Лекции.ИНФО


Методы с использованием производных



 

Все рассмотренные в предыдущих разделах методы поиска осно­вываются на предположениях об унимодальности и в ряде случаев о непрерывности исследуемой целевой функции. Целесообразно предположить, что если в дополнение к условию непрерывности ввести требование дифференцируемости функции, то эффективность поисковых процедур можно существенно повысить. Напомним, что в разд. 2.2 установлено необходимое условие существования ло­кального минимума функции в некоторой точке z, согласно которому первая производная функции в точке zдолжна обращаться в нуль, т. е. f '(z)=df/dx|x=2=0.

Если функция f(x) содержит члены, включающие х в третьей и более высоких степенях, то непосредственное получение аналитиче­ского решения уравнения f'(x)=0может оказаться затруднитель­ным. В таких случаях используются приближенные методы последо­вательного поиска стационарной точки функции f. Прежде всего опишем классическую поисковую схему, ориентированную на на­хождение корня нелинейного уравнения. Эта схема была разрабо­тана Ньютоном и позднее уточнена Рафсоном [5].

Метод Ньютона — Рафсона

В рамках схемы Ньютона — Рафсона предполагается, что функ­ция f дважды дифференцируема. Работа алгоритма начинается в точке x1, которая представляет начальное приближение (или на­чальную оценку) координаты стационарной точки, или корня урав­нения f '(x)=0Затем строится линейная аппроксимация функции f'(x) в точке x1, и точка, в которой аппроксимирующая линейная функция обращается в нуль, принимается в качестве следующего

приближения. Если точка xk принята в качестве текущего прибли­жения к стационарной точке, то линейная функция, аппроксими­рующая функцию f '(x) в точке xk, записывается в виде

Приравняв правую часть уравнения (2.7) нулю, получим следующее приближение:

Рис. 2.14 иллюстрирует основные шаги реализации метода Ньютона. К сожалению, в зависимости от выбора начальной точки и вида функции алгоритм может как сходиться к истинной стационарной точке, так и расходиться, что отражено на рис. 2.15. Если начальная точка расположена правее х0, то получаемые в результате последова­тельных приближений точки удаляются от стационарной точки z.

Пример 2.10. Метод Ньютона — Рафсона

Рассмотрим следующую задачу:

минимизировать f(x)=2х2+(16/х).

Для того чтобы определить стационарную точку функции f(x), воспользуемся методом Ньютона — Рафсона, положив x1=l:

Итерации продолжаются до тех пор, пока не будет выполняться не­равенство |f'(xk )| < e, где e — заранее установленная величина до­пустимого отклонения.

Метод средней точки

 

Если функция f(x) унимодальна в заданном интервале поиска, то точкой оптимума является точка, в которой f '(х)=0. Если при этом имеется возможность вычислять как значения функции, так и ее производной, то для нахождения корня уравнения f '(х)=0 можно воспользоваться эффективным алгоритмом исключения интервалов, на каждой итерации которого рассматривается лишь одна пробная точка. Например, если в точке z выполняется неравенство f '(z)<0, то с учетом предположения об унимодальности естественно утверж­дать, что точка минимума не может находиться левее точки z. Дру­гими словами, интервал х≤z подлежит исключению. С другой сто­роны, если f '(z)>0, то точка минимума не может находиться правее z и интервал x≥z можно исключить. Приведенные рассуждения ле­жат в основе логической структуры метода средней точки, который иногда называют поиском Больцано.

Определим две точки L и R таким образом, что f '(L)<0 и f '(R)>0. Стационарная точка расположена между L и R. Вычислим значе­ние производной функции в средней точке рассматриваемого интер­вала z=(L+R)/2. Если f '(z)>0, то интервал (z, R)-можно исключить из интервала поиска. С другой стороны, если f '(z)<0, то можно исключить интервал (L, z). Ниже дается формализованное описа­ние шагов алгоритма.

Пусть имеется ограниченный интервал а≤ х≤ b и задан параметр сходимости e.

Шаг 1. Положить R=b, L=a; при этом f '(а)<0 и f '(b)>0.

Ш а г 2. Вычислить z=(R+L)/f '(z).

Ш а г 3. Если |f '(z)|≤e, закончить поиск. В противном случае, если f '(z)<0, положить L=z и перейти к шагу 2. Если f '(z)>0, по­ложить R=z и перейти к шагу 2.

Следует отметить, что логическая структура поиска в соответ­ствии с изложенным методом исключения интервалов основана лишь на исследовании знака производной независимо от значений, кото­рые эта производная принимает. В следующем подразделе рассмат­ривается метод секущих, при реализации которого рассматри­ваются как знак производной, так и ее значения.

Метод секущих

 

Метод секущих, являющийся комбинацией метода Ньютона и общей схемы исключения интервалов, ориентирован на нахождение корня уравнения f '(x)=0в интервале (а, b), если, разумеется, такой корень существует.

Предположим, что в процессе поиска стацио­нарной точки функции f(x) в интервале (а, b) обнаружены две точки L и R, в которых знаки производной различны. В этом случае алго­ритм метода секущих позволяет аппроксимировать функцию f '(x) «секущей прямой» (прямой линией, соединяющей две точки) и найти точку, в которой секущая графика f '(x) пересекает ось абсцисс (рис. 2.16). Таким образом, следующее приближение к стационарной точке х* определяется по формуле

Если |f(z)|≤ e, поиск следует закончить. В противном случае необходимо выбрать одну из точек L или R таким образом, чтобы знаки производной в этой точке и точке z были различны, а затем повторить основной шаг алгоритма. Например, в ситуации, изобра­женной на рис. 2.16, в качестве двух следующих точек должны быть выбраны точки z и R. Легко видеть, что в отличие от метода средней точки метод секущих основан на исследовании не только знака, но и значений производной в пробных точках и поэтому в ряде случаев позволяет исключить более половины интервала поиска (см. рис. 2.16).

Пример 2.11. Метод секущих

 

Опять рассмотрим задачу из примера 2.10:

минимизировать f(x)=2x2+(16/x) в интервале 1≤х≤5.

 

Шаг 3. f '(z)=3,51>0; положить R = 1,94. Итерации продол­жаются до тех пор, пока не будет выполняться неравенство |f(z)|≤ e.

 









Читайте также:

  1. В чем отличается первоначальные способы возникновения права собственности от производных способов?
  2. Вот как выглядит версия программы разбиения строки на слова с использованием арифметики указателей.
  3. Вычисление выражений с использованием стандартных функций
  4. Вычисление производных, интегралов, сумм, произведений и пределов в MathCad.
  5. Гадание с использованием домино
  6. Государственный Контроль За Использованием И Сохранностью Жилищного Фонда
  7. ДОБРОВОЛЬНОГО СТРАХОВАНИЯ РИСКОВ, СВЯЗАННЫХ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ
  8. Измерение тесноты и силы корреляционной связи с использованием коэффициента детерминации и эмпирического корреляционного отношения
  9. Изучение динамики ВВП и ВДС. Анализ взаимосвязи стоимостных показателей продукции с использованием индексных моделей
  10. Кипячение при низком избыточном давлении с использованием внутреннего кипятильника
  11. Метод поиска с использованием кубичной аппроксимации
  12. Методы оценивания с использованием квадратичной аппроксимации


Последнее изменение этой страницы: 2016-03-17; Просмотров: 244;


lektsia.info 2017 год. Все права принадлежат их авторам! Главная