Деление отрезка на n равных частей.

Для треугольника

Для квадрата

Равносторонний (правильный) треугольник:

Правильный шестиугольник:

БИЛЕТ 2

1) Признаки равенства треугольников (доказательство всех)

Признак

по двум сторонам и углу между ними

Доказательство:

Пусть у треугольников АВС и А₁В₁С₁ угол A равен углу А₁, АВ равно А₁В_1, АС равно А₁С₁. Докажем, что треугольники равны.

Наложим треугольник ABC (либо симметричный ему) на треугольник A₁B₁C₁ так, чтобы угол A совместился с углом A₁. Так как АВ=А₁В₁, а АС=А₁С₁, то B совпадёт с В₁, а C совпадёт с С_1. Значит, треугольник А₁В₁С₁ совпадает с треугольником АВС, а следовательно, равен треугольнику АВС.

Теорема доказана.

Признак

по стороне и прилежащим к ней углам

Доказательство: ПустьАВС и А₁В₁С_{1 –} два треугольника, у которых АВ равно А₁В_1, угол А равен углу А₁, и угол В равен углу В₁. Докажем, что они равны.

Наложим треугольник ABC (либо симметричный ему) на треугольник A₁B₁C₁ так, чтобы AB совпало с A₁B_1. Так как ∠ВАС =∠В₁А₁С₁ и ∠АВС=∠А₁В₁С₁, то луч АС совпадёт с А₁С₁, а ВС совпадёт с В₁С₁. Отсюда следует, что вершина C совпадёт с С_1. Значит, треугольник А₁В₁С₁ совпадает с треугольником АВС, а следовательно, равен треугольнику АВС.

Теорема доказана.

Признак

Доказательство:

Рассмотрим треугольники ABC и A_lB_lC_1, у которых АВ=А₁В₁, BC = B_lC₁ СА=С₁А_1. Докажем, что ΔАВС =ΔA₁B₁C₁.

Приложим треугольник ABC (либо симметричный ему) к треугольнику A₁B₁C₁ так, чтобы вершина А совместилась с вершиной A₁, вершина В — с вершиной В₁, а вершины С и С₁, оказались по разные стороны от прямой А₁В₁. Рассмотрим 3 случая:

1) Луч С₁С про­ходит внутри угла А₁С₁В₁. Так как по условию теоремы стороны АС и A₁C₁, ВС и В₁С₁ равны, то треугольники A₁C₁C и В₁С₁С — равнобедренные. По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4, поэтому ∠ACB=∠A₁C₁B₁.

2) Луч С₁С совпадает с одной из сторон этого угла. A лежит на CC₁. AC=A₁C₁, BC=B₁C₁, ∆C₁BC – равнобедренный, ∠ACB=∠A₁C₁B₁.

3) Луч C₁C проходит вне угла А₁С₁В₁. AC=A₁C₁, BC=B₁C₁, значит, ∠1 = ∠2, ∠1+∠3 = ∠2+∠4, ∠ACB=∠A₁C₁B₁.

Итак, AC=A₁C₁, BC=B₁C₁, ∠C=∠C₁. Следовательно, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по
первому признаку равенства треугольников.

Деление отрезка на n равных частей.

Провести луч через A, отложить на нём n равных отрезков. Через B и A_n провести прямую и к ней параллельные через точки A₁ – A_n-1. Отметим их точки пересечения с AB. Получим n отрезков, которые равны по теореме Фалеса.

 

 

Теорема Фалеса. Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

Доказательство. AB=CD

1. Проведём через точки A и C прямые, параллельные другой стороне угла. Получим два параллелограмма AB₂B₁A₁ и CD₂D₁C₁. Согласно свойству параллелограмма: AB₂ = A₁B₁ и CD₂ = C₁D₁.

2. ΔABB₂=ΔCDD₂ ABB₂ CDD₂ BAB₂ DCD₂ и равны на основании второго признака равенства треугольников:
AB = CD согласно условию теоремы,
как соответственные, образовавшиеся при пересечении параллельных BB₁ и DD₁ прямой BD.

3. Аналогично каждый из углов и оказывается равным углу с вершиной в точке пересечения секущих. AB₂ = CD₂ как соответственные элементы в равных треугольниках.

4. A₁B₁ = AB₂ = CD₂ = C₁D₁

 

БИЛЕТ 3

1. Пропорциональные отрезки в круге.

Теорема о хордах окружности. Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Доказательство.

как вертикальные;

, как опирающиеся на одну дугу,

тогда по II признаку

 

 

Вывод формулы для вычисления суммы углов выпуклого многоугольника.

Теорема. Сумма углов выпуклого треугольника

Доказательство. Выберем точку внутри многоугольника. Соединим её с каждой вершиной многоугольника. Получим 7 треугольников.

Сумма углов многоугольника будет равна сумме всех углов треугольников, кроме прилежащих к внутренней точке (360°).

 

 

БИЛЕТ 4

БИЛЕТ 5

БИЛЕТ 6

1. Внешний угол треугольника (определение). Теорема о внешнем угле треугольника. Сумма внешних углов n-угольника

Определение. Внешним углом называется угол, смежный

с каким-нибудь углом треугольника.

Теорема. Внешний угол треугольника равен сумме двух
внутренних углов, не смежных с ним.

Доказательство. Пусть АВС – данный треугольник.
По теореме о сумме углов треугольников ∠A+∠В+∠C=180°, значит, ∠А + ∠В = 180°-∠С,
а 180°-∠С не что иное, как градусная мера внешнего угла при вершине С.

Теорема доказана.

Теорема. Сумма внешних углов n-угольника (взятых по одному при каждой вершине) равна 360°.

Доказательство. Из теоремы о сумме углов выпуклого n-угольника следует:

Теорема доказана.

2) Нахождение значений синуса, косинуса и тангенса угла в 45°.

Возьмём прямоугольный треугольник с В нём, как в прямоугольном треугольике, . , значит, треугольник равнобедренный, .

БИЛЕТ 7

БИЛЕТ 8

1)Треугольник (определение). Теорема о сумме углов треугольника, прямая Эйлера (без доказательства).

Определение. Треугольник – это фигура, состоящая из 3 точек, не лежащих на одной прямой, и 3 отрезков, попарно соединяющих их.

Теорема. Сумма углов треугольника равна 180°.

Доказательство.

Проведём через вершину B прямую a, параллельную стороне AC.
как накрест лежащие.
. Тогда .

Теорема доказана.

Теорема. Центр описанной окружности треугольника, его ортоцентр, центр тяжести, а также центр окружности девяти точек лежат на одной прямой, называемой прямой Эйлера.

БИЛЕТ 9

Окружность

Определение. Окружность – это геометрическое место точек, равноудалённых от данной.

Так как длина всей окружности равна 2πR, то длина дуги в 1° равна 2πR/360° = πR/180°.
Поэтому длина l выражается формулой:

 

 

 

БИЛЕТ 10

1) Признаки параллелограмма:

1. Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Доказательство. Пусть в четырёхугольнике АВСD стороны АD и СB параллельны и равны. Проведём диагональ АС, делящую параллелограмм на два треугольника: АВС и СDА. Эти треугольники равны по первому признаку, значит, их соответствующие углы равны. Тогда углы BAC и DCA равны как внутренние накрест лежащие при пересечении прямых АB и CD секущей АС, значит, АB||CD. Следовательно, АВСD – параллелограмм.

2. Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Доказательство. Проведём диагональ АС данного четырёхугольника АВСD, делящую его на треугольники АВС и СDА. Эти треугольники равны по третьему признаку, поэтому углы АCВ и СAD равны, значит АВ||CD. Т.к. АВ и СD равны и параллельны, то по первому признаку АВСD – параллелограмм.

3.Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся напополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Доказательство.

.

Аналогично, .

Противоположные стороны попарно равны, значит, ABCD – параллелограмм.

4.

В параллелограмме удвоенная сумма квадратов сторон равна сумме квадратов диагоналей:

Доказательство.

Воспользуемся теоремой косинусов:

Теорема доказана.

БИЛЕТ 11

 

БИЛЕТ 12

БИЛЕТ 13

БИЛЕТ 14

Для треугольника

Для квадрата

Равносторонний (правильный) треугольник:

Правильный шестиугольник:

БИЛЕТ 2

1) Признаки равенства треугольников (доказательство всех)

Признак

по двум сторонам и углу между ними

Доказательство:

Пусть у треугольников АВС и А₁В₁С₁ угол A равен углу А₁, АВ равно А₁В_1, АС равно А₁С₁. Докажем, что треугольники равны.

Наложим треугольник ABC (либо симметричный ему) на треугольник A₁B₁C₁ так, чтобы угол A совместился с углом A₁. Так как АВ=А₁В₁, а АС=А₁С₁, то B совпадёт с В₁, а C совпадёт с С_1. Значит, треугольник А₁В₁С₁ совпадает с треугольником АВС, а следовательно, равен треугольнику АВС.

Теорема доказана.

Признак

по стороне и прилежащим к ней углам

Доказательство: ПустьАВС и А₁В₁С_{1 –} два треугольника, у которых АВ равно А₁В_1, угол А равен углу А₁, и угол В равен углу В₁. Докажем, что они равны.

Наложим треугольник ABC (либо симметричный ему) на треугольник A₁B₁C₁ так, чтобы AB совпало с A₁B_1. Так как ∠ВАС =∠В₁А₁С₁ и ∠АВС=∠А₁В₁С₁, то луч АС совпадёт с А₁С₁, а ВС совпадёт с В₁С₁. Отсюда следует, что вершина C совпадёт с С_1. Значит, треугольник А₁В₁С₁ совпадает с треугольником АВС, а следовательно, равен треугольнику АВС.

Теорема доказана.

Признак

Доказательство:

Рассмотрим треугольники ABC и A_lB_lC_1, у которых АВ=А₁В₁, BC = B_lC₁ СА=С₁А_1. Докажем, что ΔАВС =ΔA₁B₁C₁.

Приложим треугольник ABC (либо симметричный ему) к треугольнику A₁B₁C₁ так, чтобы вершина А совместилась с вершиной A₁, вершина В — с вершиной В₁, а вершины С и С₁, оказались по разные стороны от прямой А₁В₁. Рассмотрим 3 случая:

1) Луч С₁С про­ходит внутри угла А₁С₁В₁. Так как по условию теоремы стороны АС и A₁C₁, ВС и В₁С₁ равны, то треугольники A₁C₁C и В₁С₁С — равнобедренные. По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4, поэтому ∠ACB=∠A₁C₁B₁.

2) Луч С₁С совпадает с одной из сторон этого угла. A лежит на CC₁. AC=A₁C₁, BC=B₁C₁, ∆C₁BC – равнобедренный, ∠ACB=∠A₁C₁B₁.

3) Луч C₁C проходит вне угла А₁С₁В₁. AC=A₁C₁, BC=B₁C₁, значит, ∠1 = ∠2, ∠1+∠3 = ∠2+∠4, ∠ACB=∠A₁C₁B₁.

Итак, AC=A₁C₁, BC=B₁C₁, ∠C=∠C₁. Следовательно, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по
первому признаку равенства треугольников.

Деление отрезка на n равных частей.

Провести луч через A, отложить на нём n равных отрезков. Через B и A_n провести прямую и к ней параллельные через точки A₁ – A_n-1. Отметим их точки пересечения с AB. Получим n отрезков, которые равны по теореме Фалеса.

 

 

Теорема Фалеса. Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

Доказательство. AB=CD

1. Проведём через точки A и C прямые, параллельные другой стороне угла. Получим два параллелограмма AB₂B₁A₁ и CD₂D₁C₁. Согласно свойству параллелограмма: AB₂ = A₁B₁ и CD₂ = C₁D₁.

2. ΔABB₂=ΔCDD₂ ABB₂ CDD₂ BAB₂ DCD₂ и равны на основании второго признака равенства треугольников:
AB = CD согласно условию теоремы,
как соответственные, образовавшиеся при пересечении параллельных BB₁ и DD₁ прямой BD.

3. Аналогично каждый из углов и оказывается равным углу с вершиной в точке пересечения секущих. AB₂ = CD₂ как соответственные элементы в равных треугольниках.

4. A₁B₁ = AB₂ = CD₂ = C₁D₁

 

БИЛЕТ 3

1. Пропорциональные отрезки в круге.

Теорема о хордах окружности. Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Доказательство.

как вертикальные;

, как опирающиеся на одну дугу,

тогда по II признаку