Рассмотрим систему материальных точек, каждая из которых может
перемещаться, оставаясь в одной из плоскостей, проходящих через ось
Z (рис. 4.15). Все плоскости могут вращаться вокруг оси Z с угловой
скоростью . Тангенциальная составляющая скорости i-ой точки может
быть записана в виде: .
Тогда, учитывая, что
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: моментом импульса относительно оси Z называется
составляющая по этой оси момента импульса относительно точки «О»,
лежащей на оси (рис. 4.16): , можно показать, что , где –
составляющая радиус-вектора , перпендикулярная оси Z; –
составляющая вектора , перпендикулярная к плоскости, проходящей
через ось Z и точку «m».
Подставив значение для в формулу для получим выражение для момента
импульса точки относительно оси Z:
.
Это можно записать, воспользовавшись свойством двойного векторного
произведения и учтя, что векторы и взаимно перпендикулярны.
Просуммировав это выражение по всем точкам и вынося общий множитель
за знак суммы (S), найдем для момента импульса системы относительно
оси Z следующее выражение:
,
где – момент инерции системы материальных точек относительно оси
Z.
Тогда .
Учитывая, что , получаем
. (4.3)
Это основное уравнение динамики вращательного движения. По форме
оно сходно с уравнением II-закона Ньютона: .
Абсолютно твердое тело можно рассматривать как систему материальных
точек с неизменными расстояниями между ними. Для такой системы
момент инерции есть величина постоянная относительно фиксированной
оси. Следовательно, для абсолютно твердого тела основное уравнение
динамики вращательного движения примет вид:
, (4.4)
где – угловое ускорение тела;
– результирующий момент внешних сил, действующих на тело.
Сопоставив уравнения динамики вращательного движения с уравнениями
динамики поступательного движения, легко заметить, что при
вращательном движении роль силы играет момент силы, роль массы –
момент инерции и т.д. (см. таблицу).
Поступательное движение
Вращательное движение
– сила
или – момент силы
m – масса
– момент инерции
– линейная скорость
– угловая скорость
– линейное ускорение
–угловое ускорение
– импульс
–момент импульса
Все приведенные выше формулы справедливы для случая, если ось
вращения тела неподвижна.
Основное уравнение динамики вращательного движения.
62
0
1 минута
Темы:
Понравилась работу? Лайкни ее и оставь свой комментарий!
Для автора это очень важно, это стимулирует его на новое творчество!