Обратная матрица. Свойства

Определим операцию деления матриц как операцию, обратную умножению.
            Определение. Если существуют квадратные матрицы Х и А одного порядка, удовлетворяющие условию:
XA = AX = E,
где Е - единичная матрица того же самого порядка, что и матрица А, то матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается А-1.
            Каждая квадратная матрица с определителем, не равным нулю имеет обратную матрицу и притом только одну.
Рассмотрим общий подход к нахождению обратной матрицы.
Исходя из определения произведения матриц, можно записать:
AX = E => , i=(1,n), j=(1,n),
eij = 0,                      i не равно j,
eij = 1,                       i = j .
Таким образом, получаем систему уравнений:
,
Решив эту систему, находим элементы матрицы Х.
            Пример. Дана матрица А = , найти А-1.

             
Таким образом, А-1=.
Однако, такой способ не удобен при нахождении обратных матриц больших порядков, поэтому обычно применяют следующую формулу:

,
где Мji- дополнительный минор элемента аji матрицы А.
            Пример. Дана матрица А = , найти А-1.
det A = 4 - 6 = -2.
M11= 4;       M12= 3;        M21= 2;        M22= 1
x11= -2;      x12= 1;       x21= 3/2;      x22= -1/2
Таким образом, А-1=.
Cвойства обратных матриц.
            Укажем следующие свойства обратных матриц:
1) (A-1)-1 = A;
2) (AB)-1 = B-1A-1

3) (AT)-1 = (A-1)-T.


Пример.  Дана матрица А = , найти А3.
А2 = АА =  = ;            A3 = = .
            Отметим, что матрицы  и  являются перестановочными.

Пример.    Вычислить определитель .
 = -1
 = -1(6 – 4) – 1(9 – 1) + 2(12 – 2) = -2 – 8 + 20 = 10.
 = = 2(0 – 2) – 1(0 – 6) = 2.
=  = 2(-4) – 3(-6) = -8 + 18 = 10.
Значение определителя: -10 + 6 – 40 = -44.