Задача 1
За даними 25 підприємств за допомогою аналітичного групування з рівновеликими інтервалами (в три групи) прослідкувати залежність між виробництвом продукції та собівартістю зернових.
1. Результати групування оформити в таблиці та детально проаналізувати.
2. Оцінити суттєвість різниці середніх значень собівартості продукції по підприємствах першої та третьої груп за допомогою t-критерія Стьюдента.
|
Підприємства |
Вироблено продукції, тис. шт. |
Загальна сума витрат, тис. грн. |
Собівартість одиниці продукції, грн. |
|
|
1 |
8,5 |
35 |
9,15 |
|
|
2 |
2,7 |
29 |
7,01 |
|
|
3 |
4,0 |
67 |
8,37 |
|
|
4 |
9,8 |
59 |
9,64 |
|
|
5 |
2,5 |
31 |
9,11 |
|
|
6 |
4,9 |
68 |
9,09 |
|
|
7 |
7,1 |
23 |
7,95 |
|
|
8 |
11,0 |
91 |
7,61 |
|
|
9 |
5,2 |
43 |
8,20 |
|
|
10 |
6,9 |
37 |
8,77 |
|
|
11 |
10,7 |
53 |
9,00 |
|
|
12 |
4,1 |
20 |
9,35 |
|
|
13 |
7,3 |
61 |
9,41 |
|
|
14 |
9,7 |
46 |
8,79 |
|
|
15 |
6,3 |
32 |
8,95 |
|
|
16 |
5,2 |
29 |
8,99 |
|
|
17 |
9,0 |
37 |
9,95 |
|
|
18 |
8,9 |
59 |
8,11 |
|
|
19 |
7,1 |
43 |
8,40 |
|
|
20 |
6,4 |
27 |
7,50 |
|
|
21 |
10,1 |
85 |
8,33 |
|
|
22 |
3,9 |
70 |
7,99 |
|
|
23 |
4,5 |
31 |
9,13 |
|
|
24 |
6,3 |
55 |
8,45 |
|
|
25 |
9,7 |
42 |
9,39 |
Рішення:
Проведемо угруповання за кількістю виготовленої продукції.
Для проведення групування визначимо інтервал групування:
,
де , - відповідно найбільше і найменше значення групувальної ознаки;
- кількість груп;
інтервал.
Отже інтервал групування дорівнює:
і = (11 - 2,5)/3 = 2,84
Відобразимо дані групування в таблицю:
|
№ п/п |
Вироблено продукції, тис. шт. |
Загальна сума витрат, тис. грн. |
Собівартість одиниці продукції, грн. |
Кількість підприємств |
|
|
1 |
2,5 - 5,34 |
338 |
77,24 |
9 |
|
|
2 |
5,34 - 8,18 |
278 |
59,43 |
7 |
|
|
3 |
8,18 - 11,02 |
507 |
79,97 |
9 |
Для визначення тісноти звязку між кількістю виготовленої продукції і собівартістю продукції розрахуємо коефіцієнт кореляції:
Для розрахунку потрібно визначити середнє квадратичне відхилення обох ознак, використовуючи формулу:
=171/25 = 6,872
= 216,64/25 = 8,67
Дані розраховані за допомогою формули середньої звичайної:
Розрахуємо середнє квадратичне відхилення:
= 2,49
= = 0,49
8,3179/30,5 = 0,27
як показали розрахунки між кількістю виготовленої продукції і собівартістю одиниці продукції існує тісний звязок.
Проведемо оцінку суттєвості різниці середніх значень собівартості продукції по підприємствах першої та третьої груп за допомогою t-критерія Стьюдента. В таблиці наведено дані першої групи:
|
№ п/п |
Вироблено продукції, тис. шт. |
Собівартість одиниці продукції, грн. |
|
|
1 |
2,5 |
9,11 |
|
|
2 |
2,7 |
7,01 |
|
|
3 |
3,9 |
7,99 |
|
|
4 |
4 |
8,37 |
|
|
5 |
4,1 |
9,35 |
|
|
6 |
4,5 |
9,13 |
|
|
7 |
4,9 |
9,09 |
|
|
8 |
5,2 |
8,2 |
|
|
9 |
5,2 |
8,99 |
Шляхом розрахунку середньої арифметичної звичайної середнє значення собівартості одиниці продукції дорівнює 8,58 грн. Дисперсія дорівнює 0,51, середнє квадратичне відхилення 0,72.
Знайдемо коефіцієнт варіації:
U = (0,72/8,58) * 100 = 8,39 %
t-критерій Стьюдента в даному випадку, для ступенів волі f = 9 - 1 = 8, і рівня довірчої імовірності 95 %, дорівнює 2,3060 таким чином довірчий інтервал для середнього значення дорівнює від 8,15 до 9,0.
Третя група має вигляд:
|
№ п/п |
Вироблено продукції, тис. шт. |
Собівартість одиниці продукції, грн. |
|
|
1 |
8,5 |
9,15 |
|
|
2 |
8,9 |
8,11 |
|
|
3 |
9 |
9,95 |
|
|
4 |
9,7 |
8,79 |
|
|
5 |
9,7 |
9,39 |
|
|
6 |
9,8 |
9,64 |
|
|
7 |
10,1 |
8,33 |
|
|
8 |
10,7 |
9 |
|
|
9 |
11 |
7,61 |
Аналогічним чином знайдемо:
=79,97/9 = 8,89
G2 = 4,5862/9 = 0,51
G = 0,71
U = (0,71/8,89) * 100 = 7,99
t-критерій Стьюдента в даному випадку, для ступенів волі f = 9 - 1 = 8, і рівня довірчої імовірності 95 %, дорівнює 2,36, таким чином довірчий інтервал для середнього значення дорівнює від 8,45 до 9,3.
Задача 2
За даними 25 підприємств побудувати ряд розподілу в 5 інтервалів (n = ) за загальною сумою витрат.
За рядом розподілу обчислити:
1. Моду
2. Медіану
3. Зобразити графічно ряди розподілу: побудувати полігон та гістограму розподілу, огіву, кумуляту інтервального ряду розподілу.
|
Підприємства |
Вироблено продукції, тис. шт. |
Загальна сума витрат, тис. грн. |
Собівартість одиниці продукції, грн. |
|
|
1 |
8,5 |
35 |
9,15 |
|
|
2 |
2,7 |
29 |
7,01 |
|
|
3 |
4,0 |
67 |
8,37 |
|
|
4 |
9,8 |
59 |
9,64 |
|
|
5 |
2,5 |
31 |
9,11 |
|
|
6 |
4,9 |
68 |
9,09 |
|
|
7 |
7,1 |
23 |
7,95 |
|
|
8 |
11,0 |
91 |
7,61 |
|
|
9 |
5,2 |
43 |
8,20 |
|
|
10 |
6,9 |
37 |
8,77 |
|
|
11 |
10,7 |
53 |
9,00 |
|
|
12 |
4,1 |
20 |
9,35 |
|
|
13 |
7,3 |
61 |
9,41 |
|
|
14 |
9,7 |
46 |
8,79 |
|
|
15 |
6,3 |
32 |
8,95 |
|
|
16 |
5,2 |
29 |
8,99 |
|
|
17 |
9,0 |
37 |
9,95 |
|
|
18 |
8,9 |
59 |
8,11 |
|
|
19 |
7,1 |
43 |
8,40 |
|
|
20 |
6,4 |
27 |
7,50 |
|
|
21 |
10,1 |
85 |
8,33 |
|
|
22 |
3,9 |
70 |
7,99 |
|
|
23 |
4,5 |
31 |
9,13 |
|
|
24 |
6,3 |
55 |
8,45 |
|
|
25 |
9,7 |
42 |
9,39 |
Рішення:
Для проведення групування визначимо інтервал групування за допомогою наступної формули:
,
де , - відповідно найбільше і найменше значення групувальної ознаки;
- кількість груп;
інтервал.
Отже інтервал групування дорівнює:
і = (91 - 20)/5 = 14,2
|
№ п/п |
Продуктивність праці |
Кількість заводів |
|
|
1 |
20 - 34,2 |
8 |
|
|
2 |
34,2 - 48,4 |
7 |
|
|
3 |
48,4 - 62,6 |
5 |
|
|
4 |
62,6 - 76,8 |
3 |
|
|
5 |
76,8 - 91 |
2 |
Мода - це варіант, що частіше за все зустрічається в статистичному ряді. Мода розраховується за допомогою наступної формули:
Мо = х0 + і (fm - fm-1)/((fm - fm-1)(fm - fm+1))
де х0 - нижня границя модального інтервалу;
і - величина інтервалу;
fm - частота модального інтервалу;
fm-1 - частота інтервалу, що передує модальному інтервалу;
fm+1 - частота наступного інтервалу за модальним інтервалом.
Проведемо відповідні розрахунки:
Мо = 20 + 14,2=20 + 14,2 * 0,067 = 20,95
Медіана розраховується за допомогою формули:
Ме = х0 + і
де (і ?f)/2 - сума всіх частот пополам;
Sm-1 - накопичена частота інтервалу, що передує медіанному;
fm - частота медіанного інтервалу.
Ме = 34,2 + 14,2 * ((12,5-8)/7) = 43,33
Побудуємо за даними групуваннями гістограму:
побудуємо полігон:
побудуємо кумулятивну криву:
побудуємо огіву:
Задача 3
За даними 25 цехів заводів скласти і розвязати рівняння кореляційної залежності виробництва литва на одного робітника і собівартістю 1 т, обчисливши при цьому ці показники для кожного заводу. Обчислити коефіцієнт кореляції. Побудувати графік кореляційної залежності. Зробити короткі висновки. Обчислення оформити в таблиці.
|
№ п/п заводів |
Виробництво литва на одного працівника, т |
Брак, % |
Собівартість 1 т, грн. |
|
|
1 |
14,6 |
4,2 |
239 |
|
|
2 |
13,5 |
6,7 |
254 |
|
|
3 |
21,6 |
5,5 |
262 |
|
|
4 |
17,4 |
7,7 |
251 |
|
|
5 |
44,8 |
1,2 |
158 |
|
|
6 |
111,9 |
2,2 |
101 |
|
|
7 |
20,1 |
8,4 |
259 |
|
|
8 |
28,1 |
1,4 |
186 |
|
|
9 |
22,3 |
4,2 |
204 |
|
|
10 |
25,3 |
0,9 |
198 |
|
|
11 |
56,0 |
1,3 |
170 |
|
|
12 |
40,2 |
1,8 |
173 |
|
|
13 |
40,6 |
3,3 |
197 |
|
|
14 |
75,8 |
3,4 |
172 |
|
|
15 |
27,6 |
1,1 |
201 |
|
|
16 |
88,4 |
0,1 |
130 |
|
|
17 |
16,6 |
4,1 |
251 |
|
|
18 |
33,4 |
2,3 |
195 |
|
|
19 |
17,0 |
9,3 |
282 |
|
|
20 |
33,1 |
3,3 |
196 |
|
|
21 |
30,1 |
3,5 |
186 |
|
|
22 |
65,2 |
1,0 |
176 |
|
|
23 |
22,6 |
5,2 |
238 |
|
|
24 |
33,4 |
2,3 |
204 |
|
|
25 |
19,7 |
2,7 |
205 |
Рішення:
Для вияву і тісноти взаємозвязку між показниками використаємо кореляційно - регресійні методи аналізу. Основною ціллю нашого аналізу є отримання апроксимуючої функції:
що найбільш реально відображає звязок між показниками, що вивчаються.
Для побудови одно факторної моделі розглянемо:
або
Параметри розраховуються по методу найменших квадратів, тобто коли система нормативних рівнянь при вирівнюванні має вигляд:
звідси
Розрахункові дані наведені в таблиці:
|
№ п/п заводів |
Виробництво литва на одного працівника, т (х) |
Собівартість 1 т, грн. (у) |
ху |
х2 |
|
|
1 |
14,6 |
239 |
3489,4 |
57121 |
|
|
2 |
13,5 |
254 |
3429 |
64516 |
|
|
3 |
21,6 |
262 |
5659,2 |
68644 |
|
|
4 |
17,4 |
251 |
4367,4 |
63001 |
|
|
5 |
44,8 |
158 |
7078,4 |
24964 |
|
|
6 |
111,9 |
101 |
11301,9 |
10201 |
|
|
7 |
20,1 |
259 |
5205,9 |
67081 |
|
|
8 |
28,1 |
186 |
5226,6 |
34596 |
|
|
9 |
22,3 |
204 |
4549,2 |
41616 |
|
|
10 |
25,3 |
198 |
5009,4 |
39204 |
|
|
11 |
56,0 |
170 |
9520 |
28900 |
|
|
12 |
40,2 |
173 |
6954,6 |
29929 |
|
|
13 |
40,6 |
197 |
7998,2 |
38809 |
|
|
14 |
75,8 |
172 |
13037,6 |
29584 |
|
|
15 |
27,6 |
201 |
5547,6 |
40401 |
|
|
16 |
88,4 |
130 |
11492 |
16900 |
|
|
17 |
16,6 |
251 |
4166,6 |
63001 |
|
|
18 |
33,4 |
195 |
6513 |
38025 |
|
|
19 |
17,0 |
282 |
4794 |
79524 |
|
|
20 |
33,1 |
196 |
6487,6 |
38416 |
|
|
21 |
30,1 |
186 |
5598,6 |
34596 |
|
|
22 |
65,2 |
176 |
11475,2 |
30976 |
|
|
23 |
22,6 |
238 |
5378,8 |
56644 |
|
|
24 |
33,4 |
204 |
6813,6 |
41616 |
|
|
25 |
19,7 |
205 |
4038,5 |
42025 |
|
|
Всього |
919,3 |
5088 |
165132,3 |
1080290 |
919,3/25 = 36,772
1651323/1080290 = 0,153
таким чином рівняння кореляційної залежності має вигляд:
= 36,772 + 0,153 х
знайдемо коефіцієнт кореляції:
для цього визначимо середнє квадратне відхилення показників х і y:
Розрахуємо середні показники виробництва литва на одного працівника і собівартості однієї тони продукції:
=919,3/25 = 36,77
= 5088/25 = 203,52
Розрахунки оформимо в таблиці:
|
№ п/п заводів |
|
|||||
|
1 |
-22,17 |
35,48 |
491,5089 |
1258,8304 |
-786,5916 |
|
|
2 |
-23,27 |
50,48 |
541,4929 |
2548,2304 |
-1174,6696 |
|
|
3 |
-15,17 |
58,48 |
230,1289 |
3419,9104 |
-887,1416 |
|
|
4 |
-19,37 |
47,48 |
375,1969 |
2254,3504 |
-919,6876 |
|
|
5 |
8,03 |
-45,52 |
64,4809 |
2072,0704 |
-365,5256 |
|
|
6 |
75,13 |
-102,52 |
5644,5169 |
10510,3504 |
-7702,3276 |
|
|
7 |
-16,67 |
55,48 |
277,8889 |
3078,0304 |
-924,8516 |
|
|
8 |
-8,67 |
-17,52 |
75,1689 |
306,9504 |
151,8984 |
|
|
9 |
-14,47 |
0,48 |
209,3809 |
0,2304 |
-6,9456 |
|
|
10 |
-11,47 |
-5,52 |
131,5609 |
30,4704 |
63,3144 |
|
|
11 |
19,23 |
-33,52 |
369,7929 |
1123,5904 |
-644,5896 |
|
|
12 |
3,43 |
-30,52 |
11,7649 |
931,4704 |
-104,6836 |
|
|
13 |
3,83 |
-6,52 |
14,6689 |
42,5104 |
-24,9716 |
|
|
14 |
39,03 |
-31,52 |
1523,3409 |
993,5104 |
-1230,2256 |
|
|
15 |
-9,17 |
-2,52 |
84,0889 |
6,3504 |
23,1084 |
|
|
16 |
51,63 |
-73,52 |
2665,6569 |
5405,1904 |
-3795,8376 |
|
|
17 |
-20,17 |
47,48 |
406,8289 |
2254,3504 |
-957,6716 |
|
|
18 |
-3,37 |
-8,52 |
11,3569 |
72,5904 |
28,7124 |
|
|
19 |
-19,77 |
78,48 |
390,8529 |
6159,1104 |
-1551,5496 |
|
|
20 |
-3,67 |
-7,52 |
13,4689 |
56,5504 |
27,5984 |
|
|
21 |
-6,67 |
-17,52 |
44,4889 |
306,9504 |
116,8584 |
|
|
22 |
28,43 |
-27,52 |
808,2649 |
757,3504 |
-782,3936 |
|
|
23 |
-14,17 |
34,48 |
200,7889 |
1188,8704 |
-488,5816 |
|
|
24 |
-3,37 |
0,48 |
11,3569 |
0,2304 |
-1,6176 |
|
|
25 |
-17,07 |
1,48 |
291,3849 |
2,1904 |
-25,2636 |
|
|
Всього |
14889,4305 |
44780,24 |
-21963,636 |
= 24,4
= = 42,32
Для розрахунку коефіцієнта кореляції використовується формула:
r = (-21963,636)/25815,2 = - 0,85
Оскільки коефіцієнт кореляції дорівнює показнику меншому за 0,3, то це свідчить про слабкий кореляційний звязок між параметрами, що аналізуються.
Побудуємо графік кореляційної залежності:
Задача 4
Товарооборот продовольчого магазину по основних групах товарів становив:
|
Назва продукту |
Товарооборот у поточних цінах, тис. грн.
|
Зміни кількості продукції у звітному періоді порівняно з базисним, % |
||
|
базисний |
звітний |
|||
|
Мясо |
35 |
50 |
+12 |
|
|
Молоко |
46 |
46 |
+7 |
|
|
Овочі |
35 |
55 |
-10 |
Обчислити:
1. Обчислити загальні індекси та абсолютні прирости фізичного обсягу реалізації, цін, товарообороту.
2. Показники взаємозвязку між ними.
3. Зробити короткі висновки.
Рішення:
Товарооберт, це рух товарної маси від виробника до споживача шляхом купівлі - продажу, шляхом обміну товару на гроші.
Взаємозвязок між ціною (р) і кількістю проданих товарів (q) можна виразити через обєм товарооберту, що дорівнює:
у випадку коли за період, що розглядається товар продавався і покупався кілька разів, то вартість цього товару стільки ж раз буде враховуватись в обємі товарообету.
Динаміка товарооберту вивчається в поточних цінах і спів ставних, загальний індекс товар оберту розраховується за допомогою формули:
де I - загальний індекс товароберту;
p0p - ціни в базисному і звітному періоді відповідно;
q0 q - обєм виготовленої продукції у базисному і звітному періоді.
І = 151/116 = 1,3 або 130 %
Абсолютний приріст = 151 - 116 = 35 тис.грн..
Таким чином товарооберт у звітному періоді збільшився на 35 тис. грн.. в порівнянні з базисним.
Виходячи з даних наведених у таблиці кількість мясної продукції в звітному періоді відносно базисного зросла на 12 %, отже індекс фізичного обєму мясної продукції склав 1,12 або 112 %, при цьому виходячи з залежності, індекс цін дорівнює 0,013, або 1,3 %. Аналогічно індекс фізичного обєму молочних продуктів склав 107 %, при цьому індекс ціни 0,0093, або 0,93 %. Обсяг продажу овочів знизився на 10 %, отже індекс фізичного обєму продажу овочів склав 90 % або 0,9, при цьому індекс ціни на овочі склав 0,018 або 1,8 %.
Задача 5
Є дані про динаміку валового виробництва продукції, тис. т.
|
Роки |
Валовий збір, тис. т |
Базисні показники динаміки |
||||
|
Абсолютний приріст, тис. т |
Темп зростання, % |
Темп приросту, % |
Абсолютне значення 1 % приросту, тис. т |
|||
|
1997 |
132,8 |
|||||
|
1998 |
134,85 |
2,85 |
2,05 |
1,05 |
2,71 |
|
|
1999 |
929,6 |
796,8 |
7,0 |
6,0 |
132,8 |
|
|
2000 |
9827,2 |
9694,4 |
74,0 |
73,0 |
132,8 |
|
|
2001 |
796,8 |
664 |
6 |
5,0 |
132,8 |
|
|
2002 |
13678,4 |
13545,6 |
103,0 |
102,0 |
132,8 |
|
|
2003 |
398,4 |
265,6 |
3,0 |
2,0 |
132,8 |
Використовуючи взаємозвязок показників динаміки, визначити рівні та показники, що відсутні в таблиці.
Рішення:
Оскільки абсолютний приріст валового виробництва продукції визначається, як відношення між двома рівнями ряду:
,
то знайдемо показник валового збору продукції в 1998 році:
= 2,85 + 132 = 134,85
у відповідності до формули знайдемо темп зростання:
Т1998 = 134,85/132,8 = 2,05
Темп приросту знаходиться за формулою:
?Т = Тб - 1
?Т1998 = 2,05 - 1 = 1,05
Абсолютне значення приросту розраховується за допомогою наступної формули:
? = ?/?Т
? = 2,85/1,05 = 2,71
тобто 2,71 є абсолютною величиною одного проценту приросту валового збору виробництва.
Шляхом математичних розрахунків, через вказані формули і підстановки відомих показників з таблиці, розрахуємо і занесемо до таблиці невідомі елементи, використовуючи базисний метод розрахунків.