Электрон в потенциальной яме. Туннельный эффект

Электрон в потенциальной яме Если ранее мы рассматривали примеры в которых е- мог свободно перемещаться в некоторых областях одномерного пространства. Теперь поместим его в область с низкой потенциальной энергией. Такую область обычно называют потенциальной ямой.
Профиль потенциальной ямы шириной L показан на рис. 25 Пока Е>V1, решение не отличается от уже известного нам, но когда Е
Рассмотрение уравнения Шредингера для пространственно однородного потенциала дает следующие результаты. В области 3 существует только экспоненциально убывающее решение (п.1) где (п.2) В области 2 потенциал равен нулю. Здесь возможны решения двух видов - симметричное и антисимметричное (что определяется симметричным распределением потенциала). Соответственно, (п.3) (п.4) Здесь (п.5) В области 1 решение снова должно быть затухающим, но на сей раз в направлении отрицательных Z. Соображениям симметрии удовлетворяет функция (п.6) Исследуем сначала симметричное решение. В этом случае надо использовать уравнения (п.1) и (п.3), а так же уравнение (п.6) со знаком "+". В точках Z=L/2 и Z=-L/2 должны выполняться условия непрерывной волновой функции и ее производной. В силу симметрии задачи достаточно удовлетворить граничным условиям в какой-либо одной точке, скажем в точке Z=L/2. Из условия непрерывности волновой функции следует, что (п.7) А из условия, налагаемого на производную (п.8) Таким образом однородную систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов A и C. Эта система имеет нетривиальное решение, если ее детерминант равен нулю, т.е. (п.9) или (п.10) Используя (п.2) и (п.5) получим (п.11) Нелинейное уравнение (п.11) необходимо решить относительно энергии E. Его можно решить на ЭВМ или графически, построив отдельно левую и правую части (п.11). Для примера: m=9.1*10-31кг, ћ=1.05*10-34Дж/Гц, и примем L=10-9м, V1=1.6*10-19Дж Как видно кривые пересекаются в трех точках, т.е. существуют ровно три решения. Энергия электрона может иметь любое значение в области Е>V1, но если ЕТаким образом мы решили задачу, которую с полным основанием можно назвать квантово-механической. Энергия больше не может принимать любое значение. Разрешены только вполне определенные дискретные состояния. Дискретные энергетические уровни энергии появляются всякий раз, когда мы ограничиваем движение электрона. Решение приобретает вид дискретного набора волновых функций и уровней энергии. Итак, для е- в твердом теле уравнение может быть записано в виде: (1) Где - дифференциальный оператор Лапласа в декартовой системе координат. Y(x,y,z) - волновая функция E - полная энергия электрона V1(x,y,z) - потенциальная энергия электрона h - постоянная Планка m - масса электрона Установлено, что уравнение (1) имеет отличные от нуля решения относительно Y(x,y,z) только при некоторых дискретных значениях энергии E. В этих случаях говорят, что имеет место некоторое квантовое состояние. Каждому квантовому состоянию отвечает определенное значение энергии электрона E, а также его импульса mV или ћk. Для описания квантового состояния используют набор квантовых чисел: · n (азимутальное квантовое число, · l (орбитальное квантовое число), · ml (магнитное орбитальное квантовое число) и · ms (спиновое число). Поскольку уравнение (1) имеет отличные от нуля решения только при некоторых дискретных E, то говорят, что электрон занимает некоторые разрешенные энергетические уровни. В соответствии с принципом Паули два электрона в любом атоме не могут находиться в одном и том же квантовом состоянии, число электронов находящихся на одном и том же энергетическом уровне не может превышать числа квантовых состояний. В твердых кристаллических телах высока концентрация атомов, из-за их близкого расположения между атомами возникает взаимодействие и потенциальная энергия электронов становится периодической функцией пространственных координат. Вследствие этого энергетические уровни любого атома становятся связанными с уровнями других атомов. Происходит расщепление каждого уровня на такое число новых уровней, которое совпадает с числом взаимодействующих атомов. Поскольку межатомные расстояния достаточно велики, отдельные уровни энергии оказываются очень близкими и образуют энергетические зоны. Распределение электронов Подобно энергетическим уровням в изолированных атомах энергетической зоны могут быть полностью заполненными, частично заполненными и свободными. Самую верхнюю из заполненных электронами зон называют валентной. Эта зона соответствует энергетическим уровням электронов внешней оболочки в изолированных атомах. Ближайшую к ней свободную, незаполненную электронами зону, называют зоной проводимости. Классификация твердых тел В зависимости от того, как расположены энергетические зоны, твердые тела принято делить · диэлектрики · полупроводники · металлы Согласно зонной теории, электроны валентной зоны имеют практически одинаковую свободу движения во всех твердых телах независимо от того, являются ли они металлами или диэлектриками. Для объяснения различий в электрических свойствах материалов надо принять во внимание различную реакцию на внешнее электрическое поле электронов заполненной и незаполненной зон. Внешнее электрическое поле стремится нарушить симметрию в распределении электронов по скоростям, ускоряя электроны, движущиеся в направлении действующих электрических сил, и замедляя частицы с противоположно направленным импульсом. Однако подобное ускорение и замедление связано с изменением энергии электронов, что должно сопровождаться переходом их в новые квантовые состояния.
Очевидно, что такие переходы могут осуществляться лишь в том случае, если в энергетической зоне имеются свободные уровни. В металлах, где зона не полностью укомплектована электронами, даже слабое поле способно сообщить электронам достаточный импульс, чтобы вызвать их переход на близлежащие свободные уровни. По этой причине металлы хорошие проводники электрического тока.
В полупроводниках и диэлектриках при температуре 00К все электроны находятся в валентной зоне, а зона проводимости абсолютно свободна. Электроны полностью заполненной зоны не могут принимать участия в создании электрического тока. Для появления электропроводности необходимо часть электронов перевести из валентной зоны в зону проводимости. Энергии электрического поля недостаточно для осуществления этого перехода, требуется более сильное энергетическое воздействие, например, нагревание твердого тела. Чем выше температура и меньше запрещенная зона, тем выше интенсивность межзонных переходов. У диэлектриков запрещенная зона может быть настолько велика, что электронная электропроводность не играет определяющей роли. Выводы 1. Твердое тело является металлом, т.е. проводником, в том случае, если валентные электроны одновременно принадлежат всем атомам 2. Твердое тело, в котором валентные электроны прочно связаны со своими атомами, является диэлектриком. 3. Если каждый атом имеет, например, 4 валентных электрона, являющихся общими для 4 ближайших атомов (конфигурация валентных связей), то такое твердое тело является полупроводником. Электроны и дырки При каждом переходе электронов за счет возбуждении из валентной зоны в зону проводимости появляются энергетические вакансии в распределении электронов по состояниям валентной зоны, называемые "дырками". При наличии дырок электроны валентной зоны могут совершать эстафетные переходы с уровня на уровень. Во внешнем энергетическом поле дырка движется противоположно движению электрона, т.е. ведет себя как некоторый положительный заряд с отрицательной эффективной массой. Таким образом, дырки инициируют и обеспечивают участие валентных электронов в процессе электропроводности. Процесс перехода электронов в свободное состояние сопровождается и обратным явлением, т.е. возвратом электронов в нормальное, невозбужденное состояние. В результате в веществе при любой температуре возникает динамическое равновесие. С ростом t0 число свободных электронов в полупроводниках возрастает, а с падением t0 - уменьшается вплоть до нуля. При 00К различие между полупроводниками и диэлектриками исчезает. Ширина запрещенной зоны меняется с изменением температуры. Это происходит по двум причинам: · из-за изменения амплитуды тепловых колебаний атомов решетки, поэтому DЭ уменьшается · из-за изменения межатомных расстояний, т.е. объема тела, поэтому DЭ может как уменьшаться, так и увеличиваться. У большинства полупроводников с ростом t0 ширина разрешенной зоны увеличивается, запрещенной зоны - уменьшается Можно считать DЭ=DЭ0-b*T; b=(2¸6)*10-4Эв/0К При комнатной температуре (T=3000К) и нормальном атмосферном давлении ширина запрещенной зоны DЭ у германия составляет ~ 0.66 эВ, у Si=1.12 эВ, а арсенида галлия GaАs ~ 1.42 эВ. Отметим, что эти значения найдены для материалов с высокой степенью частоты. В сильно легированных материалах ширина запрещенной зоны немного меньше. Как показывают экспериментальные результаты, ширина запрещенной зоны большинства полупроводников уменьшается с ростом температуры. Температурные зависимости для Ge, Si и GaAs приведены на рис.29 При T=00К в этих полупроводниках ширина запрещенной зоны равна соответственно 0.743 эВ (Ge); 1.17 эВ (Si) и 1.519 эВ (GaAs). Зависимость DЭ=F(T0) в этих полупроводниках можно аппроксимировать универсальной функцией Числовые значения параметров DЭ, a и b приведены на рис.29 Отметим, что для этих полупроводниковых материалов температурный коэффициент d(DЭ)/dT отрицателен. В некоторых полупроводниках однако, производная d(DЭ)/dT положительна. Например в PbS (приложение Д) ширина запрещенной зоны увеличивается от 0.286 эВ при Т=00К до 0.41 эВ, при Т=3000К. При комнатной температуре ширина DЭ увеличивается с ростом давления: в Ge d(DЭ)/dP=5*10-6 эВ/(кг/см2), а в GaAs d(DЭ)/dP ~ 12.6*10-6 эВ/(кг/см2). В кремнии ширина DЭ с ростом давления уменьшается (d( )/dP=-2.4*10-6 эВ/(кг/см2)). Однако энергию, необходимую для перевода электрона в свободное состояние или для образования дырки, может дать не только тепловое движение, но и другие источники энергии: энергия света, поток заряженных частиц, энергия поля, механическая энергия и т.д. Электрические свойства определяются условиями взаимодействия и расстояниями между атомами вещества и не являются непременной особенностью данного атома (углерод в виде алмаза - диэлектрик, в виде графита - проводник). Энергетические зоны примесей и дефектов Примеси и дефекты нарушают строгую периодичность структуры и создают особые энергетические уровни, которые располагаются в запрещенной зоне идеального кристалла. Если примесные атомы и дефекты расположены достаточно далеко друг от друга, то взаимодействие между ними отсутствует, а соответствующие им энергетические уровни оказываются дискретными. Поскольку туннельные переходы электронов между удаленными примесными атомами практически невозможны, то дополнительные электронные состояния локализованы в определенном месте решетки, т.е. на дефекте структуры. При достаточно высокой концентрации примесных атомов расстояния между ними сравнимы с размерами атомов, благодаря чему возможно перекрытие электронных оболочек ближайших атомов примеси. В этом случае дискретные энергетические уровни примесей расщепляются в энергетическую зону примесных состояний, способную обеспечить проводимость, если не все уровни в этой зоне заполнены электронами. Таким образом, электрические свойства твердых тел определяются теоретически с единой точки зрения - энергия возбуждения носителей заряда или энергия активации электропроводности равна нулю у металлов и непрерывно возрастает в ряду полупроводников, условно переходящих при увеличении этой энергии в ряд диэлектриков. Следует подчеркнуть, что зонная теория строго применима к твердым телам с ковалентными и металлическими связями. Разделение твердых тел на полупроводники и диэлектрики носит в значительной мере условный характер. ТУННЕЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ Введение 70 лет назад наш соотечественник Г. А. Гамов впервые получил решения уравнения Шредингера, описывающие возможность преодоления частицей энергетического барьера даже в случае, когда энергия частицы меньше высоты барьера. Новое явление, называемое туннелированием, позволило объяснить многие экспериментально наблюдавшиеся процессы. Найденное решение позволило понять большой круг явлений и было применено для описания процессов, происходящих при вылете частицы из ядра, - основы атомной науки и техники. Многие считают, что за грандиозность результатов его работ, ставших основополагающими для многих наук, Г. А. Гамов должен был быть удостоен нескольких Нобелевских премий. Развитие электроники подошло к использованию процессов туннелирования лишь почти 30 лет спустя: появились туннельные диоды, открытые японским ученым Л. Есаки, удостоенным за это открытие Нобелевской премии. Еще через 5 лет Ю. С. Тиходеев, руководивший сектором физико-теоретических исследований в московском НИИ "Пульсар", предложил первые расчеты параметров и варианты использования приборов на основе многослойных туннельных структур, позволяющих достичь рекордных по быстродействию результатов. Спустя 20 лет они были успешно реализованы. В настоящее время процессы туннелирования легли в основу технологий, позволяющих оперировать со сверхмалыми величинами порядка нанометров (1нанометр=10-9 м). [1]
1. Теория туннельного эффекта Туннельный эффект — квантовое явление проникновения микро­частицы из одной классически доступной области движения в другую, от­делённую от первой потенциальным барьером (рис.1.1).[2]. Если рассматривается микрообъект, например, электрон в потенциальной яме, то в отличие от классической механики существует конечная вероятность обнаружить этот объект в запрещенной области пространства, там, где его полная энергия меньше, чем потенциальная энергия в этой точке.[3] Вероятность обнаружения частицы в какой-либо точке пространства пропорциональна квадрату модуля волновой функции Y. При подлёте к потенциальному барьеру частица пройдёт сквозь него лишь с какой-то долей вероятности, а с какой-то долей вероятности отразится. Коэффициент туннелирования (прохождения, просачивания) частицы через барьер D равен:
D=e(-2a/ ћ)(2m(U0-E))½ (1) где а – ширина барьера, U0 – высота барьера. Главная особенность (1) заключается в том, что очень малая величина ћ (постоянная Планка) стоит в знаменателе экспоненты, вследствие чего коэффициент туннелирование через барьер классической частицы большой массы очень мал.[4] Чем меньше масса частицы, тем больше и веро­ятность туннельного эффекта. Так, при высоте барьера в 2 эВ и ширине 10‑8 см вероятность прохождения сквозь барьер для электрона с энер­гией 1 эВ равна 0,78, а для протона с той же энергией лишь 3,6×10-19 . Если же взять макроскопическое тело — шарик массой в 1 г, движущийся по горизонтальной поверхности с очень малой скоростью (кинетическая энергия близка к нулю), то вероятность пре­одоления им препятствия — лезвия бритвы толщиной 0,1 мм, выступаю­щего над горизонтальной поверхно­стью на 0,1 мм, равна 10-26. Прохождение частицы сквозь потенциальный барьер можно пояснить и с помощью соотношения неопределённо­стей. Неопределённость импульса D р на отрезке D х, равном ширине барь­ера а, составляет: Dр > ћ/а. Связан­ная с этим разбросом в значениях импульса кинетическая энергия (Dр)2/2m0 может оказаться достаточ­ной для того, чтобы полная энергия частицы оказалась больше потенци­альной. [2]. 3.Туннельный эффект в физике 3.1. Туннелирование электронов в твёрдых телах В 1922 г. было открыто явление холодной электронной эмиссии из металлов .под действием сильного внеш­него электрического поля. Оно сразу поставило физиков в тупик. График потенциальной энергии электрона в этом случае изображен на (рис.3.1.1.) Слева, при отрица­тельных значениях координаты х — область металла, в котором электроны могут двигаться почти свободно. Здесь потенциальную энергию можно считать постоян­ной. На границе металла возникает Потенциальная стен­ка, не позволяющая электрону покинуть металл; он мо­жет это сделать, лишь приобретя добавочную энергию, равную работе выхода Авых . При низкой температуре такую энергию может получить только ничтожная доля электронов. Если сделать металл отрицательной пластиной кон­денсатора, приложив к нему достаточно мощное элек­трическое поле, то потенциальная энергия электрона из-за его отрицательного заряда вне металла начнет уменьшаться. Классическая частица, все равно не проникнет через такой потенциальный барьер, квантовая же вполне может протуннелировать. Сразу после появления квантовой механики Фаулер и Нордгейм объяснили явление холодной эмиссии с помощью туннельного эффекта для электронов. Электроны внутри металла имеют самые разные энергии да­же при температуре абсолютного нуля, так как соглас­но принципу Паули в каждом квантовом состоянии мо­жет быть не больше одного электрона (с учетом спина). Поэтому число заполненных состояний равно числу электронов, а энергия самого верхнего заполненного состояния ЕF — энергия Ферми в обычных металлах со­ставляет величину порядка нескольких электронвольт, так же как и работа выхода. Легче всего будут туннелировать электроны с энер­гией ЕF , с уменьшением энергии вероятность туннелирования резко падает. Все экспериментальные особенности, а также полная величина эффекта прекрасно опи­сывались формулой Фаулера - Нордгейма. Холодная электронная эмиссия — первое явление, успешно объясненное туннелированием частиц. [4]. 3.2 Квантовые транзисторы Оптическаяаналогия позволяет наглядно представить работу квантового транзистора. На (рис. 3.2.1) изображен оптический двухлучевой интерферометр, а также схема электронного транзистора с квантовым кольцевым контуром. Пропускание интерферометра (оптического или электронного) определяется простой формулой и однозначно зависит от разности набега фаз по двум путям. Транзисторный эффект достигается за счет изменения фазы волны электрона в одном из плеч интерферометра с помощью затворного напряжения, прикладываемого к электроду Э3.Еще более простая схема квантового транзистора получается, если взять за основу идею интерферометра Фабри-Перо (рис. 3.2.2). Здесь оптический резонатор, образованный зеркалами М1 и М2, реализуется в транзисторе с помощью тонкой проводящей нити — квантовой проволоки длиной L, отделенной от электродов Э1 и Э2 полупрозрачными для электронной волны барьерами. Условие максимума пропускания имеет такой же вид, как условие резонанса волны де Бройля в квантовой яме длиной L. Транзисторный эффект достигается путем изменения длины волны электрона с помощью напряжения, приложенного к электроду Э3. Наряду с интерференционными транзисторами разрабатываются квантовые транзисторы других типов — баллистического, с эффектом Джозефсона, с кулоновской блокадой. [29] В транзисторах на квантовых эффектах волновая природа электронов и соответствующие явления становятся основополагающими в их работе. [30]
3.3. Туннельный диод.
Ниже описаны диоды, работа которых основана на явлении квантово-механического туннелирования. Работа, подтверждающая реальность создания туннельных приборов была посвящена ТД, называемому также диодом Есаки, и опубликована Л.Есаки в 1958 году. Есаки в процессе изучения внутренней полевой эмиссии в вырожденном германиевом p-n переходе обнаружил "аномальную" ВАХ: дифференциальное сопротивление на одном из участков характеристики было отрицательным. Этот эффект он объяснил с помощью концепции квантово-механического туннелирования. В явлении туннелирования главную роль играют основные носители. Время туннелирования носителей через потенциальный барьер не описывается на привычном языке времени пролёта (t=W/v, где W-ширина барьера, v-скорость носителей ); оно определяется с помощью вероятности квантово-механического перехода в единицу времени. Эта вероятность пропорциональна exp[-2k(0)W], где k(0) - среднее значение волнового вектора в процессе туннелирования, приходящееся на один носитель с нулевым поперечным импульсом и энергией, равной энергии Ферми. Отсюда следует, что время туннелирования пропорционально exp[2k(0)W]. Оно очень мало, и поэтому туннельные приборы можно использовать в диапазоне миллиметровых волн (тбл 3.3.1) Благодаря высокой надёжности и совершенству технологии изготовления ТД используются в специальных СВЧ-приборах с низким уровнем мощности, таких, как гетеродин и схемы синхронизации частоты. ТД представляет собой простой p-n переход обе стороны которого вырождены (т.е. сильно легированы примесями). На (рис 3.3.1) приведена энергетическая диаграмма ТД, находящегося в состоянии термического равновесия. В результате сильного легирования уровень Ферми проходит внутри разрешённых зон. Степени вырождения Vp и Vn обычно составляют несколько kT/q, а ширина обеднённого слоя ~100 A и меньше, т.е. намного меньше, чем в обычном p-n переходе. На (рис.3.3.2.а) приведена типичная статическая вольт-амперная характеристика туннельного диода, из которой видно, что ток в обратном направлении (потенциал p-области отрицателен по отношению к потенциалу n-области) монотонно увеличивается. Полный статический ток диода представляет собой сумму тока туннелирования из зоны в зону, избыточного и диффузионного тока(рис 3.3.2.б). Уровни Ферми проходят внутри разрешенных зон полупроводника, и постоянен по всему полупроводнику. Выше уровня Ферми все состояния по обеим сторонам перехода оказываются пустыми, а ниже все разрешенные состояния по обеим сторонам перехода заполнены электронами. В отсутствии приложенного напряжения туннельный ток не протекает. На (рис 3.3.3) показано, как туннелируют электроны из валентной зоны в зону проводимости при обратном напряжении на диоде. Для того чтобы происходило прямое туннелирование, положения дна зоны проводимости и потолка валентной зоны в пространстве импульсов должны совпадать. Это условие выполняется в полупрводниках с прямой запрещенной зоной (в таких , как GaAs и GaSb). Оно может выполняться также в полупроводниках с непрямой запрещенной зоной (например, в Ge) при достаточно больших приложенных напряжениях, таких, что максимум валентной зоны находится на одном уровне с непрямым минимумом зоны проводимости.[31] Исследовали ВАХ при различных температурах в барьерных диодах Шоттки из Al и поли-3-октилтиодина.
Заключение
Заканчивая реферат, остается лишь указать на другие физические явления, в которых реализуется туннельный эффект. Туннельный эффект определяет процесс миграции валентных электронов в кристаллической решетке твердых тел. Туннельный эффект лежит в основе эффекта Джозефсона - протекания сверхпроводящего тока между двумя сверхпроводниками через экстремально тонкую прослойку из диэлектрика. Рассмотрена взаимосвязь межмолекулярных потенциалов и спектров для молекулярных систем. Кратко представлены методы расчета колебательно-вращательных спектров с учетом процессов туннелирования и детально проиллюстрированы на примере комплекса Ar-СН4, димера и тримера Н20. Представлен также обзор последних теоретических и экспериментальных исследований в рамках затронутой проблемы для целого ряда других комплексных систем. [32],[33],[34] Из приведенного материала видно, что туннельный эффект играет существенную роль в самых различных областях физики и техники. В 1986 году советскими учёными К.К. Лихаревым и Д.В. Авериным, изучавшими одноэлектронное туннелирование, был предложен, а позже и опробован одноэлектронный транзистор на эффекте кулоновской блокады. [35]
Однако наиболее широкий интерес к туннельному эффекту обусловлен тем, что это принципиально квантово-механический эффект, не имеющий аналога в классической механике. Своим существованием туннельный эффект подтверждает основополагающее положение квантовой механики - корпускулярно-волновой дуализм свойств элементарных частиц. [36]
Список использованной литературы: 1. Матвеев А.Н. Оптика. М.: Высш. шк., 1985. ¦ 16-18. 2. Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики. М.: Наука, 1976. Гл. XVI. 3. Делоне Н.Б. Возмущение атомного спектра в переменном электромагнитном поле // Соросовский Образовательный Журнал. 1998. № 5. С. 90-95. 4. Келдыш Л.В. // ЖЭТФ. 1964. Т. 47. С. 1945. 5. Делоне Н.Б., Крайнов В.П. // Успехи физ. наук. 1998. Т. 168. С. 531. СПИСОК УСЛОВНЫХ СОКРАЩЕНИЙ СТМ - сканирующий туннельный микроскоп ТД - туннельный диод АСМ - атомно-силовые микроскопы

ПРИЛОЖЕНИЕ График потенциальной энергии электрона под действием сильного внешнего электрического поля Рис. 3.1.1 Квантовые транзисторы Рис 3.2.1 Квантовые транзисторы Рис 3.2.2 Рис 3.3.1 Рис 3.3.2 Рис 3.3.3 Таблица 3.3.1. В таблице даны названия поддиапазонов СВЧ-диапазона и соответствующие им полосы частот