Средняя высота поверхности.

Под средней высотой поверхности над уровнем океана понимают среднее из высот всех элементарно-малых площадок, взятых на этой поверхности.
Представляя высоту Н поверхности функцией прямоугольных координат карты
H=F(x, у) (1),
Запишем формулу среднего интегрального значения для двумерной области d wsp:val="00FC5C93"/><wsp:rsid wsp:val="00FE21E7"/></wsp:rsids></w:docPr><w:body><w:p wsp:rsidR="00000000" wsp:rsidRDefault="005213BB"><m:oMathPara><m:oMath><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="26"/><w:sz-cs w:val="26"/></w:rPr><m:t>Пѓ</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> :

Где - площадь области d wsp:val="00FC5C93"/><wsp:rsid wsp:val="00FE21E7"/></wsp:rsids></w:docPr><w:body><w:p wsp:rsidR="00000000" wsp:rsidRDefault="00B928B4"><m:oMathPara><m:oMath><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="26"/><w:sz-cs w:val="26"/></w:rPr><m:t>Пѓ</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> .
Формулу (2)можно представить в таком виде:


Где t wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="26"/><w:sz-cs w:val="26"/></w:rPr><m:t>Пѓ</m:t></m:r></m:e><m:sub><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="26"/><w:sz-cs w:val="26"/></w:rPr><m:t>n</m:t></m:r></m:sub></m:sSub></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> - профильные доли области d wsp:val="00FC5C93"/><wsp:rsid wsp:val="00FE21E7"/></wsp:rsids></w:docPr><w:body><w:p wsp:rsidR="00000000" wsp:rsidRDefault="00843A45"><m:oMathPara><m:oMath><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="26"/><w:sz-cs w:val="26"/></w:rPr><m:t>Пѓ</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> , заполняющие ее без разрывов и перекрытий.
Формулу (3) можно использовать для определения в том случае, если область d wsp:val="00FC5C93"/><wsp:rsid wsp:val="00FE21E7"/></wsp:rsids></w:docPr><w:body><w:p wsp:rsidR="00000000" wsp:rsidRDefault="00E55AC0"><m:oMathPara><m:oMath><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="26"/><w:sz-cs w:val="26"/></w:rPr><m:t>Пѓ</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> можно так разделить на доли, чтобы определение средней высоты в ней осуществлялось сравнительно просто.
Например, если за принять участки поверхности, ограниченные соседними горизонталями, то средние высоты этих высотных поясов будут равны полусумме отметок окаймляющих участок горизонталей.

Тогда интеграл по области (в скобках формулы 3) можно записать так:


Где - площадь высотного пояса
И тогда с учетом формулы (4) формула (3) представляется в следующем виде:


По формуле (5) мы получаем, что измерив площади высотных ступеней и найдя их средние высоты (полусуммы отметок ограничивающих горизонталей , получим данные для вычисления средней высоты заданной области d wsp:val="00FC5C93"/><wsp:rsid wsp:val="00FE21E7"/></wsp:rsids></w:docPr><w:body><w:p wsp:rsidR="00000000" wsp:rsidRDefault="006E429D"><m:oMathPara><m:oMath><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="26"/><w:sz-cs w:val="26"/></w:rPr><m:t>Пѓ</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> .Этот способ называется планиметрическим.
Рассмотрим другой способ, точечный.
Этот способ состоит в том, что на карту наносится произвольная сетка точек. И тогда за среднюю высоту области d wsp:val="00FC5C93"/><wsp:rsid wsp:val="00FE21E7"/></wsp:rsids></w:docPr><w:body><w:p wsp:rsidR="00000000" wsp:rsidRDefault="00A70234"><m:oMathPara><m:oMath><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="26"/><w:sz-cs w:val="26"/></w:rPr><m:t>Пѓ</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> принимается среднее арифметическое из высот Нк всех точек, которые будут находиться в данной области:



Полагая, что высоты сняты в n точках, расположенных в пределах области d wsp:val="00FC5C93"/><wsp:rsid wsp:val="00FE21E7"/></wsp:rsids></w:docPr><w:body><w:p wsp:rsidR="00000000" wsp:rsidRDefault="00987C1E"><m:oMathPara><m:oMath><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="26"/><w:sz-cs w:val="26"/></w:rPr><m:t>Пѓ</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> , можно рассчитать ср. кв. ошибку как ошибку репрезентативности выборки точек по формуле:
Где - ср.кв. отклонение высоты.


Если известна ср. кв. ошибка определения высоты в точках (с учетом ошибок карты), то соответствующая ошибка ср. высоты:



И тогда общая ср. кв. ошибка средней высоты складываются из :



Или с учетом формул (7) и (9):


Здесь δН можно найти с помощью выборки значений определяется по нормативным документам для топокарт.
Формула (11) позволяет рассчитать число точек n, необходимых для определения ср. высоты с заданной , если известны δ Н и mH:


Найдя необходимое число точек n, найдем расстояния между точками, которое необходимо, чтобы соблюдалась заданная точность:


Где - площадь области .