Реферат
Дипломная работа содержит 59 страниц, 42 использованных источника,
3рисунка.
УСТОЙЧИВОСТЬ, СТАБИЛИЗАЦИЯ, ЧАСТИЧНАЯУСТОЙЧИВОСТЬ, ЧАСТИЧНАЯ
СТАБИЛИЗАЦИЯ, ПОСТОЯННО ДЕЙСТВУЮЩИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ, ЧАСТЬПЕРЕМЕННЫХ,
ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА, НЕЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА.
Объект исследования – динамическая система.
Предмет исследования – устойчивость и стабилизация
движенияотносительно части переменных при постоянно действующих
возмущениях.
Цель работы – исследование устойчивости и стабилизации линейных
инелинейных систем относительно части переменных при постоянно
действующихвозмущениях; анализ научной и учебной литературы по теме
исследования.
Методы исследования – воснову исследования теории устойчивости и
стабилизации относительно частипеременных при постоянно действующих
возмущениях положены основные задачичастичной устойчивости
Ляпунова, Румянцева, Воротникова. При решении
полученныхматематических задач используется метод, основанный на
нелинейной заменепеременных, метод функций Ляпунова, где
рассматривается ряд теорем обустойчивости движения относительно
части переменных при постоянно действующихвозмущениях.
Полученныерезультаты – проанализирована научная и учебная
литература по исследуемой теме,приведены основные определения и
теоремы и условия устойчивости движениятвердого тела с одной
неподвижной точкой при постоянно действующих возмущениях;с помощью
метода функций Ляпунова рассмотрен ряд теорем об
устойчивостидвижения относительно части переменных при постоянно
действующих возмущениях, приводитсяобобщение теорема Ляпунова –
Малкина об устойчивости и (одновременно)экспоненциальной
асимптотической устойчивости по части переменных по
линейномуприближению, рассмотрена оптимальная стабилизация одной
нелинейной системы при наличии постояннодействующих возмущений,
исследована математическая модель на условие устойчивостии
стабилизации движения относительно части переменных при постоянно
действующихвозмущениях.
Область применения – внелинейной теории управления, механике,
биологии, экономике, на стыке физики,химии и теории управления, в
системах с распределенными параметрами (в частныхпроизводных), в
стохастических, дискретных, а также в абстрактных
динамическихсистемах в метрическом пространстве.
Содержание
Введение
7
1 Устойчивость линейных систем
13
1.1 Определение и основные теоремы
13
1.2 Устойчивость движения твердого тела с однойнеподвижной
точкой 19
1.3 Алгебраический критерий асимптотической
23
1.4 Условие устойчивости и асимптотическойустойчивости при
не
малых постоянных
возмущениях
24
1.5 Обобщение теоремы Ляпунова –
Малкина 30
2 Устойчивость нелинейных
систем
32
2.1 Устойчивость движения относительно
части переменныхпри
постоянно действующих
возмущениях для нелинейных систем
(1
случай)
32
2.1.1 Основныеопределения и
теоремы
32
2.1.2 Пример движения голономной механической
системы
36
2.1.3 Распространениепринципа сравнения с вектор —
функцией
Ляпунова на задачу
— устойчивости при постоянно
действующих
возмущениях
37
2.2 Устойчивость движения относительно части переменных при
постояннодействующих возмущениях для нелинейных систем
(2случай)
38
2.3 Оптимальнаястабилизация одной нелинейной системы при
наличии постоянно
действующихвозмущений
40
3 Устойчивость и стабилизация движенияасимметричного твердого
тела 45
3.1 Стабилизация по части переменных
перманентноговращения асимметричного твердого тела посредством
одного
маховика
45
3.2 Устойчивость и стабилизация
движенияасимметричного твердого
тела 47
3.3 Динамическоеуравнение Эйлера, описывающее угловое движение
твердого тела под действиемуправляющих
моментов 51
3.4 Динамическоеуравнение Эйлера, описывающее угловое движение
твердого тела под действиемпостоянно действующих
возмущений 52
Заключение 54
Список использованных
источников
56
Введение
Дипломнаяработа посвящена разделу общей теории устойчивости, в
котором, в отличие оттрадиционных исследований в этой области,
рассматриваются задачи устойчивости истабилизации динамических
систем не по всем, а лишь по отношению к заданнойчасти
характеризующих их переменных. Такие задачи естественным
образомвозникают в приложениях, как из требования нормального
функционирования, так ипри оценке возможностей системы.
Начиная с середины XXстолетия эти задачи, а затем и тесно
связанные с нейзадачи стабилизации по отношению к части переменных
стали систематическиразрабатываться в научных центрах России и
бывшего СССР, а также Европы, США,Индии, Японии и Китая. Благодаря
большой математической общности постановкиуказанные задачи являются
междисциплинарными и естественным образом возникаютпри
моделировании многих явлений и управляемых процессов в самых
разныхразделах науки: механике, физике, экономике, биологии, и
других. Они частоназываются также задачами частичной устойчивости
(стабилизации).
Начинаяс основополагающих работ В.В. Румянцева [28 — 31], которые
привлекли к задачамустойчивости по отношению к части переменных
внимание многих ученых, ведущимметодом исследования является метод
функций Ляпунова, оказавшийся весьмаэффективным при анализе как
теоретических, так и прикладных проблем.
Однако хотя во многих важных прикладныхзадачах метод функций
Ляпунова и позволяет получить строгие и легкоинтерпретируемые
условия устойчивости по части переменных, тем не менее, вцелом
вопросы конструктивного построенияфункций Ляпунова остаются
малоизученными. В такой ситуации значительный интереспредставляет
как дальнейшее развитие метода в плане ослабления требований
кфункциям Ляпунова и указания конструктивных путей их построения,
так и развитиедругих подходов к задачам устойчивости по отношению к
части переменных.
Исследование устойчивостиотносительно части переменных
позволяетвыявить дополнительные свойства модели, которые не «видны»
при исследовании«полной» устойчивости. Перечислим некоторые из
обнаруженных к настоящемувремени таких возможностей, не имеющих
места при исследовании устойчивости поотношению ко всем переменным
[6].
1 Допустимость устойчивости «в
малом»одной группы переменных при больших начальных возмущениях
другой их группы ( или при больших
2 Возможность
инвариантности свойствустойчивости по части переменных при сколь
угодно больших постоянно действующихвозмущениях [27], действующих
по некоторым каналам системы.
3 Допустимостьасимптотического характера устойчивости по части
переменных при постояннодействующих возмущениях[4, 5].
Развитиеисследований, проведенных к настоящему времени, можно
условно разделить на дваэтапа. Первый этап (конец 50-х – начало
70-х годов XXвека) связан почти исключительно с развитием
методафункций Ляпунова и подытожен (по работам [12, 21, 24, 28, 29,
31, 36, 38, 40, 41, 42]) в обзорной статье А.С. Озиранераи
В.В. Румянцева [26], сыгравшей существенную стимулирующую роль
винициировании дальнейшего исследования проблемы устойчивости
(стабилизации) почасти переменных.
Начиная с середины 70-х годов
прошлогостолетия (второй этап исследований) круг вопросов, решаемых
в рамках даннойпроблемы, значительно расширился. В числе их
оказались следующие направленияисследований.
1 Дальнейшее развитие метода
функций Ляпуноваприменительно к задаче устойчивости и стабилизации
по части переменных припостоянно действующих возмущениях (п.д.в.)
для систем обыкновенныхдифференциальных уравнений. Потребность в
этом, в частности, возниклавследствие ряда выявленных на первом
этапе исследований существенных трудностейпри переносе основных
теорем методафункций Ляпунова на случай задачи устойчивости
и стабилизации по части переменных припостоянно действующих
возмущениях (Озиранер А.С, Румянцев В.В.[26], ГермаидзеВ.Е.,
Красовский Н.Н. [10]).
2 В работах К. Кордуняну [37],
Каримова А.У.[14],Озиранера А.С. [25], Мики К., Масамиси А., Шойси
С. [39], Игнатьева А.О.[13]метод функции Ляпунова
используется длярешения задач устойчивости по части переменным при
постоянно действующихвозмущениях и сохранения устойчивости. Одной
из особенностей задачиустойчивости и стабилизации по части
переменных при постоянно действующихвозмущениях является ее
отличный, в сравнении со случаем устойчивости истабилизации при
постоянно действующих возмущениях по отношению ко всемпеременным,
характер взаимоотношений с задачей частичной устойчивости
приструктурных (параметрических) возмущениях. Это видно уже на
примереасимптотической устойчивости по отношению к части переменных
линейной стационарнойсистемы, которая, будучи устойчива по этим
переменным при постоянно действующихвозмущениях, может, вообще
говоря, терять устойчивость по указанным переменнымдаже при малых
возмущениях своих коэффициентов. Именно задачи
частичнойустойчивости (стабилизации), в отличии от задач
устойчивости (стабилизации) повсем переменным, становятся строгой
математической базой для многих важныхсовременных исследований.
Объект исследования – динамическая система.
Предмет исследования – устойчивость и стабилизация
движенийотносительно части переменных при постоянно действующих
возмущениях.
Цельисследования – анализ устойчивости и стабилизации динамических
систем поотношению к части переменных.
Длядостижения поставленной цели необходимо решить следующие
задачи:
1) проанализироватьнаучную
литературу, посвящённую проблеме устойчивости и стабилизации
движенияпри постоянно действующих возмущениях и применить эти
исследования для решенияпрактической задачи;
2) рассмотретьустойчивость
и стабилизацию движений относительно частим переменных припостоянно
действующих возмущениях для линейных систем;
3) раскрыть
определение устойчивости и стабилизации движенияотносительно части
переменных при постоянно действующих возмущениях;
4) рассмотреть
основные теоремы, исследующие условия ;
5) рассмотретьустойчивость
и стабилизацию движений относительно части переменных припостоянно
действующих возмущениях для нелинейных систем;
6) спомощью
метода функций Ляпунова рассмотреть ряд теорем об устойчивости
движенияотносительно части переменных при постоянно действующих
возмущениях;
7) рассмотреть
оптимальную стабилизацию нелинейных систем при наличиипостоянно
действующих возмущенийвыявить
8) провестианализ
устойчивости и стабилизации движений относительно части переменных
дляконкретной математической модели с использованием современных
методов.
Дипломнаяработа состоит из 3 разделов.
Первыйраздел посвящен задачеоб устойчивости и асимптотической
устойчивости движения относительно части переменных при
постоянно действующихвозмущениях, когда некоторые из них могут не
быть достаточно малыми.Единообразным приемом, основанным на
нелинейной замене переменных идифференциальных неравенствах,
приводятся условия устойчивости движениятвердого тела с одной
неподвижной точкой при постоянно действующих возмущениях.
Далее показывается, чтозадача об устойчивости движения относительно
части переменных (ряд известных результатов, исходным пунктом в
которыхявляется теорема Ляпунова – Малкина об устойчивости и
(одновременно)экспоненциальной асимптотической устойчивости по
части переменных по линейномуприближению [1].
Во 2 разделе дается исследование нелинейных систем.
Спомощью метода функций Ляпуноварассматривается ряд теорем об
устойчивости движения относительно частипеременных при постоянно
действующих возмущениях.Опираясь на широко известную теоремуН.Н.
Красовского об оптимальной стабилизации [16, 285] и метод
оптимальной стабилизации линейныхнеоднородных управляемых систем
[15, 73-83] приводиться построение управленияоптимально
стабилизирующего множество относительнорешений уравнения.
Втретьем разделе рассмотрена стабилизация по части переменных
перманентноговращения асимметричного твердого тела с помощью одного
маховика. Показано, чтопока гиростат совершает заданное движение,
маховик находится в состоянии покоя(управляющий двигатель включен).
При появлении малых постоянных возмущенийспециальные устройства
формируют и прикладывают к маховику управляющий момент,в результате
основное тело гиростата с течением времени возвращается в
исходныйрежим стационарного вращения, а сам маховик – в состояние
покоя. Такжерассмотрен пример устойчивости (стабилизации)и
управления по части переменных угловым движением асимметричного
твердоготела. Рассмотрен этот же случай при постоянно действующих
возмущениях.
1 Устойчивость линейных систем
1.1 Определение
и основные теоремы
Пусть имеем линейнуюстационарную систему обыкновенных
дифференциальных уравнений возмущенногодвижения
или в переменных
(1.1.1)
где
Наряду с системой (1.1) рассмотрим«возмущенную» систему
(1.1.2)
разобьем на две группы и представим и в виде
.
Определение 1.1.1 (Воротников В.И. [4]). Движение системы
(1.1.1)называется могут быть указаныположительные числа
(1.1.3)
выполняется на всех движениях системы(1.2), начинающихся в
области
(1.1.4)
при любых значениях
(1.1.5)
в области (1.1.3).
Если, кроме того, при , то движение системы
(1.1.1)называется асимптотически
Замечание 1.1.1 Если вектор в (1.1.5)удовлетворяют
соответственно условиям и системы (1.1.1)
определение — в определение
Замечание 1.1.2 Определение
Замечание 1.1.3 Определение асимптотической согласно
[19].
Рассмотрим матрицы
(1.1.6)
(1.1.7)
где — линейно-независимые векторы-столбцы матрицы
невырожденная,
Теорема 1.1.1(Воротников В.И. [4]). Пусть движение системы
(1.1)асимптотически строки с номерами нулевые, то
движение и вектор – функцию входят
соответственнопеременные и функции с номерами
Доказательство. Сделаем в системе (1.1) замену
переменных имеет вид (1.1.7). Вновых переменных уравнения
системы (1.1.1), согласно [2, 7] распадаются на двегруппы:
причем — мерный вектор
(1.1.8)
полностью определяет поведениепеременных системы (1.1.1).
Рассмотрим наряду с (1.1.8)систему
Движение не содержит возмущений системы (1.1)
и вектор – функцию входят
соответственнопеременные и с номерами
Следствие. Если движение системы (1.1)асимптотически
Пример 1.1.1 Пусть уравнения возмущенного движения(1.1) имеют
вид
(1.1.9)
Систему (1.1.8) в данном случаесоставят уравнения
Собственные числа матрицы имеют отрицательныечасти
нулевая, поэтому,согласно теореме 1.1.1, движение
системы (1.1.9) . Такимобразом, невозмущенное
движение системы (1.1.9)
Пример 1.1.2Рассмотрим уравнения возмущенного движения
регулируемойсистемы в критическом случае двух нулевых корней
(1.1.10)
где — постоянные числа,
Введем новую переменную [3], где
(1.1.11)
Известные условияустойчивости в целом невозмущенного движения
системы (1.1.11) [17] будут,согласно [3], достаточными условиями
любом конечном числе можно сделатьдостаточно малой за
счет подходящего выбора величины
Пусть вектор – функции и в системе (1.1.2)имеют вид
где и — постоянные векторысоответствующих
размеров.
Допустим, что линейно – независимые векторы – столбцыматрицы
линейно независимы. Рассмотрим систему
алгебраическихуравнений для определения
Предположим, что
(1.1.12)
(1.1.13)
где — достаточно малыеположительные постоянные.
Теорема 1.1.2 (Воротников В.И. [4]). Еслидвижение
системы (1.1.1)асимптотически и любых удовлетворяющих
условиям (1.1.13)возмущениях строки с номерами нулевые,
то этодвижение асимптотически — устойчиво, причем ввектор
и вектор – функцию входят соответственнопеременные
и функции с номерами .
Пример 1.1.3 Пусть уравнения возмущенного движения (1.1)
имеют вид
(1.1.14)
Поскольку
(1.1.15)
После введения новой переменной система
приводиться к виду
Поэтому при выполненииусловий (1.1.13) невозмущенное движение
системы (1.1.14) асимптотически
Дальнейшим развитиемпроблемы устойчивости на класс управляемых
систем является задача стабилизации движения.Эта задача имеет
большое значение в связи с бурным развитием теории управленияи ее
обширными практическими применениями.
Рассмотрим системууравнений возмущенного движения управляемого
объекта
или, в переменных
(1.1.16)
правые части определены инепрерывны в области
(1.1.17)
Вектор управляющих воздействий ищем в виде
(1.1.18)
а система (1.1.16) при удовлетворяетограничениям, наложенным
на систему (1.1.18). Пусть
в котором
Задача оптимальной стабилизации. Найти вектор-функцию системы
(1.1.16)асимптотически устойчиво относительно
1.2 Устойчивость
движения твердого тела содной неподвижной точкой
Рассмотрим движениетяжелого твердого тела с одной неподвижной
точкой, вызванное начальными ипостоянно действующими возмущениями.
Уравнения возмущенного движения имеют вид
(1.2.1)
где .
Будем изучатьустойчивость невозмущенного движения системы (1.2.1)
при ряде предположенийотносительно вида функций
10.
т.е. система (3.1) имеет вид
(1.2.2)
Введем новую переменную или имеем следующие оценкидля
системы (3.2):
а)