При выводе уравнения гармонических колебаний считалось, что
колеблющаяся точка находится под действием только квазиупругой
силы. Во всякой реальной колебательной системе всегда имеются силы
сопротивления (например, это может быть сила трения в точке
подвеса, сопротивление среды, в которой совершаются колебания).
Действие этих сил приводит к тому, что энергия колеблющейся системы
(или точки) будет непрерывно убывать. Эта убыль энергии будет равна
работе против сил трения и сопротивления. Т.к. полная энергия
колебаний пропорциональна квадрату амплитуды , то наличие сил
трения и сопротивления приведет и к непрерывному убыванию амплитуды
колебаний. Если убыль энергии не восполняется за счет работы
внешних сил, то колебания будут затухать (и носят название
затухающих).
Итак, затухание колебаний в любой колебательной системе
(механической, электрической и т.п.) обусловлено потерями энергии в
этой системе. Потери энергии колебаний в механических колебательных
системах происходят из-за трения (внешнего и внутреннего) и
излучения упругих волн в окружающую среду; в электрических – из-за
наличия активного сопротивления проводников и т.п.
Рассмотрим свободные (или собственные) колебания. Это значит, что
система, будучи выведена из положения равновесия в результате
внешнего воздействия, в дальнейшем предоставлена самой себе и
находится под воздействием только квазиупругой силы F=-kx и силы
сопротивления среды, значит она будет совершать затухающие
колебания вдоль оси “x”.
Ограничимся рассмотрением малых колебаний, тогда и скорость (v)
системы будет малой, а при небольших скоростях сила сопротивления
пропорциональна скорости:
,
где r – коэффициент сопротивления среды. Знак минус (“-”), т.к. и
имеют противоположные направления.
Под действием сил F и f тело приобретает ускорение “a”, и для
колеблющегося тела уравнение II-закона Ньютона имеет вид:
или .
Обозначим ; , тогда
(8.15)
– дифференциальное уравнение затухающих колебаний
Здесь w0 – та частота, с которой совершались бы свободные колебания
системы при отсутствии сопротивления среды (т.е. при r = 0). Эта
частота называется собственной частотой колебаний системы. b –
коэффициент затухания колебаний (зависит от свойств данной системы
и среды).
Наличие сопротивления среды приводит к тому, что амплитуда
колебаний со временем будет уменьшаться. Поэтому будем искать
решение уравнения (8.15) в виде:
где a(t) – некоторая функция времени.
Продифференцируем это выражение по времени и найдем и :
После подстановки этих выражений в уравнение (8.15) и несложных
преобразований придем к следующему соотношению:
.
Для того чтобы уравнение удовлетворялось при любых значения “t”,
необходимо равенство нулю коэффициентов при “sin” и ”cos”. Т.е.
приходим к двум следующим уравнениям:
(8.16)
(8.17)
Первое уравнение представим в виде:
или .
После интегрирования получим , где – постоянная интегрирования.
После потенцирования найденного выражения получим . Видно, что , а
. Подставим эти значения в (8.17), получим
.
Отсюда .
При w0 > b, величина w будет вещественной и тогда решение
дифференциального уравнения может быть представлено в виде
.
Таким образом, при не слишком большом затухании колебания
описываются функцией
.
График этой функции показан на рисунке 8.9. Пунктирными линиями
показаны пределы, в которых находится смещение колеблющейся точки.
Движение такой системы можно рассматривать как гармоническое
колебание с частотой w и амплитудой, изменяющееся по закону Верхняя
из пунктирных кривых дает график функции a(t), причем величина a0
представляет собой амплитуду в начальный момент времени. Начальное
смещение x0 зависит, кроме a0, также от начальной фазы a: .
Скорость затухания колебаний определяется величиной , которую
называют коэффициентом затухания. Найдем время t, за которое
амплитуда колебаний уменьшается в “e” раз. По определению .
Следовательно, коэффициент затухания равен обратной величине того
промежутка времени, за который амплитуда колебаний уменьшается в
“e” раз.
С учетом того, что , а период затухающих колебаний можно определить
как
.
При незначительном сопротивлении среды период колебаний практически
равен . С ростом коэффициента затухания период колебаний
увеличивается.
Для характеристики колебательной системы (а именно: убывания
амплитуды колебаний в зависимости от числа колебаний) вводится
величина, называемая логарифмическим декрементом затухания (l).
Отношение значений амплитуд, соответствующих моментам времени,
отличающимся на период равно
– это отношение называется декрементом затухания, а его логарифм –
логарифмическим декрементом затухания.
, т.е. . Т.к. , то . Отсюда следует, что логарифмический декремент
затухания l зависит от свойств данной системы и среды.
Выразим и запишем закон убывания амплитуды в виде . За время t, за
которое амплитуда колебаний уменьшится в “e” раз система совершит
колебаний. Из условия получаем . Поэтому .
Следовательно, логарифмический декремент затухания равен
обратнойвеличине числа колебаний, совершаемых системой за то время,
за которое амплитуда уменьшается в “e” раз (l – безразмерная
величина).
Для характеристики колебательной системы также часто употребляется
величина , называемая добротностью колебательной системы. Как видно
из определения, добротность пропорциональна числу колебаний N,
совершаемых системой за время t, за которое амплитуда колебаний
убывает в “e” раз.
Как известно, энергия колеблющейся системы пропорциональна квадрату
амплитуды. Поэтому энергия системы при затухающих колебаниях
убывает со временем по закону
,
где E0 – значение энергии при t = 0.
Продифференцировав это выражение по “t”, получим скорость
возрастания энергии
.
Изменив знак на обратный, найдем скорость убывания энергии: .
Если энергия мало изменяется за время равное периоду колебаний, то
убыль энергии за период будет равна .
С учетом и получим , т.е. при слабом затухании колебаний
добротность с точностью до множителя 2p равна отношению энергии,
запасенной в системе в данный момент, к убыли этой энергии за один
период колебаний.
Из формулы для периода колебаний следует, что с ростом коэффициента
затухания период колебаний увеличивается, а при b = w0 период
колебаний обращается в бесконечность, т. е., движение перестает
быть периодическим.
И последнее, математический анализ показывает, что при условии
движение носит апериодический (непериодический) характер –
выведенная из положения равновесия система возвращается в положение
равновесия, не совершая колебаний.