Решетки, дистрибутивные решетки

Решетки, дистрибутивные решетки. Булеан и теорема о числе элементов множества всевозможных подмножеств заданного множества. Решетка — это множество М с двумя бинарными операциями , такими что выполнены следующие условия (аксиомы решетки):1. идемпотентность:а а = a, aa = а; 2. коммутативность:аb = bа ab = ba;3. ассоциативность:(а b) с = а (b с), (а b) с = а (b с);4. поглощение:(оB) а = а, (аb) a = а;5. Решетка называется дистрибутивной, еслиa(bc)= (аb) (ас), а (bс) = (аb) (ас). Булеан и теорема о числе элементов множества всевозможных подмножеств;Множество всех подмножеств множества М называется булеаном и обозначается 2м:ТЕОРЕМА Для конечного множества М .Доказательство;Индукция по |M|. База: если |M |=0, то и . Следовательно, .Индукционный переход: пусть . Рассмотрим . Положим M1:=и M2:= .Имеем 2M= M1 M2 и M1 M2=. По индукционному предположению |M1|=2k-1, |M2|=2k-1. Следовательно, |2M|=|M1|+|M2|=2k-1+2k-1=.Пересечение, объединение и разность подмножеств множества U (универсума) являются подмножествами множества U. Множество всех подмножеств множества U с операциями пересечения, объединения, разности и дополнения образует алгебру подмножеств множества U