Лекции.ИНФО


Оценка общего качества уравнения множественной регрессии



 

Значимость уравнения множественной регрессии в целом, так же как и в парной регрессии, оценивается с помощью -критерия Фишера:

, (2.16)

где – коэффициент детерминации; – количество объясняющих переменных X (в линейной регрессии совпадает с числом включенных в модель факторов); n – число наблюдений.

Частные -критерии Fxi, к примеру в случае m=2, оценивают статистическую значимость присутствия факторов х1 и х­2 в уравнении множественной регрессии, целесообразность включения в уравнение одного фактора после другого, т.е. Fx1 оценивает целесообразность включения в уравнение фактора x1 после того, как в него был включен фактор x2. Соответственно Fx2 указывает на целесообразность включения в модель фактора х2 после фактора х1. Необходимость такой оценки связана с тем, что не каждый фактор, вошедший в модель, может существенно увеличивать долю объясненной вариации результативного признака. Кроме того, при наличии в модели нескольких факторов они могут вводиться в модель в разной последовательности. Ввиду корреляции между факторами значимость одного и того же фактора может быть разной в зависимости от последовательности его введения в модель.

Частный -критерий построен на сравнении прироста факторной дисперсии, обусловленного влиянием дополнительно включенного фактора, с остаточной дисперсией на одну степень свободы по регрессионной модели в целом. В общем виде для фактора частный -критерий определится как

, (2.17)

где – коэффициент множественной детерминации для модели с полным набором факторов, – тот же показатель, но без включения в модель фактора , – число наблюдений, – число параметров в модели (без свободного члена).

Фактическое значение частного -критерия сравнивается с табличным при уровне значимости и числе степеней свободы: 1 и . Если фактическое значение превышает , то дополнительное включение фактора в модель статистически оправданно и коэффициент чистой регрессии при факторе статистически значим. Если же фактическое значение меньше табличного, то дополнительное включение в модель фактора не увеличивает существенно долю объясненной вариации признака , следовательно, нецелесообразно его включение в модель; коэффициент регрессии при данном факторе в этом случае статистически незначим.

Для двухфакторного уравнения частные -критерии имеют вид:

, . (2.17а)

С помощью частного -критерия можно проверить значимость всех коэффициентов регрессии в предположении, что каждый соответствующий фактор вводился в уравнение множественной регрессии последним.

 

Решение типовых задач

Задача 2.6.1.

Рассмотрим в качестве примера множественной регрессии двухфакторную линейную модель. Исходные данные представлены в таблице 2.6.1.

Таблица 2.6.1

№ группы Расходы на питание (y) Душевой доход (x1) Размер семьи (x2)
1,5
2,1
2,4
2,7
3,2
3,4
3,6
3,7
3,7

 

Необходимо:

1. по МНК определить параметры множественной линейной регрессии ;

2. оценить статистическую значимость найденных эмпирических коэффициентов регрессии1, b2;

3. сравнить влияние факторов на результат при помощи средних коэффициентов эластичности;

4. построить 95-% доверительные интервалы для найденных коэффициентов;

5. вычислить коэффициент детерминации R2 и оценить его статистическую значимость при α = 0,05;

6. Проверить качество построенного уравнения регрессии с помощью F-статистики Фишера.

7. Оценить целесообразность включения в уравнение одного фактора после другого с помощью частных F-статистик Фишера.

Решение:

Определим по МНК коэффициенты уравнения регрессии. Для этого нам необходимо рассчитать следующую таблицу:

 

Для вычисления коэффициентов уравнения регрессии необходимо определить значения 6-ти сумм:

1. = =

2. = =

3. = =

4. = =

5. = =

6. = =

Подставим полученные значения 6-ти сумм в формулы для расчета коэффициентов уравнения регрессии (m=2):

или

= =0,072;

= =343,293;

= = -190,63.

Таким образом, мы получили эмпирические значения параметров множественной линейной регрессии, которая имеет следующий вид:

= - 190,63+0,072x1+343,293x2

Рассмотрим матричный вид определения вектора оценок коэффициентов регрессии

а. Определим вектор оценок коэффициентов регрессии. Согласно методу наименьших квадратов, вектор получается из выражения:

B = (XTX)-1XTY

 

Матрица X Матрица Y

1,5
2,1
2,4
2,7
3,2
3,4
3,6
3,7
3,7

 

Матрица XT

1,5 2,1 2,4 2,7 3,2 3,4 3,6 3,7 3,7

 

б. Умножаем матрицы, (XTX)

в. Умножаем матрицы, (XTY)

г. Находим определитель det (XTX)T = 7865492387

д. Находим обратную матрицу (XTX)-1

е. Вектор оценок коэффициентов регрессии равен:

B = (XTX)-1XTY

Таким образом, мы получили уравнение регрессии: y = -190,6301 + 0,072x1 + 343,293x2

2. оценим статистическую значимость найденных эмпирических коэффициентов регрессии 1, b2 с помощью t-статистики Стьюдента. Для этого сначала необходимо определить стандартные ошибки коэффициентов корреляции:

= =2207,582

или

= =0,0000169

 

= =719,75304

 

Определим значения t-статистик для каждого из коэффициентов:

=17,5

=12,7

Сравним полученные расчетные значения t-статистики Стьюдента с соответствующим критическим значением (см. таблица Распределение Стъюдента):

= = = =2,365

Так как , мы делаем вывод о том, что оба коэффициента сильно значимы для построенной модели.

3. Рассчитаем средние коэффициенты эластичности для коэффициентов , входящих в уравнение множественной регрессии по следующей формуле:

Таким образом, в случае изменения фактора X­­1 (доход семьи) на 1% зависимая переменная Y (расходы на питание) изменится на 0,326%, а если фактор X2 (количество человек в семье) изменится на 1%, то значение параметра Y изменится на 0,826%. Следовательно, большей чувствительностью модель обладает по фактору количество человек в семье.

 

4. Построим 95-% доверительные интервалы для найденных коэффициентов:

Таким образом, если по другим выборкам мы получим значение коэффициентов, принадлежащие этим интервалам, то мы можем утверждать, что уравнение регрессии покажет такое же поведение для Y как определенное по выборке.

5. Определим коэффициент детерминации R2 и оценим его статистическую значимость при α = 0,05

= = 0,995

Следовательно, учтенные в модели факторы на 99,5% определяют поведение зависимой переменной Y.

6. Проверим качество построенного уравнения регрессии с помощью F-статистики Фишера:

= =696,5

Сравним полученные расчетные значения F-статистики Фишера с соответствующим табличным значением (см. таблица Распределение Фишера):

= = = =19,4

Следовательно, так как , мы делаем вывод о том, что модель имеет хороший уровень качества.

6. Оценим целесообразность включения в уравнение одного фактора после другого с помощью частных F-статистик Фишера

=

=

В нашем случае = 160,2173; = 300,0869; = 23,68 (для числа степеней свободы 7 и 1 соответственно и уровня значимости 0,05)

Сравнивая значения и (300,0869 > 23,68), делаем вывод о том, что включение в модель фактора X2 после фактора X1 улучшает модель.

Сравнение и (160,2173 > 23,86) также показывает, что включение в модель дополнительного фактора X1 после того, как фактор X2 уже включен в уравнение улучшает модель, но не на столько как в первом случае. Поэтому приходим к выводу о целесообразности включения фактора X2 после X1 и что оба фактора одинаково значимы для построенной модели.

 

Рассмотрим решение задачи с помощью Excel

Ехсеl позволяет при построении уравнения линейной регрессии большую часть работы сделать очень быстро. Важно понять, как интерпретировать полученные результаты. Воспользуемся надстройкой Пакет анализа.

Сервис — Анализ данных — Регрессия — ОК. Появляется диалоговое окно, которое нужно заполнить. В графе Входной интервал Y: указывается ссылка на ячейки, содержащие значения результативного признака у. В графе Входной интервал Х: указывается ссылка на ячейки, содержащие значения факторов х1,..., хm (m≤16). Если первые из ячеек содержат пояснительный текст, то рядом со словом Метки нужно поставить «галочку» Уровень надежности (доверительная вероятность) по умолчанию предполагается равным 95%. Если исследователя это значение не устраивает, то рядом со словами Уровень надежности нужно поставить «галочку» и указать требуемое значение. Поставив «галочку» рядом со словом константа-ноль, исследователь получит b0 =0 по умолчанию. Если нужны значения остатков еi и их график, то нужно поставить «галочки» рядом со словами Остатки и График остатков. ОК. Появляется итоговое окно.

Если число в графе Значимость F превышает 1 — Уровень надежности, то принимается гипотеза R2 = 0. Иначе принимается гипотеза R2 ≠ 0.

Р-значение — это значения уровней значимости, соответствующие вычисленным t-статистикам. Р-значение = СТЬЮДРАСП (t -статистика; n-m-1) (статистическая функция мастера функций ƒx). Если Р-значение превышает 1 — Уровень надежности, то соответствующая переменная статистически незначима и ее можно исключить из модели.

Нижние 95% и Верхние 95% — это нижние и верхние границы 95-процентных доверительных интервалов для коэффициентов теоретического уравнения линейной регрессии. Если исследователь согласился с принятым по умолчанию значением доверительной вероятности 95%, то последние два столбца будут дублировать два предыдущих столбца. Если исследователь вводил свое значение доверительной вероятности p, то последние два столбца содержат значения соответственно нижней и верхней границы p-процентных доверительных интервалов.

 

Таким образом, при определении зависимости расходов на питание (Y) от размера дохода (X1) и от количества человек в семье (X2) было обнаружено, что при неизменном значении параметра количество человек в семье и изменения на 1 у.е. размера дохода семьи, расходы на питание вырастут на 0,07 у.е. В то же время, если не измениться доход семьи, а количество человек станет на одного больше, то расходы в семье вырастут на 343, 29 у.е.

Поскольку > нулевая гипотеза отклоняется, то есть можно сделать вывод о статистической значимости уравнения в целом. Все выше обозначенные выводы позволяют сделать, что двухфакторная модель зависимости расходов на питание от душевого дохода и размера семьи является статистически значимой, надежной и может использоваться для прогнозов.

 

Упражнения и задачи

 

Задача 2.7.1

По 10-ти предприятиям изучается зависимость объема выпуска продукции от численности персонала и расхода материалов. Даны:

Коэффициент детерминации: ?

Множественный коэффициент корреляции: 0,80

Уравнение регрессии: y = ? +0,48x1 +70x2 +1,2x3

Стандартные ошибки параметров (S): 2 0,06 ? 0,24

t-критерий для параметров 1,5 ? 4 ?

Восстановить пропущенные характеристики оценки значимости уравнения.

 

Задача 2.7.2.

Проверить гипотезу H0 о статистической незначимости уравнения регрессии, если индекс корреляции rxy=0,4, число измерений 10, число параметров 3. (По критерию Фишера).

 

Задача 2.7.3.

По 20-ти предприятиям концерна изучается зависимость прибыли y от выработки продукции на одного работника x1 и индекса цен x2. Полученные данные:

, , ,

, , ,

, ,

Найдите уравнение множественной регрессии в стандартизированном натуральном масштабе.

 

 

Задача 2.7.4.

По 20 наблюдениям получены следующие результаты:

; ; ;

; ; ;

; ; ; .

a) Оцените коэффициенты линейной регрессии

b) Определите стандартные ошибки коэффициентов;

c) Вычислите и ;

d) Оцените 95%-е доверительные интервалы для коэффициентов b1 и b2;

e) Оцените статистическую значимость коэффициентов регрессии и детерминации при уровне значимости a=0,05;

f) Сделайте выводы по модели.

 

Задача 2.7.5.

Для оценки коэффициентов уравнения регрессии вычисления проведены в матричной форме при n = 30.

;

;

a) Определите эмпирические коэффициенты регрессии;

b) Оцените их дисперсию и ковариацию cov(b1,b2)

c) С доверительной вероятностью g = 0,95 оценить значимость коэффициентов регрессии и для значимых коэффициентов определить доверительные интервалы, оценить значимость уравнения регрессии.

 

 

Задача 2.7.6

Вычислить эластичность в общем виде и в точке x = 1 для функции:

y = 3x2 + 2/x

где x1 = x2, x2 = 1/x

 

Задача 2.7.7.

Предполагается, что объем предложения товара у линейно зависит от цены товара Х1 и зарплаты со­трудников X2: у=β01X12X2. Статистические данные собраны за 14 месяцев.

x1
x2
y

 

 

Найти:

1. Оценить по МНК коэффициенты теоретического уравнения множественной регрессии ;

2. Дайте сравнительную оценку силы связи факторов с результатом с помощью средних (общих) коэффициентов эластичности;

3. Оценить статистическую значимость параметров регрессионной модели с помощью t-критерия; нулевую гипотезу о значимости уравнения и показателей тесноты связи проверьте с помощью F-критерия;

4. Рассчитайте доверительный интервал прогноза для уровня значимости 5% (α = 0,05);

 


Автокорреляция

 









Читайте также:

  1. A. Оценка будущей стоимости денежного потока с позиции текущего момента времени
  2. F. Оценка будущей стоимости денежного потока с позиции текущего момента времени
  3. G) определение путей эффективного вложения капитала, оценка степени рационального его использования
  4. I. Самооценка и уровень притязаний
  5. Агрономическая оценка ПЗВ в метровом слое почвы
  6. Агроэкологическая оценка земель конкретного хозяйства и распределение их по группам пригодности для возделывания сельскохозяйственных культур
  7. Агроэкологическая оценка севооборотов
  8. Акустический метод контроля качества опорно-стержневых изоляторов. Хроматограф.
  9. Анализ и оценка движения денежных средств
  10. Анализ и оценка инвестиций в реальные активы на основе дисконтированного потока денежных средств. Чистая приведенная стоимость (NPV) проекта.
  11. Анализ и оценка ликвидности и платежеспособности
  12. Анализ и оценка потенциального банкротства


Последнее изменение этой страницы: 2016-06-05; Просмотров: 468;


lektsia.info 2017 год. Все права принадлежат их авторам! Главная