Уравнение Бернулли для струйки идеальной жидкости

Рассмотрим установившееся течение жидкости, находящейся под воздействием только одной массовой силы - веса жидкости.







Рис. 3.1

Выделим в потоке струйку, такую малую, что изменением параметров в ее поперечном сечении можно пренебречь и считать их постоянными.

За бесконечно малый промежуток времени Dt участок струйки 1- 2 переместится в положение 1?- 2?.
Применим к этой струйке уравнение энергии, заключающееся в том, что работа сил по перемещению струйки равна приросту кинетической энергии этой струйки.
Известно, что элементарная работа силы определяется выражением

Работа поверхностных сил давления тогда составит


Т. к. в первом сечении направление сил давления совпадает с направлением вектора скорости, а во втором сечении оно противоположно, то
 
 
Заметим, что работа сил давления, действующих по боковым поверхностям струйки равна 0, вследствие ортогональности векторов давления и скорости.
Суммарная работа поверхностных сил определится выражением

Элементарная работа массовых сил (сил веса) определяется изменением потенциальной энергии выделенного элемента массы

Потенциальная энергия массы, заключенной в объеме W определяется выражением

Учитывая, что для несжимаемой жидкости r= const, получим

Объем, занимаемый струйкой в начальном и конечном положениях можно представить в виде двух составляющих, рис. 3.1.


Масса жидкости, заключенная в объемах W1 и W2 определится как


Т. к. приток массы в рассматриваемой струйке отсутствует, то
M1 = M2
следовательно
W1 = W2
Нетрудно заметить, что объем 1?-2 для рассматриваемых положений является общим, тогда
 
или

Это выражение определяет закон сохранения массы для струйки несжимаемой жидкости.
С учетом отмеченного

где dG = rgdW - элементарный вес жидкости, заключенный в объеме dW.
Т. е.

Применяя такой же прием, получим выражение для прироста кинетической энергии струйки

Запишем уравнение баланса энергии

Подставляя имеющиеся выражения в данную формулу, получим

после преобразований, с учетом того, что dW1 = dW2 =dW =dG/g, получаем

или, после перегруппирования членов

Это выражение и представляет собой уравнение Бернулли для идеальной несжимаемой жидкости.
Величина  называется скоростным напором,  определена ранее как гидростатический напор, а величина  получила название полный напор.







Рис. 3.2

Таким образом, согласно уравнению Бернулли, полный напор представляет собой сумму гидростатического и скоростного напора и для выделенной струйки жидкости это величина постоянная. Проиллюстрируем это положение графиком, см. рис. 3.2.