И δ2 – корни характеристического уравнения .

Если , то корни характеристического уравнения комплексно-сопряжённые:
, где
– мнимая единица.
Общее решение дифференциального уравнения затухающих колебаний имеет вид
.
Используя формулу Эйлера для комплексных чисел

получаем
.
Вводя вместо С1и С2 новые две постоянные А0 и ψ0 ,связанные с С1и С2 соотношениями

получаем окончательно
.
Значения А0 и ψ0 определяют из начальных условий, т.е. из значений S и в начальный момент времени (t =0).
График зависимости S(t) при затухающих колебаниях имеет вид

Затухающие колебания не являются периодическими, так как амплитуда колебаний всё время уменьшается, но величину обычно называют условным периодом, а ω – условной циклической частотой затухающих колебаний.
– амплитуда затухающих колебаний;
А0 – начальная амплитуда.
– время релаксации, т.е. время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз.

Для количественной характеристики быстрого убывания амплитуды затухающих колебаний пользуются понятием логарифмического декремента – λ
, где
Ne – число колебаний, в течение которых амплитуда уменьшается в е раз.
Так как и , то
и .

Энергия затухающих колебаний складывается из потенциальной и кинетической . После подстановке сюда и получаем зависимость E(t), которая графически представлена на рисунке

Уменьшение энергии колебаний обусловлено работой силы сопротивления. Мощность этой силы равна
.
Таким образом, кроме тех моментов, когда υ = 0.
При малом затухании (β << ω0) зависимость E(t) становится практически эквипотенциальной: и убыль энергии в этом случае
.
Добротностью колебательной системы называется безразмерная величина Q , равная произведению 2π на отношение энергии колебаний системы в произвольный момент времени t к убыли этой энергии за промежуток времени равный одному условному периоду затухающих колебаний (от t до t + Т)
.
Так как E(t) пропорциональна A2(t) то

При малых значениях логарифмического декремента (λ << 1) можно принять и для этого случая

Для гармонического осциллятора (пружинного маятника) при малом затухании получаем
.
При достаточно большом затухании система совершает апериодическое движение. Выведенная из положения равновесия, она возвращается в это положение.

Фазовая траектория свободных затухающих колебаний имеет форму спирали