Лекции.ИНФО


Оценка и интерпретация параметров.



Для анализа статистической значимости полученных коэффициентов множественной линейной регрессии оценивают дисперсию D(ai) и стандартные отклонения S(ai)=ÖD(ai) коэффициентов ai. Аналогично (10) величина t=ai/S(ai), называемая t–статистикой, имеет распределение Стьюдента с (n-m-1) степенями свободы. При достаточно большом числе степеней свободы (не менее 10), и при 5%-ном уровне значимости можно приближенно считать оценку незначимой, если t–статистика по модулю меньше 1, и весьма надежной, если модуль t–статистики больше 3.

Коэффициенты множественной линейной регрессии ai имеют большой экономический смысл. Они показывают, на сколько изменится анализируемый показатель Y при изменении фактора Хi на единицу.

Пример 2.1. Рассмотрим модели спроса, используя ниже приведенные в табл.2.1 конкретные статистические данные обследования семей, сведенные в девять групп (с примерно одинаковым объемом потребления).

 

Таблица 2.1

№ группы Траты на питание (у) Доход (х1) Размер семьи (х2) ŷ ej ej2
1,5 334,6 99,4 9880,36
2,1 626,5 –10,5 110,25
2,7 928,5 –28,5 812,25
3,2 1189,8 –76,8 5898,24
3,4 1340,5 –34,5 1190,25
3,6 1493,6 –5,6 31,36
3,7
4,0 1879,1 34,9
3,7 2409,5 1,5 2,25
Средние =1313,9 1 =6080,5 2 =3,1     2198,2

Сначала рассмотрим однофакторную линейную модель связитрат на питание (у) от величины дохода (х1)

ŷ =а0 + а1х1, (2.3)

параметры которой а0 и а1 находятся по формулам (1.5), используя исходные данные из табл.2.1 и =(∑х12)/9=63989644,1, =(∑х1у)/9)=10894351. Решение: а0=660,06; а1 = 0,1075. Получаем уравнение регрессии ŷ =660,06 + 0,1075х1.

Затем вычисляются средняя квадратическая ошибка (корень квадратный из дисперсии у)

Sу=√(∑(у у)2)/n,

средняя квадратическая ошибка модели (2.3) Sŷ =√(∑(уŷ)2)/n и коэффициент детерминации Rŷх1 =√1 – Sŷ2/ Sу2.

В нашем примере Sу2=454070, Sŷ2=63846, следовательно

Rŷх1 =√1 – 63846/454070 =0,927.

Полученное значение показывает, что связь между тратами на питание и доходом очень тесная.

R2ŷх1показывает долю изменения зависимой переменной под воздействием факторного признака. В нашем примере R2ŷх1=0,86, значит, фактором дохода можно объяснить 86,0% изменения трат на питание.

Теперь рассмотрим двухфакторную линейную модель связи трат на питание (у) от величины дохода (х1) и размера семьи (х2)ŷ =а0 + а1х1+ а2х2 .

Параметры модели а0 , а1и а2 находятся посредством решения следующей системы нормальных уравнений:

 

а0 + х1а1 + х2а2 = у

х1а0 + а1 + х1х2 а2 = ух1

х2а0 + х1х2 а1+ а2 = ух2,

которая также формируется при применении метода наименьших квадратов (средние величины х1х2 , и ух2 вычисляются аналогично однофакторной модели). Получаем систему

а0 + 6080,5а1 + 3,1а2 = 1313,9

6080,5а0 + 63989644,1а1 + 21649,1а2 = 10894351

3,1а0 + 21649,1а1 + 10,2а2 = 4488,

которую решаем, например, методом Гаусса.

Делим второе и третье уравнения на коэффициент при а0.

а0 + 6080,5а1 + 3,1а2 = 1313,9

а0 + 10523,75а1 + 3,56а2 = 1791,69

а0 + 6983,58а1 + 3,29а2 = 1447,74.

От второго и третьего уравнения отнимаем первое

а0 + 6080,5а1 + 3,1а2 = 1313,9

4443,25а1 + 0,46а2 = 477,79

903,08а1+ 0,19а2 = 133,84.

Делим второе и третье уравнения на коэффициент при а1.

а0 + 6080,5а1 + 3,1а2 = 1313,9

а1 + 0,0001035а2 = 0,1075316

а1+ 0,0002104а2 = 0,1482039.

От третьего уравнения отнимаем второе

а0 + 6080,5а1 + 3,1а2 = 1313,9

а1 + 0,0001035а2 = 0,1075316

0,0001069а2= 0,0406723.

Из третьего уравнения находим а2 =380.47; подставляя его во второе уравнение получаем а1 = 0,06815; подставляя найденные а1и а2 в первое уравнение, получаем а0 = –279.94; следовательно

ŷ = –279.94 + 0.06815х1+ 380.47х2 .

При определении тесноты связи сначала вычисляются теоретические значения ŷ, затем уклонения ej и их квадраты (колонки 5,6,7 табл.2.1). Получим Sŷ2 =(∑(уŷ)2)/n =2198,2. Используя ранее вычисленное Sу2=454070, получим R2 =1 – Sŷ2/ Sу2 =0,995. R2 показывает долю вариации зависимой переменной под воздействием изучаемых факторов. У нас R2=0,995, значит, совместное влияние дохода и размера семьи объясняет почти 99,5% изменения трат на питание.

 

Описание связей между макроэкономическими переменными.

Влияние каждого фактора в многофакторных моделях можно охарактеризовать посредством частных коэффициентов эластичности, в случае двухфакторной линейной модели они рассчитываются по формулам

Э ŷх1(х2) = а1х1 / у; Э ŷх2(х1)= а2х2 / у. (2.4)

Каждый частный коэффициент эластичности показывает, на сколько % изменится зависимая переменная, если изменить соответствующий факторный признак на один процент не меняя значения остальных.

В рассматриваемом выше примере 2.1

Эŷх1(х2)=0,06815·6080,5/1313,9=0,315; Эŷх2(х1)=380.47·3,1/1313,9=0,898.

Значит, при увеличении дохода на один процент и постоянном размере семьи траты на питание возрастут на 0,315 процента, а увеличение на один процент размера семьи при постоянном доходе приведет к росту расходов на питание на 0,898 процента.

Пример 2.2. Как размер платы за квартиру зависит от площади квартиры и от количества человек, прописанных в данной квартире.

Данные приведены в табл.2.2.

Таблица 2.2

N Квартплата, руб. Площадь квартиры, м2 Количество человек
y x1 x2
244,19 46,0
450,50 80,2
199,86 43,8
192,00 48,9
98,50 12,0
356,59 59,8
381,54 51,9
118,48 18,0
324,40 53,8
182,50 16,0
  =254,86 1=43,04 2=2,5

Построим линейную аддитивную модель в виде ŷ=а0+а1x1+а2x2. Необходимые данные для расчета модели сведем в табл. 2.3.

 

Таблица 2.3

N yx1 yx2 x12 x22 x1x2
11232,74 732,57
36130,1 1351,5 6432,04 240,6
8753,87 199,86 1918,44 43,8
9388,8 2391,21 97,8
98,5 12,0
21324,08 1069,77 3576,04 179,4
19801,93 1526,16 2693,01 207,6
2132,64 236,96
17452,72 973,2 2894,44 161,4
547,5 48,0
  1=13031,9 2=712 =2274,58 =7,1 х1х 2=116,46

Для решения линейной двухфакторной модели строим следующую систему уравнений:

а0+ 1a1+ 2a2 =

1а0+ a1+ х1х 2a2 = 1

2а0+ х1х 2a1+ a2 = 2.

Нам нужно решить систему из трех линейных уравнений с тремя неизвестными и найти значения коэффициентов модели а0, а1 и а2.

Подставляя в данную систему найденные числовые данные, получим систему

а0+43,04 a1+2,5 a2 = 254,86

43,04 а0+2274,58 a1+116,46 a2 = 13031,89

2,5а0+116,46 a1+7,1 a2 = 712.

Для того чтобы решить данную систему уравнений методом Крамера, найдем сначала значение определителя основной матрицы. Этот определитель определяется равенством

∆ = 43,04 2,5 43,04 2274,58 116,46 2,5 116,46 7,1 = 1 2274,58 116,46 116,46 7,1 –43,04 43,04 2,5 116,46 7,1

 

+ 2,5 43,04 2,5 2274,58 116,46 =1×(16149,518-13562,93)–43,04×(305,58–291,1)+2,5×

×(5012,44–5686,45)=2586,586 – 621,07 – 1685,025=280,49.

Получили, что ∆=280,49≠0, значит, система уравнений имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера

 

, .

а0 = 254,86 13031,89 43,04 2274,58 116,46 2,5 116,46 7,1 = 254,86 2274,58 116,46 116,46 7,1 – 43,04×

 

13031,89 116,46 7,1 + 2,5 13031,89 2274,58 116,46 =254,86×(16149,52–13562,93) –

–43,04×(92526,42–82919,52) + 2,5×(1517693,9–1619500,96) = 659218,33 –

– 413480,98–254515,25= –8777,9.

а1= 43,04 2,5 254,86 13031,89 2,5 116,46 7,1 =1 13031,89 116,46 7,1 – 254,86 43,04 2,5 116,46 7,1
+ 2,5 43,04 2,5 13031,89 =1×(92526,42–82919,52)–254,86×(305,58–91,15)+2,5×  
                         

×(30644,48–32579,72)=9606,9–3677,63–4838,1=1091,2.

а2= 43,04 2,5 43,04 2274,58 116,46 254,86 13031,89 = 1 2274,58 116,46 13031,89 – 43,04×

 

43,04 2,5 13031,89 + 254,86 43,04 2,5 2274,58 116,46 = 1×(1619500,96–1517693,91) –

– 43,04 ×(30644,48 – 32579,73) + 254,86 × (5012,44 –5686,45) =

=101807,05+83293,16–171778,19=13322,02.

Теперь мы можем найти значения коэффициентов модели а0, а1 и а2.

а0 = –8777,9/280,49= –31,3;

а1 = 1091,2/280,49= 3,89;

а2 = 13322,02/280,49= 47,5,

следовательно, линейная аддитивная модель имеет следующий вид:

ŷ= –31,3+3,89 x1+47,5 x2.

Коэффициент регрессии модели а1 =3,89 показывает, что каждый метр площади квартиры повышает квартплату на 3,89 руб., а коэффициент а2=47,5 показывает, что каждый прописанный человек повышает квартплату на 47,5 руб.

Найдем теоретические значения ŷ и их отклонения от априорных (данные приведены в табл.2.4).

Таблица 2.4

номер y (y - )2 ŷ ε=ŷ - у ε2
244,19 113,85 290,14 45,9 2106,8
450,50 38275,01 423,1 –27,4 750,8
199,86 186,52 –13,3 176,9
192,00 3951,38 253,88 61,9 3831,6
98,50 24448,45 62,88 –35,6 1267,4
356,59 10348,99 343,79 –12,8 163,8
381,54 16047,82 360,61 –20,9 436,8
118,48 18599,50 133,74 15,3 234,1
324,40 4835,81 320,47 –3,9 15,2
182,50 5235,97 173,5 –9
∑/n =254,86 12488,18     906,4

Совокупный коэффициент детерминации

R2= 1 – 906,4/12488,18= 0,927.

Значение данного коэффициента близко к 1, что очень хорошо.









Читайте также:

Последнее изменение этой страницы: 2016-05-30; Просмотров: 61;


lektsia.info 2017 год. Все права принадлежат их авторам! Главная