Без нарушения общности рассмотрим систему, состоящую из двух частиц
массами m1 и m2. Пусть частицы взаимодействуют друг с другом с
силами и , модули которых зависят от расстояния R12 между
частицами. Установлено, что такие силы являются консервативными,
т.е. работа, совершаемая такими силами над частицами, определяется
начальной и конечной конфигурациями системы. Пусть также, кроме
внутренних сил на первую частицу действует внешняя консервативная
сила и внешняя неконсервативная сила . Аналогично для второй
частицы. Тогда уравнения движения частиц можно записать в виде:
Умножим каждое уравнение на и сложим полученные выражения.
1. Распишем первый член в правой части.
Работа внутренних сил равна . Для замкнутой системы , а , где и –
радиус-векторы частиц.
Тогда
.
Учитывая, что силы и имеют величину, зависящую только от расстояния
и направлены вдоль соединяющей их прямой (это справедливо,
например, для сил кулоновского или гравитационного взаимодействий),
любую из этих сил можно представить в виде, например, , где f(R12)
– некоторая функция R12, – орт вектора .
Следовательно, .
Скалярное произведение равно приращению dR12 расстояния между
частицами, тогда .
Выражение есть приращение некоторой функции . Следовательно,
.
Функция представляет потенциальную энергию взаимодействия.
Работа внутренних сил будет равна
,
т.е. не зависит от пути, по которому перемещаются частицы, а
определяется начальной и конечной конфигурациями системы. Т.е. силы
взаимодействия вида являются консервативными.
Итак, работа внутренних сил равна убыли потенциальной энергии
взаимодействия
2. Второй член представляет работу внешних сил и равен убыли
потенциальной энергии системы во внешнем поле консервативных
сил
3. Последний член представляет работу неконсервативных внешних сил
.
После этих замечаний можно записать
Величина
T + Uвз. + Uвн. = E (3.13)
– называется полной механической энергией системы. Если внешние
неконсервативные силы отсутствуют, т.е. , то
Е=const – закон сохранения механической энергии.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: полная механическая энергия системы тел, на которые
действуют лишь консервативные силы, остается постоянной.
Для замкнутой системы, т.е. системы, на тела которой не действуют
никакие внешние силы, закон сохранения примет вид:
E = T + Uвз. = const
Если в замкнутой системе, кроме консервативных сил действуют
неконсервативные силы, например, силы трения, то полная
механическая энергия системы не сохраняется. Рассматривая
консервативные силы как внешние, получим
или после интегрирования .
Как правило, силы трения совершают отрицательную работу. Поэтому
наличие сил трения в замкнутой системе приводит к уменьшению ее
полной механической энергии со временем. Таким образом, если в
системе действуют неконсервативные силы, то
изменение полной энергии будет равно работе всех внешних сил,
действующих на эту систему.
Анализ закона сохранения показывает, что полная энергия, оставаясь
в консервативной системе величиной постоянной, может переходить из
одних видов в другие.
При действии неконсервативных сил возможен переход механической
энергии в другие немеханические виды энергии. В этом случае
справедлив более общий закон сохранения:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: в изолированной от любых внешних воздействий системе
остается постоянной сумма всех видов энергии (включая и
немеханические).
К этому добавим, что в природе и технике постоянно имеют место
превращения энергии из одних видов в другие. Проиллюстрируем это
таблицей.
Процесс или прибор
Превращение энергии
из вида
в вид
Электрогенератор
механическая
электрическая
Гальванический элемент
химическая
электрическая
Электродвигатель
электрическая
механическая
Зарядка аккумулятора
электрическая
химическая
Фотосинтез
электромагнитная
химическая
Фотоэффект
электромагнитная
электрическая
Ядерный реактор
ядерная
механическая
электромагнитная и др.
В таблице не отражено, что при любом превращении часть энергии
превращается в теплоту.
Для графического изображения закона сохранения энергии рассмотрим
случай, когда тело бросаем вверх.
Если не учитывать силу сопротивления воздуха Fсопр., то систему
«тело-Земля» можно рассматривать, как изолированную и
консервативную, для которой
E = Eк. + Up. = const
Из графика (рис. 3.10) видно, что по мере поднятия тела над
поверхностью Земли его потенциальная энергия возрастает от величины
Up(h1) до Up(h2), но одновременно с этим точно на такую же величину
уменьшается кинетическая энергия системы Eк., а полная энергия тела
остается величиной постоянной, что соответствует линии BA || h.
Очевидно:
1. При h=0 имеем Up=0, а E=Eк., что соответствует линии ОВ;
2. При h = max имеем Up = max (Eк. = 0), а E = Up, что
соответствует линии AC.
САМОСТОЯТЕЛЬНО:
Упругий и неупругий центральный удар шаров;
Условия равновесия механической системы.