Определение. Пусть заданы группы . Пусть , т.е. с операцией .
Множество с этой операцией называется внешним произведением
групп .
Теорема. - группа.
Доказательство.
Единичный элемент - , обратный элемент .
Рассмотрим множества .
Упражнение. Докажите, что , отображение задает изоморфизм
и и - прямое произведение. Таким образом прямые и
внешние произведения можно отождествлять.
Теорема (факторизация по множителям). Пусть , и пусть , тогда
и .
Доказательство.
Рассмотрим отображение , если , то . Пусть , тогда и ,
следовательно - это гомоморфизм, причем сюръективный, т.к. .
Ядро этого гомоморфизма - это , т.е. . Следовательно, и по
теореме о гомоморфизме .
Упражнение. Докажите, что циклические группы порядка
изоморфны , бесконечные циклические группы изоморфны , кроме
того .