Замечание (о левых и правых тройках).

Если в пространстве фиксирована стандартная декартова система координат с базисными векторами , , (векторы , , образуют правую тройку), то смешанное произведение трех некомпланарных векторов положительно тогда, и только тогда, когда эти векторы образуют правую тройку ( в противном случае, некомпланарные векторы образуют левую тройку).

 

Замечание. Свойства смешанного произведения показывают, что его можно считать аналогом косого произведения векторов в пространстве.

Упражнения.

1)Найдите объем призмы ABCA₁B₁C₁, если A (1,2,0), B (3,0,-1), C (0,2,5), C₁ (0,0,-2) в некоторой декартовой системе координат.

2) Лежат ли точки A,B,C, D в одной плоскости, если в некоторой декартовой системе координат A (0,-1,-3), B (0, 2, 2), C (-3, 4, 5), D (2,-4,-1)?

3) Вычислите смешанное произведение (3 -2 ) ( + + ) ( + 2 ), если = 5.

4) Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите отношение объемов параллелепипеда и тетраэдра, натянутого на векторы 2 , - и 3 .

§ 22. Аналитическое задание множества

 

Определение. Под фигурой в Eⁿ будем понимать любое подмножество Eⁿ.

 

Пусть в Eⁿ задана аффинная система координат (Случаи других систем координат аналогичны и рекомендуются для самостоятельного рассмотрения).

 

22.1. Задание множества уравнением.

Определение. Будем говорить, что уравнение F(x,y,z) = 0 задает фигуру Ф, если:

(1) Координаты любой точки фигуры Ф являются решением данного уравнения;

(2) Любая точка, координаты которой являются решением данного уравнения, принадлежит фигуре Ф.

 

Замечания.

1) Выражение F(x,y,z) в данном определении – это любое аналитическое выражение, связывающее переменные x,y,z.

2) Ясно, что в случае плоскости или прямой рассматриваются выражения от двух (соответственно) от одной переменной.

3) Данное определение можно сформулировать и на языке предикатов, действительно, речь идет о том, что множество истинности предиката F(x,y,z) = 0 совпадает с фигурой Ф. С этой точки зрения, два пункта определения описывают два включения и, собственно, определяют равенство двух множеств.

 

Пример. Уравнение окружности на плоскости.

Пусть на плоскости задана декартова система координат.

Пусть g - окружность с центром в точке Q (x₀, y₀) и радиусом r. Докажем, что окружность g задается уравнением (x - x₀)² + (y - y₀)² = r².

1) Пусть точка M (x_m, y_m) Î g. По определению окружности |QM| = r, то есть |QM| ² = r² . Запишем последнее равенство в координатах: (x_m - x₀)² + (y_m - y₀)² = r².

Итак, координаты любой точки окружности удовлетворяют заданному уравнению.

2) Пусть точка N(x_n, y_n) такая, что (x_n - x₀)² + (y_n - y₀)² = r². Покажем, что N Î g.

|QN| ² = (x_n - x₀)² + (y_n - y₀)² = r², то есть |QN| = r и N Î g.

 

Задание множества неравенством.

Определение. Будем говорить, что неравенство F(x,y,z) > 0 (или F(x,y,z) ³ 0 задает фигуру Ф, если:

(1) Координаты любой точки фигуры Ф являются решением данного неравенства;

(2) Любая точка, координаты которой являются решением данного неравенства, принадлежит фигуре Ф.

 

Замечания.

1) Ясно, что в случае плоскости или прямой рассматриваются выражения от двух (соответственно) от одной переменной.

2) Данное определение можно сформулировать и на языке предикатов.

3) Неравенства «< 0» и «£ 0» не рассматриваются в определении, так как их можно привести к указанному случаю умножением на (-1).

 

Пример.

Пусть на плоскости задана декартова система координат.

Докажем, что круг с центром в точке Q (x₀, y₀) и радиусом r задается неравенством (x - x₀)² + (y - y₀)² £ r².

1) Пусть точка M (x_m,y_m) – точка круга. Тогда по определению круга |QM| £ r, то есть |QM|² < r². Так как |QM|² = (x_m- x₀)² + (y_m - y₀)², то (x_m - x₀)² + (y_m - y₀)² £ r².

2) Пусть точка N (x_n, y_n) такая, что (x_n - x₀)² + (y_n - y₀)² £ r². Так как |QN|² = (x_n - x₀)² + (y_n - y₀)², то |QN|² £ r², следовательно, |QN| £ r и точка N – это точка данного круга.

 

Задание множества системой уравнений/неравенств.

Определение. Будем говорить, что система уравнений или неравенств задает фигуру Ф, если:

(1) Координаты любой точки фигуры Ф являются решением каждого уравнения (неравенства) данной системы;

(2) Любая точка, координаты которой являются решением каждого уравнения (неравенства) данной системы, принадлежит фигуре Ф.

 

Пример.

Система неравенств на плоскости в декартовой системе координат задает полукруг в первой и второй четвертях.

РИС. 32

 

Задание множества совокупностью уравнений/неравенств.

Определение. Будем говорить, что совокупность уравнений или неравенств задает фигуру Ф, если:

(1) Координаты любой точки фигуры Ф являются решением хотя бы одного уравнения (неравенства) данной совокупности;

(2) Любая точка, координаты которой являются решением одного из уравнений (неравенств) данной совокупности, принадлежит фигуре Ф.

 

Замечание (О равносильных преобразованиях).

Два уравнения (неравенства, системы уравнений/неравенств, совокупности уравнений/неравенств) называются равносильными (на некотором множестве значений переменных), если они задают одно и тоже множество.

 

Пример. Пусть на плоскости задана декартова система координат.

Докажем, что уравнение |x| + |y| = 1 задает границу квадрата, вершины которого – точки (1,0), (-1,0), (0,1) и (0,-1).

Система (a) на плоскости задает отрезок прямой y = - x + 1 в первой четверти (включая оси); система (b) задает на плоскости отрезок прямой y = x + 1 во второй четверти (включая ось (Oy)); система (c) задает на плоскости отрезок прямой y = x - 1 в четвертой четверти (включая ось (Ox)); система (d) задает на плоскости отрезок прямой y = - x - 1 в третьей четверти (не включая оси).

РИС. 33

 

§23. Аналитическое задание прямой на плоскости

 

Пусть на плоскости зафиксирована декартова система координат.

 

Общее уравнение прямой.

 

Определение. Ненулевой вектор ортогональный любому направленному отрезку, лежащему на прямой, будем называть вектором нормали к данной прямой.

 

Пусть l – прямая, вектор = (A,B) – вектор нормали к прямой l, и пусть точка M₀(x₀, y₀) принадлежит прямой l.

Для любой точки M(x,y) прямой l вектор ортогонален направленному отрезку , то есть скалярное произведение и равно нулю: × = 0. Запишем последнее равенство в координатах: A(x - x₀) + B (y - y₀) = 0. Итак, для координат точки M справедливо равенство: Ax + By + C = 0 (*), где C = -Ax₀ -By₀ .

 

РИС. 34 (1,2)

 

Возьмем теперь точку N(x,y), координаты которой удовлетворяют равенству (*), то есть Ax + By + C = 0. Так как C = -Ax₀ - By₀ , то A(x - x₀) + B(y - y₀) = 0.

Так как = (x - y₀, y - y₀), то последнее равенство означает, что = 0, то есть ^ , значит точка N лежит на прямой l (так как через данную точку проходит единственная прямая перпендикулярная данной прямой).

Итак, мы доказали следующую теорему:

 

Теорема. Любая прямая на плоскости в декартовой системе координат может быть задана уравнением вида Ax + By + C = 0 (A² + B² ≠ 0), где (A,B) – координаты вектора нормали к этой прямой.

 

Докажем теперь и обратное (то есть, что линейное уравнение в декартовой системе координат задает некоторую прямую).

 

Теорема. Любое уравнение вида Ax + By + C = 0 (A² + B² ≠ 0) на плоскости в декартовой системе координат задает некоторую прямую, при этом (A,B) – координаты вектора нормали к этой прямой.

Доказательство.

Уравнение вида Ax + By + C = 0 (A² + B² ≠ 0) имеет хотя бы одно решение.

Пусть M₀(x₀, y₀) - точка такая, что (x₀, y₀) - решение уравнения Ax + By + C = 0, то есть Ax₀ + By₀ + C = 0.

Вектор = (A, B) - не нулевой.

Существует прямая, проходящая через точку M₀, для которой - вектор нормали. По предыдущей теореме эта прямая задается уравнением Ax + By + C = 0.

 

Замечания.

1) Можно доказать, что и в аффинной системе координат на плоскости любая прямая задается линейным уравнением, и наоборот, любое линейное уравнение задает прямую; но для произвольной аффинной системы координат коэффициенты в линейном уравнении не будут задавать вектор нормали к прямой.

2) Линейных уравнений, которые задают данную прямую в данной декартовой системе координат, бесконечно много (ясно, что уравнения Ax + By + C = 0 и lAv + lBy + lC = 0, где l ≠ 0, задают одну и ту же прямую).

 

Определение. Уравнение вида Ax + By + C = 0 (A² + B² ≠ 0) будем назвать общим уравнением прямой.

 

23.2. Параметрическое задание прямой.

 

Определение. Направляющим вектором прямой будем называть не нулевой вектор, для которого существует представитель (направленный отрезок), лежащий на данной прямой.

 

Пусть l – прямая, вектор = (m,n) – направляющий вектор прямой l, и пусть точка M₀(x₀, y₀) принадлежит прямой l.

 

Для любой точки M(x,y) прямой l вектор коллинеарен направленному отрезку . Так как ≠ q, то существует такое число t Î R, что = t . Запишем последнее равенство в координатах: x - x₀ = mt, y - y₀ = nt. Итак, для координат точки M справедливы равенства: (**)

 

РИС. 35(1,2)

Возьмем теперь точку N(x,y), координаты которой удовлетворяют системе (**), то есть существует такое значение t Î R, при котором оба равенства в системе (**) верны для данных x и y.Так как = (x - y₀, y - y₀), то из равенства (**) следует, что = t , то есть | | , значит точка N лежит на прямой l (так как через данную точку проходит единственная прямая параллельная данной прямой).

Итак, мы доказали следующую теорему:

 

Теорема. Любая прямая на плоскости в декартовой системе координат может быть задана системой вида (m² + n² ≠ 0), где (m, n) – координаты направляющего вектора прямой, (x₀, y₀) – координат точки, принадлежащей данной прямой.

 

Докажем теперь и обратное.

 

Теорема. Любая система уравнений вида (m² + n² ≠ 0) на плоскости в декартовой системе координат задает некоторую прямую, при этом (m, n) – координаты направляющего вектора прямой, (x₀, y₀) – координат точки, принадлежащей данной прямой.

Доказательство.

Заметим, что (x₀, y₀) - это решение системы (**) (при t = 0).

Существует прямая с направляющим вектором = (m,n), проходящая через точку M₀(x₀, y₀). По предыдущей теореме такая прямая задается системой (**).

 

 

Замечания.

1) Можно доказать две предыдущие теоремы и для аффинной системы координат на плоскости.

2) Ясно, что направляющий вектор прямой и вектор нормали к этой же прямой взаимно ортогональны, то есть Am + Bn = 0, и если известен один из этих векторов то можно найти и другой. Например, если известен вектор нормали = (A, B), то в качестве направляющего вектора можно взять вектор = (-B, A).

 

Определение. Систему уравнений вида (m² + n² ≠ 0) будем назвать параметрическим заданием прямой, а букву t в этой системе параметром.