В настоящее время нашли широкое распространение вычислительные устройства (микропроцессоры, контроллеры, компьютеры и т.п.), которые используют в качестве управляющих устройств.
Как известно, вычислительные устройства представляют собой дискретные элементы. В этом случае системы автоматического управления, в состав которых входят вычислительные устройства, называют дискретными (ДСАУ).
В тех случаях, когда инерционность объекта управления много больше инерционности вычислительного устройства, для расчёта ДСАУ можно пользоваться математическим аппаратом непрерывных функций, который был рассмотрен в предыдущих десяти лекциях.
Когда инерционность объекта управления и управляющего вычислительного устройства близки, при анализе и синтезе систем автоматического управления и регулирования необходимо пользоваться математическим аппаратом дискретных функций.
Как известно, дискретные функции применяются для описания импульсных сигналов различной амплитуды и длительности.
Источником импульсных сигналов служат импульсные элементы.
В качестве импульсного элемента могут быть прерыватели или переключатели. Эти элементы преобразуют непрерывный сигнал в последовательность импульсов. Поскольку данную последовательность невозможно описать непрерывными функциями, было введено понятие решетчатой (дискретной) функции.
Рис. 11.1. Выходные импульсные сигналы широтно-импульсного модулятора:A — амплитуда импульса; TП — период повторения импульсов;
ТИ — длительность импульса; w = 1/TП — частота повторения импульсов;
S = TП/ТИ — скважность последовательности импульсов
Решетчатой называют такую функцию, значения которой определены только лишь в дискретные (отдельные) равноотстоящие моменты времени (рис. 11.1.).
Рис. 11.2. Амплитудно-импульсная модуляция непрерывного сигнала
В отличие от непрерывной функции, решетчатая функция X(t) в качестве аргумента имеет набор чисел (nTП) и набор своих значений (рис. 11.2.):
,
где ТП — период повторения импульсов бесконечно малой длительности, амплитуда которых равна X(nTП); n — любое целое число. Обычно период повторения (TП) импульсов принимается равным 1, и тогда решетчатая функция записывается в виде X(n).
С решетчатыми функциями можно производить все известные математические операции:
1. Сложение — вычитание
X(n) = x(n) + y(n);
X(n) = x(n) – y(n).
2. Умножение — деление
X(n) = x(n)×y(n);
X(n) = x(n)/y(n).
3. Дифференцирование равносильно разности соседних дискрет
(различают прямую и обратную разности):
DP X(i) = x(i + 1) – x(i) — прямая разность;
DO X(i) = x(i) – x(i – 1) — обратная разность.
4. Интегрирование равносильно сложению дискрет
(различают полную и неполную сумму):
— полная сумма;
— неполная сумма.
При решении разностных уравнений могут встретиться разности более высокого порядка, чем первый. Многократные разности вычисляются следующим образом:
Пример
Непрерывное дифференциальное уравнение:
Решение непрерывного уравнения
Дискретный аналог непрерывного дифференциального уравнения можно получить следующим образом.
После принятия D = 0,068 дифференциальное уравнение записать так:
Δx(i) = – 0,068x(i) + 0,068;
x(i+1) = x(i) – 0,068x(i) + 0,068.
Выражение x(i+1) = 0,932x(i) + 0,068 представляет собой решение дискретного уравнения.
Полученное решение позволяет численным методом найти все значения х(i) при i от 0 до N).
Лекция № 12
Z-преобразование и его применение при анализе дискретных САУ
Преобразование Лапласа, применяемое для отображения непрерывных функций в мнимом частотном пространстве, позволяет преобразовать дифференциальные уравнения в алгебраические, чем существенно облегчается исследование линейных стационарных систем управления.
Дискретное преобразование Лапласа и Z-преобразование позволяют представить разностные уравнения и дискретные функции в алгебраических выражениях и упростить аналитическое исследование импульсных и цифровых систем управления. Дискретное преобразование Лапласа осуществляется по формуле:
, где
f(nT) — дискретная (решетчатая) функция; nT — аргумент дискретной функции; n = 0, 1, 2, ..., ¥ — ряд целых чисел; Т — период повторения импульсов; p — оператор Лапласа.
Если принять обозначения: Т = 1; eTp= z,
то можно перейти к более удобному при аналитических исследованиях дискретных систем Z-преобразованию:
.
Переменную z можно представить как оператор задержки на nT единиц времени.
Z-преобразование обозначается следующим образом:
Z-преобразование обладает следующими свойствами:
1. Линейность:
.
2. Запаздывание (сдвиг функции вправо):
.
Если исходная решетчатая функция f(n) равна нулю при отрицательных значениях аргумента, то Z-преобразование производится по формуле:
Z[f(n – m)] = z-mF(z).
3. Опережение (упреждение — сдвиг функции влево):
..
Если исходная решетчатая функция f(n) равна нулю при значениях аргумента n от 0 до m – 1, то Z-преобразование производится по формуле:
Z[f(n + m)] = zmF(z).
4. Изображение разностей:
а) обратная разность:
Если исходная решетчатая функция f(n) равна нулю при отрицательных значениях аргумента, то Z-преобразование производится по формуле:
а для разности k –го порядка — по формуле:
б) прямая разность:
.
5. Изображение сумм:
a) неполная сумма:
б) полная сумма:
.
6. Изображение суммы ординат решетчатой функции:
.
7. Начальное и конечное значение функций:
а) конечное значение:
б) начальное значение:
.