Міністерство освіти й науки України
Харківський національний економічний університет
Кафедра математики
Індивідуальне навчально-дослідницьке завдання
з дисципліни «Економіко-математичне моделювання»
Перевірила:
викладач кафедри
Норік Л. А.
Виконала:
студентка ІІ курсу 1 групи
факультету МЕВ
Ільченко В.В.
Харків, 2009
ЗАВДАННЯ №1
Специфікація економетричної моделі парної регресії
Завдання:
Побудувати лінійну, степеневу та показникову економетричні моделі за даними, що наведені в таблиці. Оцінити параметри моделі. Зробити економічні висновки.
|
Попит, тис.грн |
Ціна, грн |
|
|
60,60 |
205,39 |
|
|
40,30 |
206,42 |
|
|
50,20 |
206,23 |
|
|
70,40 |
205,40 |
|
|
50,80 |
206,96 |
|
|
60,40 |
206,54 |
|
|
50,70 |
205,69 |
|
|
60,90 |
207,84 |
|
|
60,60 |
207,09 |
|
|
80,00 |
209,19 |
|
|
80,70 |
206,74 |
|
|
80,00 |
206,84 |
1) Побудова лінійної моделі парної регресії
Припустимо, що звязок - лінійний.
Рівняння лінійної регресії має вид: yx=a0+a1*x
Побудова рівняння лінійної регресії зводиться до оцінки її параметрів, для якого використовують метод найменших квадратів або користуються вбудованою функцією середовища MS Excel ЛИНЕЙН().
Для цього необхідно:
1. На робочому аркуші сформувати таблицю, що містить вихідні дані.
Рис. 1 Вихідні дані
2. Виділяється блок (5 стрічок Х 2 стовпчики) з метою визначення результатів регресійної статистики.
3. За допомогою режиму Вставка викликається функція ЛИНЕЙН(), щаповнюються аргументи та натискається комбінація клавіш <CTRL>+<SHIFT>+<ENTER>.
В результаті цих дій виводиться регресійна статистика відповідно до схеми.
Табл. 1
Схема регресійної статистики функції ЛИНЕЙН()
|
Значення коефіцієнту а1 |
Значення коефіцієнту а0 |
|
|
Середньоквадратичне відхилення а1 |
Середньоквадратичне відхилення а0 |
|
|
Коефіцієнт детермінації |
Середньоквадратичне відхилення у |
|
|
F-статистика |
Кількість ступенів свободи |
|
|
Регресійна сума квадратів |
Остаточна сума квадратів |
Отримуємо наступні данні
Рис. 2 Поточні результати
Таким чином теоретичне рівняння лінійної регресії має вигляд:
y=-890,82 + 4,61*х
Оскільки а1>0, то регресія невідємна, тобто збільшення значення х веде до збільшення значення у.
Коефіцієнт регресії (а1 ) свідчить, що при збільшенні ціни на 1 одиницю попит збільшиться на 4, 61 одиниць.
Коефіцієнт детермінації R2 = 0, 14, тобто варіація результату у на 14% пояснюється варіацією фактора х, на долю не врахованих факторів залишається 86%.
Отримані результати моделювання лінійного звязку можна встановити, використовуючи графічне зображення.
Рис. 3 Графічне зображення
Для визначення якості обраної моделі доцільно розрахувати середню помилку апроксимації:
Тобто в середньому розрахункові значення відхиляються від фактичних на 17,20%, що вказую на невисоку якість моделі.
Рис. 4 Допоміжні розрахунки для обчислення середньої помилки апроксимації.
Щоб визначити на скільки відсотків в середньому за сукупністю зміниться результативна ознака від свого середнього значення за умовою зміни пояснюваного фактора на 1% від свого середнього значення обчислюється середній коефіцієнт еластичності:
Отже, при збільшенні ціни на товари на 1%, попит на нього збільшується на 15,34%
Оцінку значимості рівняння регресії проводимо за допомогою критерія Фішера, для цього порівнюються табличне значення Fтабл відповідного рівня значимості, та фактичне Fфакт:
Fфакт=1,587
При ?=0,05, k1=m=1, k2=n-m-1=10
Fтабл=4,96
Оскільки Fфакт<Fтабл, то рівняння регресії з ймовірністю 95% визначається в цілому як статистично не значиме.
2) Побудова показникової моделі
Припустимо, що модель задачі показника, тоді - .
Для побудови моделі виконаємо лінеаризацію, за допомогою логарифмування.
Прологарифмуємо рівняння, щоб привести його до лінійного виду: , звідки маємо: , де , , Отже здійснено перетворення показникової моделі ло лінійної, параметри якої мозна обчислити за допомогою функції ЛИНЕЙН().
Рис. 5 Допоміжні розрахунки параметрів рівняння показникової моделі
Отже, маємо А1=0,071, А0=-10,63. Теоретичне рівняння регресії: Y=-10,63 +0,071x
Виконаємо потенціювання рівняння та запишемо його у вигляді показникової функції: = 0.0000241,074x
Коефіцієнт детермінації R2 = 0,12, тобто варіація результату у на 12% пояснюється варіацією фактора х, на долю не врахованих факторів залишається 88%.
Для визначення якості показникової моделі обчислюїмо середню помилку апроксимації:
Тобто в середньому розрахункові значення відхиляються від фактичних на 3,978%, що вказую на високу якість моделі.
Оцінку значимості рівняння регресії проводимо за допомогою критерія Фішера, для цього порівнюються табличне значення Fтабл відповідного рівня значимості, та фактичне Fфакт:
Fфакт=1,379
При ?=0,05, k1=m=1, k2=n-m-1=10
Fтабл=4,96
Оскільки Fфакт<Fтабл, то рівняння регресії з ймовірністю 95% визначається в цілому як статистично не значиме.
3) Побудова степеневої моделі
Припустимо,що модель даної задачі - степенева: . Перетворимо до лінійного вигляду за допомогою логарифмування:
. Отже , де , , , . Виконані обчислення на рис.6
Рис. 6 Допоміжні розрахунки параметрів рівняння степеневої моделі
Отже А1= 14,73, А0=-74,43.
Теоретичне рівняння регресії: Y=-74,43+14,73х. Виконаємо потенціювання отриманого рівняння, та запишемо його у вигляді степеневої функції:
Коефіцієнт детермінації R2 = 0,12, тобто варіація результату у на 12% пояснюється варіацією фактора х, тобто ціни, на долю не врахованих факторів залишається 88%.
Для визначення якості показникової моделі обчислюїмо середню помилку апроксимації:
Тобто в середньому розрахункові значення відхиляються від фактичних на 3,98%, що вказую на високу якість моделі.
Оцінку значимості рівняння регресії проводимо за допомогою критерія Фішера, для цього порівнюються табличне значення Fтабл відповідного рівня значимості, та фактичне Fфакт:
Fфакт=1,37
При ?=0,05, k1=m=1, k2=n-m-1=10
Fтабл=4,96
Оскільки Fфакт<Fтабл, то рівняння регресії з ймовірністю 95% визначається в цілому як статистично не значиме.
Висновок: за величиною середньої помилки апроксимації серед рівнянь моделей більш якісним визначається показникова регресія.
ЗАВДАННЯ № 2
Визначення параметрів класичної економетричної моделі множинної регресії
Завдання:
Побудувати економетричну модель в стандартизованих змінних та натуральних змінних. Обчислити основні множинні характеристики, зробити висновки. Оцінити значущість рівняння регресії за допомогою F-критерію Фішера.
Вихідні данні.
|
Номер підприємства |
Фондоємність |
Витрати виробництва на усунення простою, тис.грн |
Витрати виробництва на модернізацію, тис.грн |
|
|
1 |
48,0 |
125 |
17,0 |
|
|
2 |
103,0 |
133 |
16,2 |
|
|
3 |
125,0 |
76 |
30,7 |
|
|
4 |
115,0 |
103 |
20,3 |
|
|
5 |
133,0 |
77 |
25,4 |
|
|
6 |
71,0 |
67 |
36,4 |
|
|
7 |
71,0 |
48 |
43,1 |
|
|
8 |
77,0 |
115 |
21,6 |
|
|
9 |
71,0 |
71 |
31,5 |
|
|
10 |
69,0 |
71 |
31,9 |
|
|
11 |
76,0 |
71 |
27,2 |
|
|
12 |
78,0 |
69 |
37,3 |
|
|
13 |
48,0 |
76 |
41,5 |
|
|
14 |
48,0 |
78 |
34,3 |
|
|
15 |
67,0 |
48 |
44,3 |
|
|
16 |
67,0 |
48 |
43,4 |
|
|
17 |
68,0 |
67 |
30,4 |
|
|
18 |
62,0 |
67 |
38,0 |
|
|
19 |
88,0 |
62 |
29,8 |
|
|
20 |
74,0 |
88 |
35,0 |
Для побудови рівняння множинної регресії поширеною є лінійна функція: y=b0+b1x1+b2x2+…+bnxn+e
На робочому аркуші формуємо таблицю, що містить вихідні данні. Зведену таблицю основних статистичних характеристик отримуємо за допомогою інструменти аналізу даних Описательная статистика.
Рис. 7 Результат використання інструмента Описательная статистика
Для побудови рівняння лінійної множинної регресії обчислюємо параметри, за допомогою функції ЛИНЕЙН()
Рис. 8 Результат виконання функції ЛИНЕЙН()
Таким чином, теоретичне рівняння лінійної множинної регресії в натуральних змінних являє собою: у = 223,59 - 0,70х1 - 2,86х2. Для побудови стандартизованих змінних знайдемо значення ?і за формулою ?і = bi?xi/?y.
?1=-0,70*23,93/23,92=-0,70
?2=-2,86*8,54/23,92=-1,02
Отже, модель стандартизованих змінних має вигляд ty=-0,70x1-1,02x2. Завдяки тому, що | ?1|<| ?2|, можна стверджувати що витрати, повязані з модернізацією встаткування й удосконаленням техніки та технології виробництва, найбільш сильно впливають на фондоємність.
Коефіцієнт детермінації R2=0,30, тобто варіація результата на 30% пояснюється варіацією обраних факторів, на долю неврахованих факторів залишається 70%. Знайдемо часткові коефіцієнти еластичності за формулою Эх1=Ьі*(хі/у).
Эх1= -0,70* 78/77,95 =-0,70
Эх2= -2,86*31,77/77,95=-1,17
Таким чином можна зробити висновок, що зі збільшенням середніх витрат виробництва, повязаних з усуненням всіх видів простою на 1% середнє значення фондоємності зменшиться на 0,70%, та зі збільшенням середньої величини витрат виробництва, повязаних з модернізацією встаткування й удосконаленням техніки й технології виробництва на 1% середнє значення фондоємності зменшиться на 1,17%.
Оцінимо значимість рівняння регресії за допомогою F-критерію Фішера. Розраховане значення загального F-критерія Фішера F= 3,65 порівнюємо з критичним значенням, яке приведено в таблиці відсоткових значень F-розподілу. Визначимо табличні значення F-критерія Фішера з параметрами К1=m=2 та K2=n-m-1=17 при рівній значимості а=0,05; F(а=0,05)табл=3,59. Оскільки розрахунковий F-критерій Фішера перевищує табличне значення, то можна із упевненістю 95% стверджувати, що рівняння регресії значиме.
Отримані результати можна сформулювати на основі застосування інструмента аналізу даних «Регрессия»
Рис. 9 Результат використання інструменту Регрессия