилась
область определения уравнения (4), что могло привести кпоявлению посторонних корней. Поэтому необходима проверка.
П р о в е р к а. Исключим из найденныхзначений х такие, при которых х1+1=0, х1+2=0,х2+1=0, х2+2=0.
Если  х1+1=0,т. е. (а+1)+1=0, то а= — 2. Таким образом, при а= — 2 х1— посторонний корень уравнения (4).
Если х1+2=0,т. е. (а+1)+2=0, то а= — 3. Таким образом, при а= — 3x1 — посторонний корень уравнения (4).
Если х2+1 =0,т. е. (а — 3)+1=0, то а=2. Таким образом, при а=2х2 — посторонний корень уравнения (4)'.
Если х2+2=0, т.е. (а — 3)+2=0, то а=1. Таким образом, при а= 1 х2— посторонний корень уравнения (4).
Для облегчения выписывания ответасведем полученные результаты на рисунке.

/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>            только х2   только х2       корнейнет    только х1  только х1
           х1,2             х1,2                       х1,2                х1,2           х1,2             х1,2                              
/> 

/>                                     
                      -3           -2                            0            1             2                                 а
 
В соответствии с этойиллюстрацией при а= — 3 получаем х= — 3 — 3= — 6;
при a= — 2 х= — 2 — 3= — 5; при a=1   х=1+1=2;   при a=2    х=2+1=3.
Итак, можно записать
От в ет: 1) если a= — 3,то х= — 6; 2) если a= — 2, то х= — 5; 3) если a=0,то корней нет; 4) если a= l, то х=2; 5) если а=2, то х=3;
6) если   а≠-3  ;
               а≠-2  ;
               а≠ 0  ;    то  х1 = а + 1,
               а≠1  ;           х2 = а – 3.
               а≠2,
Иррациональные уравнения  с  параметрами.
Существует  несколько  способов  решения  иррациональныхуравнений  с  параметрами. Познакомимся  с  ними, разобрав  следующий  пример.
    П р и м ер. Решить  уравнение   х — /> = 1. (6)
     Решение:
               Возведем  в  квадрат  обе  части иррационального  уравнения  с  последующей проверкой  полученных  решений.
Перепишем  исходное  уравнение в  виде:
/>= х – 1    (7)
При  возведении  в  квадрат  обеих  частей  исходного уравнения  и  проведения  тождественных  преобразований  получим: 
2 х2– 2х + (1 — а) = 0, D = 2а– 1.
Особое  значение: а = 0,5. Отсюда :
1)   при  а > 0,5  х1,2 = 0,5 ( 1 ± />);
2)   при  а = 0,5  х = 0,5  ;
3)   при  а
Проверка:
1)   при  подстановке  х = 0,5  в  уравнение  (7), равносильное исходному, получим  неверное  равенство. Значит, х = 0,5  не  является решением  (7)  и  уравнения  (6).
2)   при   подстановке  х1 = 0,5 ( 1 ± />) в  (7)  получим:
-0,5( 1 + />) = /> – ( 0,5 ( 1 — />))2
      Так как  левая  часть  равенства  отрицательна, то  х1  не удовлетворяет  исходному  уравнению.
3)   Подставим  х2  в  уравнение (7):
                                          />= />
Проведя равносильные  преобразования, получим:
Если   />, то  можно  возвести полученное  равенство  в  квадрат:
                                 />
Имеем  истинное  равенство  при условии, что/>
Это  условие  выполняется, если а≥1. Так  как  равенство  истинно  при а ≥1, а  х2 может  быть  корнем  уравнения  (6)  при  а > 0,5, следовательно, х2– корень  уравнения  при а ≥1.  
Тригонометрические уравнения.
            Большинство  тригонометрических уравнений  с  параметрами  сводится к  решению  простейших  тригонометрических уравнений  трех  типов. При  решении  таких  уравнений  необходимо  учитывать ограниченность  тригонометрических  функций            у = sin x   и  y = cos x.Рассмотрим  примеры.
Пример. Решить уравнение: cos />=2а.
Решение: Так как Е(соs t)=[-1;1], то имеем два случая.
1. При |a|> 0,5 уравнение не имеет решений.
2. При |a|≤0,5  имеем:
 
а) />=arccos2a+2πn. Так как уравнение имеет решение, если arccos2а+2πn≥0,то n может принимать значения n=0, 1, 2,3,… Решением уравнения является х = 1+(2πn+аrссоs2а)2
б) />=-аrссоs2а+πn. Так какуравнение имеет решение при условии, что            -аrссоs2а+2πn>0, то n=1,2, 3,..., и решение уравнения. х=1+(2πn-arccos2a)2.
Ответ: если |a| > 0,5,решений нет;
если |a| ≤0,5 , х= 1+(2πn+аrссоs2а)2при n =0, 1, 2,… и х=1+(2πn-arccos2a)2 при        n/>  N.

Пример. Решить уравнение:  tg ax2 =/>
Решение:.
      ах2 = />+πn, n/>  Z
Если коэффициент при неизвестномзависит от параметра, то появляется особое значение параметра. В данном случае:
1. Если а=0,то уравнение не имеет решений.
2. Если а/> 0, то х2= />, n/>  Z
              Уравнение  имеет  решение, если  />≥0. Выясним, при каких  значениях  n 
               и  а  выполняется  это  условие:
               />≥0 />/>
              откуда   n ≥ />   и а > 0  или  n ≤ />  и  а
              Итак, уравнение  имеет  решение  х = ±  />,если
                 1) а > 0    и  n = 1,2,3,…   или
                  2)а n/>  Z.
              Ответ: при  а = 0  решений  нет;
                          при  а > 0    и  n = 1,2,3,…   или  аn/>  Z  х = ±  />.
Пример.  Решите  уравнение:  аsin bx= 1
Решение:  Особое  значение параметра  а: а = 0.
1.   При  а = 0  решений  нет.
2.   При  а />0 sin bx= />. Имеем  2 случая:
2.1. Если  /> > 1, то  решений  нет.
2.2. Если  /> ≤ 1, то  особое значение  b = 0:
      2.2.1.Если  b = 0, то  решений  нет.
                                        2.2.2. Если  b />0, то  х = />    
Ответ:   при  а = 0   или /> > 1   и  а />0   или  а />0   b= 0    решений  нет;
              при  а />0   и  /> ≤ 1  и  b />0   х = />    
Показательные   уравнения  с  параметрами.
            Многие показательные  уравнения  с  параметрами  сводятся  к  элементарным  показательным уравнениям  вида  а f (x) = bφ(х)  (*), где  а > 0, b > 0.
            Область  допустимых значений  такого уравнения находится  как  пересечение  областей  допустимых значений  функций  f(x) и  φ (х). Для  решения  уравнения  (*) нужно  рассмотреть  следующие случаи:
1)   При  а = b = 1  решением уравнения  (*)  является  область  его  допустимых  значений  D.
2)   При  а = 1, b ≠ 1  решением уравнения  (*)  служит  решение  уравнения  φ(х) = 0  на  области допустимых  значений  D.
3)   При  а ≠ 1, b = 1  решение уравнения  (*)  находится  как  решение  уравнения      f(х)= 0  на  области  D.
4)   При  а = b  (а > 0, а≠ 1, b >0, b≠ 1)  уравнение  (*)  равносильно  уравнению        f(х)= φ(х)  на  области  D.
5)   При  а ≠ b  (а >0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1)  уравнение  (*)  тождественно  уравнению
log c a f(x) =  log cb φ(x) (c > 0, c≠ 1)  на  области  D.
 
Пример. Решите  уравнение:  ах+ 1 = b 3 – х
Решение. ОДЗ  уравнения:  х/> R, а > 0,  b >0.
       1)  При   а ≤0, b ≤ 0  уравнение  не  имеет  смысла.
       2)  При   а = b = 1,   х /> R.
       3)  При  а =1, b ≠ 1  имеем:  b 3 – х = 1  или  3 – х = 0 /> х = 3.
       4)  При  а ≠1, b = 1  получим:  а х+ 1 = 1  или х + 1 = 0 /> х= -1.
       5)  При  а = b   (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) имеем: х + 1 =3 – х /> х= 1.
       6)  При  а ≠ b  (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1)  прологарифмируем  исходное  уравнение
            по  основанию  а, получим:
           />,    х + 1 = ( 3 – х) log ab, />
Ответ:  при   а ≤ 0,b ≤ 0  уравнение  не  имеет  смысла;
             при   а = b = 1,   х /> R;
             при  а = 1, b ≠ 1  х = 3.
             при  а≠ 1, b = 1  х = -1
             при  а = b   (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1)  х= 1
             при  а≠ b  (а > 0, а ≠ 1,b >0, b≠ 1)   />
Логарифмические уравнения  с  параметром.
            Решение логарифмических  уравнений  с  параметрами  сводится  к  нахождению  корней элементарного  логарифмического  уравнения. Важным  моментом  решения уравнений  такого  типа  является   проверка  принадлежности  найденных корней  ОДЗ  исходного  уравнения.
Пример. Решите  уравнение  2 – log />/>(1 + х) = 3 log а /> - log />/>( х2 – 1)2
Решение. ОДЗ: х > 1,  а> 0, а ≠ 1.
        Осуществим  на  ОДЗ цепочку  равносильных  преобразований  исходного  уравнения:
log а а2 + log />/>( х2 — 1)=  log а (/>)3 + log a/>/>,
 
log а ( а2 (х2 — 1)) = log а((/>)3/>),
а2(х2 — 1) = (х — 1) />,
а2(х — 1) (х + 1) = (х — 1) />
            Так  как  х≠ -1  и  х ≠ 1, сократим  обе  части  уравнения  на  (х — 1) />
а2/>= />
            Возведем  обе  части  полученного  уравнения в  квадрат:
а4(х + 1) =  х – 1 /> а4х + а4 =  х – 1/> х(1 —  а4 ) =   а4 + 1
            Так  как  а≠ -1  и  а ≠ 1, то  />
            Для  того  чтобы значения  х  являлось  решением  уравнения, должно  выполняться условие  х > 1, то  есть  />
            Выясним,  при  каких значениях  параметра  а  это  неравенство  истинно:
/>, />
            Так  как  а> 0, то  полученная  дробь  положительна, если  1 – а4> 0, то  есть  при
а
            Итак, при  0 a x > 1,значит  при  0 a х является    корнем  исходного  уравнения.
Ответ:  при  а ≤ 0, а= 1  уравнение  не  имеет  смысла;
             при   а >1  решений  нет;
             при  0 a
ГЛАВА 2
§1. Разработка факультативных  занятий  по  теме.
            В  общеобразовательных  классах  данная  тема не    берется  в  явном  виде. Она  рассматривается  в  заданиях  более сложного  характера. Например, при  изучении  темы  «Квадратные уравнения», можно  встретить  следующие  задания:
1)   При  каком  р уравнение  х2 – 2х + 1 = р имеет  один  корень ?
2)   При  каких  значениях  параметра  р сумма  корней  квадратного уравнения
х2+ ( р 2 + 4р – 5 ) х – р = 0  равна нулю ?
            В  классах  с  углубленным  изучением математики уравнения  с  параметрами  целенаправленно  начинают  изучать  с  8 класса. Именно  в  этот  период  вводится  понятие  «параметр».Основная  задача – научить  учащихся  решать  уравнения  с  одним  параметром.
            Ученики  должны уяснить, что  уравнения  с  параметром – это  семейство  уравнений, определяемых параметром. Отсюда  и  вытекает  способ  решения:  в  зависимости  от структуры  уравнения  выделяются  подмножества  множества  допустимых значений  параметра  и для  каждого  такого  подмножества  находится соответствующее  множество  корней  уравнения. Нужно  обратить  внимание  на запись  ответа. В  нем  должно  быть  указано  для  каждого  значения параметра (или  множества  его  значений), сколько  корней  имеет  это уравнение  и  какого  вида.
            На  факультативных занятиях  следует  разобрать  следующие  виды  задач:
1)   на  разрешимость: определить  параметры, при  которых  задача  имеет хотя  бы  одно  решение  или  не  имеет  решений  вовсе.
2)   на  разрешимость  на  множестве: определить  все  параметры, при  которых задача  имеет  m  решений  на  множестве  М  или  не имеет  решений  на  множестве М.
3)   на  исследование: для  каждого  параметра  найти  все  решения заданной  задачи.
Разработка  факультативных занятий  приведена  в  приложении. Структура  следующая:
       Занятие№1. Решение линейных  и  квадратных  уравнений 
                             с параметрами.
       Занятие№2. Решение линейных  и  квадратных  уравнений 
                             с параметрами.
       Занятие№3. Решение  дробно-рациональных и иррациональных
                            уравнений  с  параметрами.
       Занятие№4.  Тест
                          
        Занятие№5. Решение тригонометрических  уравнений 
                             с параметрами.
        Занятие№6. Решение тригонометрических  уравнений 
                             с параметрами.
        Занятие№7. Решение показательных  и  логарифмических
                            уравнений   с  параметрами.
        Занятие№8. Тест
                             
Занятие№1
Занятие№2
Занятие №3
Занятие  № 4.
Вариант I.Решите  уравнение  k(x — 4) + 2 ( х + 1) = 1  относительно  х.
а) при  k=-2  корней  нет;  при  k/>=-2   />;
б) при  k/>-2  корней  нет; при  k=-2   />;
в) при  k=-2  корней  нет;  при  k/>=-2  и k/>=0,25 />.Решите  уравнение  2а( а — 2)х = а2 – 5а+6  относительно  х
а) при  а=2  х/>R ;при  а=0 корней  нет; при  а/>0  и а/>2  />;
б) при  а=2  х/>R ;при  а=0 корней  нет; при  а/>0  и а/>2  />;
в) при  а=2  х/>R ;при  а=0 корней  нет; при  а/>0  и а/>2  />.При  каких  значениях  b  уравнение  1+2х – bx = 4+х  имеет  отрицательное  решение.
а) b1 ;            в)  b=1  При  каких  значениях  а  парабола  у = ах2 – 2х +25  касается  оси х?
а) а=25   ;   б)а=0  и  а= 0,04  ;    в)  а=0,04.При  каких  значениях  k  уравнение  (k — 2)x2 = (4 – 2k)x+3 = 0  имеет  единственное  решение?
а) k=-5, k= -2  ;  б) k=5       ; в) k=5, k= 2  .Решите  относительно  х  уравнение />
а)при b/>+1, b/>/>    />; при  b=/>   реш.нет; при b=±1 нет смысла;
б)при  b/>/>    />; при  b=/>   реш.нет; при b=±1 нет смысла;
в)при  b=/>    />;  при b=±1нет смысла.При  каких  значениях  параметра  а  уравнение  имеет  решение  />
а) а≥3   ;   б)  а=4  ;  в)  а≥ 0При  каких  значениях  а  уравнение  />  имеет  2  корня?
   а)–0,25≤а≤ 0   ;   б)  –0,25При  каких  значениях  параметра  с  уравнение  />имеет  2  корня?
а) с/>( — ∞; -1,5√3)U(1.5√3; + ∞);  б) при  с = ±1,5√3;  в) с/>( — ∞; -1,5√3)
Вариант II.Решите  уравнение  2х( а+1)= 3а(х+1)+7  относительно  х.
а) при  а=-2 корней  нет;  при  а/>-2   />;
б) при  а/>-2  корней  нет;  при а=-2   />;
в) при  а/>-2  и а/>-/>  корней  нет;  при  а=-2   />.Решите  уравнение  (а2 — 81)х = а2 + 7а — 18  относительно  х
а) при  а=-9 х />R ;при  а=9 корней  нет; при  а/>-9  и а/>9  />;
б) при  а=9  х/>R ;при  а=-9 корней  нет; при  а/>-9  и а/>9  />;
в) при  а= -9 х />R ;при  а=9 корней  нет; при  а/>-9    />;При  каких  значениях  b  уравнение  2+4х-bx=3+х  имеет  отрицательное  решение?
а) b3  При  каких  значениях  k  уравнение  kx2 – (k — 7)x + 9 =0 имеет  два  равных  положительных  корня?
а) k=49, k= 1  ;  б) k=1       ; в) k=49. При  каких  значениях  а  уравнение  ax2 — 6x+а = 0  имеет  два  различных  корня?
 а) а/>( — 3; 0)U(0;3 );  б) при  а/>( — 3; 3)  ;   в) с/>( — ∞; — 3)U ( 3; +∞)Решите  относительно  х  уравнение />
а)при а/>1, а/>2,25, а/>-0,4, />; а=2,25, а=-0,4, реш.нет;при а=1 нет смысла;
б) при а/>2,25, а/>-0,4, />; а=2,25, а=-0,4, реш.нет;при а=1 нет смысла;
в) при а/>1, а/>-0,4, />; а=-0,4, реш.нет; при а=1нет смысла.При  каких  значениях  параметра  а  уравнение  имеет  решение  />?
а) а≥2/3   ;   б)  а≥ 2/3 √6  ;  в)  а≤ 2/3 √6  При  каких  значениях  а  уравнение  />  имеет  2  корня?
   а) а≥0   ;   б)  ни  при  каких   ;  в)  а≥ 1   При  каких  значениях  параметра  с  уравнение  />имеет  2  корня?
а) с/>( — ∞; -1,5√3)U(1.5√3; + ∞);  б) при  с = ±1,5√3;  в) с/>( — ∞; -1,5√3)
Занятие  №5-6
Занятие  №7
Занятие №8.
Вариант I.Решите  уравнение  3 cos x = 4b + 1  для  всех  значений  параметра.
а) при b/> ( -1;0,5 )  х = ± arcos />; при b/>(-∞;-1]U[0,5;+∞) реш.нет;
б) приb/> [ -1;0,5 ]  х = ± arcos />; при b/>(-∞;-1)U(0,5;+∞) реш.нет;
в)b/>(-∞;-1]U[0,5;+∞) х = ± arcos />; b/> ( -1;0,5 )  при реш.нет;Найдите  все  действительные  значения  параметра  а, при  которых  уравнение   sin2x – 3sin x + a  =0.
а) a /> [ -4; 2 ]     ;    б) а/> ( -4; 2)   ;         в) а/> [ — 4; 2 ).При  каких  значениях  а  уравнение  cos4x + sin4x = a  имеет  корни?
а) a /> [ 0,5; 1 ]     ;    б) а/> [ -1; 0,5 ]   ;         в)а/> [ — 0,5; 1 ).Решите уравнение  />
      а) при  а ≤ 0 х />R ; при  а > 0, а/>1  х= 2; при  а = 1  не  имеет  смысла.
      б) при  а > 0  х/>R ;при  а = 1  х = 2; при  а ≤ 0  не  имеет  смысла.
      в) при  а = 1  х/>R ;при  а > 0, а/>1  х= 2; при  а ≤ 0  не  имеет  смысла.При  каких  значениях  параметра  уравнение  4х – а2х+1 – 3а2 + 4а = 0  имеет  единственное  решение?
а)     2;                          б) 1   ;                       в) -1.Решите  уравнение  log a x 2 + 2 log a ( x + 2) = 1.
      а)  при а ≤1   х = 0,5( 2+ />); при  а=100  х = 1.
      б)  при а > 100 реш. нет;  при 1aх = 0,5(2+ />); при  а =100  х= 1;
            при а ≤1   не  имеет  смысла.
      в)  при а > 100 реш.нет ;  при 1aх = 0,5( 2+/>) ;   
           при а ≤1   не  имеет  смысла.
7.    Найдите все  значения  параметра, для  которых  данное  уравнение  имеет  только  один корень  1+ log 2 (ax) = 2 log 2(1 — x)
а) а > 0, а =2  ;   б) а > 0, а = — 2  ;   в) а а = — 2  .Решите  уравнение  /> а > 0, а/>1
      а)  а; />  ;           б)   а2; — />   ;  в )  а2; />  
Вариант II.Решите  уравнение  cos (3x +1 ) = b   для  всех  значений  параметра.
а) при |b| ≤  1   х = />; при |b|>  1   реш.нет;
б) при |b| ≤  1 и b=0  х= />; при |b| >  1   реш.нет;
в)при|b| >  1   х = />; при |b|Найдите  все  действительные  значения  параметра  а, при  которых  уравнение   cos2 x + asin x =2 a  -7.
а) a /> ( 2; 6 )     ;    б) а/> ( 2; 4 ]   ;         в) а/> [ 2 ; 6 ].При  каких  значениях  а  уравнение  cos6x + sin6x = a  имеет  корни?
а) a /> [ 0,25; 0,5 ]     ;    б) а/> [ 0,25; 1 ]   ;         в)а/> [ — 0,25; 1 ].Решите уравнение  />
      а) при  а ≤ 0 х />R ; при  а > 0,   х = 1; при  а = 1  не  имеет  смысла.
      б) при  а = 1  х/>R ;при  а > 0, а/>1   х= 1; при  а ≤ 0  не  имеет  смысла.
      в) при  а > 0х/>R ;при а = 1   ,   х = 1; при  а ≤ 0  не  имеет смысла.При  каких  значениях  параметра  уравнение  а( 2х + 2-х ) = 5  имеет  единственное  решение?
а)      -2,5;2,5       ;                б) 2;  2,5       ;                       в) –2,5.Решите  уравнение 3 lg  (x – а) — 10 lg  ( x — а)+1 = 0.
      а)  х = а +1000, х = а + 3√10  ;
      б)  х = а — 3√10 , х = а –1000  ;
      в)  х = а — 3√10,  х = а + 1000 .
7.    Найдите все  значения  параметра, для  которых  данное  уравнение  имеет  только  один корень  />
а) 4  ;                 б) -4 ;                  в) — 2 . Решите  уравнение  /> а > 0, а/>1
      а)  -1  ;  а;           б)   1  ;  — а;  в )  1  ;  а
Заключение.
            При  решении приведенных  выше  задач  с  параметрами  происходит  повторение  и, как  следствие,более  глубокое  прочное  усвоение  программных  вопросов. Ученики  расширяют свой  математический  кругозор, тренируют  мышцы  интеллекта, при  этом происходит  развитие  математического, логического  мышления, умения анализировать, сравнивать  и  обобщать. Решение  задач  с  параметрами  на факультативных  занятиях  это  помощь  при  подготовке  к  экзаменам.Происходит  формирование  таких  качеств  личности, как  трудолюбие, целеустремленность,усидчивость, сила  воли  и  точность.
Литература.С.И. Новоселов. Специальный  курс  элементарной  алгебры. Москва-1962. Е.Ю. Никонов. Параметр. Самара – 1998. Еженедельная  учебно-методическая  газета  «Математика» №36/2001; №4/2002;      №22/2002;      №23/2002;      №33/2002.