Теория категорий

Теория категорий - раздел математики, изучающий свойства отношений между математическими структурами, независимо от внутреннего строения структур; абстрагируется от множеств и функций к диаграммам, где объекты связаны морфизм (стрелками).
Теория категорий занимает центральное место в современной математике, она также нашла применение в информатике и в теоретической физике. Современное преподавание алгебраической геометрии и гомологической алгебры базируется на теории категории. Понятия теории категорий используются в языке функционального программирования Haskell.

История
Понятие категория была введена в 1945 году. Своим происхождением и первичными стимулами развития теория категорий обязана алгебраической топологии. Дальнейшие исследования выявили объединяющую и унифицируя роль понятия категория и связанного с ним понятия функтора для многих разделов математики.
Теоретико-категорний анализ основ теории гомологии привел к выделению в середине 50-х гг 20 в. так называемых абелевых категорий, в рамках которых оказалось возможным осуществить основные построения гомологической алгебры. В 60-е гг 20 в. определился растущий интерес к неабелевих категорий, вызванный задачами логики, общей алгебры, топологии и алгебраической геометрии. Интенсивное развитие универсальной алгебре и аксиоматическое построение теории гомотопий положили начало различным направлениям исследований: категорному изучению многообразий универсальной алгебре, теории изоморфизме прямых разложений, теории связанных функторов и теории двойственности функторов. Дальнейшее развитие обнаружил существенный взаимосвязь между этими исследованиями. Благодаря возникновению теории относительных категорий, широко использует технику связанных функторов и замкнутых категорий, была установлена двойственность между теорией гомотопий и теории универсальных алгебр, основанная на интерпретации категорних определений моноида и комоноида в соответствующих функторов. Другой способ введения дополнительных структур в категориях связан с заданием в категориях топологии и построении категории пучков над топологической категории (так наз. топосы ).

Определение
Категория
Категория состоит из класса , элементы которого называются объектами категории, и класса, элементы которого называются морфизм категории. Эти классы должны удовлетворять следующим условиям:

Каждой упорядоченной паре объектов А, В сопоставлены класс ; если, то А называется началом, или областью определения морфизму f, а В - конец, или область значений f.
Каждый морфизм категории принадлежит одному и только одному классу.
В классе задан частичный закон умножения: произведение морфизм и определены тогда и только тогда, когда В = С, и принадлежит классу Hom ( A, D ). Произведение f и g сказывается.
Справедливый закон ассоциативности: для любых морфизм для которых данные произведения определены.
В каждом классе Hom ( A, A ) определен такой морфизм и D A, что для ; морфизм и D A называются единичными, тождественными, или единицами.


Заметка: класс объектов обычно не является множеством в смысле аксиоматической теории множеств. Категория, в которой объекты составляют множество, называетсямалой. Кроме того, в принципе возможно (с небольшим исправлением определение) рассматривать категории, в которых морфизм между любыми двумя объектами также образуют класс, или даже большую структуру.

Примеры категорий

Set - категория множеств. Объектами являются множества, морфизм - отображение множеств, а умножение совпадает с последовательным выполнением отображений.
Top - категория топологических пространств. Обьектамие есть топологические пространства, морфизм - все непрерывные отображение топологических пространств, а умножение снова совпадает с последовательным выполнением отображений.
Group - категория групп. Объектами являются группы, морфизм - все гомоморфизм групп, а умножение совпадает с последовательным выполнением гомоморфизм. По аналогии можно ввести категорию колец и т. д.
Vect K - категория векторных пространств над полем K. Морфизм - линейные отображения векторных пространств.
Rel - категория бинарных отношений множества; класс объектов этой категории совпадает с классом объектов Set, а морфизм множества А в множество В есть бинарные отношения этих множеств, то есть всевозможные подмножества декартова произведения А x В; умножения совпадает с умножением бинарных отношений.
Моноид является категорией с одним объектом, наоборот, каждая категория, состоящая из одного объекта, является моноидом.
Для любого частично упорядоченного множества можно построить малую категорию, объектами которой являются элементы множества, причем между элементами x и yсуществует единственный морфизм тогда и только тогда, когда x <= y (разумеется, следует отличать эту категорию от категории частично упорядоченных множеств ).

Все вышеперечисленные категории допускают изоморфное вложение в категорию множеств. Категории, с таким свойством, называются конкретными. Не всякая категория является конкретной, например категория, объектами которой являются все топологические пространства, а морфизм - классы гомотопных отображений.
Коммутативные диаграммы
Стандартным способом описания утверждений теории категорий является коммутативные диаграммы. Коммутативна диаграмма - это ориентированный граф, в вершинах которого находятся объекты, а стрелками есть морфизм или функторы, причем результат композиции стрелок не зависит от выбранного пути. Например, аксиомы теории категорий можно записать с помощью диаграмм:

Категория с объектами X, Y, Z и морфизм f, g.
Двойственность
Для категории можно определить двойственную категорию , в которой:

объекты совпадают с объектами начальной категории;
морфизм получаемые «вращением стрелок»:

Вообще, для любого утверждения теории категорий можно сформулировать двойственное утверждение с помощью обращения стрелок.Часто двойное явление обозначается тем же термином с приставкой ко- (см. примеры ниже).
Справедлив так принцип двойственности: утверждение г истинно в теории категорий тогда и только тогда, когда в этой теории истинно двойственное утверждение г *. Многие понятия и результатов в математике оказались двойственным друг другу с точки зрения понятий теории категорий: иньективнисть и сюрьективнисть, многообразия и радикалы в алгебре и т.д.
Изоморфизм, эндоморфизм, автоморфизмы
Морфизм называется изоморфизмом, если существует такой морфизм, что и. Два объекта, между которыми существует изоморфизм, называются изоморфными. В частности, тождественный морфизм является изоморфизмом, поэтому любой объект изоморфен сам себе.
Морфизм, в которых начало и конец совпадают, называют эндоморфизмамы. Множество ендоморфизмив является моноидом относительно операции композиции с единичным элементом.
Эндоморфизмы, которые одновременно являются изоморфизм, называются автоморфизмом. Автоморфизмы любого объекта образуют группу автоморфизмов по композиции.
Мономорфизм, эпиморфизм, биморфизм
Мономорфизм - это морфизм такой, что для любых из следует, что. Композиция мономорфизм является мономорфизм.
Эпиморфизм - это такой морфизм, что для любых из следующего.
Биморфизм - это морфизм, являющийся одновременно мономорфизм и эпиморфизмом. Любой изоморфизм является биморфизмом, но не любой биморфизм является изоморфизмом.
Мономорфизм, эпиморфизм и биморфизм являются обобщениями соответственно. Любой изоморфизм есть мономорфизм и эпиморфизмом, обратное, вообще говоря, верно не для всех категорий.
Инициальный и терминальный объекты
Инициальный (начальный, универсально отталкивающий) объект категории - это такой объект, с которого существует единственный морфизм в любой другой объект.
Если инициальные объекты в категории существуют, то все они изоморфны.
Двойственным образом определяется терминальный объект - это такой объект, в который существует единственный морфизм из любого другого объекта.

Пример: В категории Set инициальный объектом является пустое множество , терминальным - множество из одного элемента.
Пример: В категории Group инициальный и терминальный объект совпадают - это группа из одного элемента.

Произведение и сумма объектов
Произведение объектов A и B - это объект с морфизм и такими, что для любого объекта C с морфизм и существует единственный морфизм такой, что. Морфизм и называются проекциями.
Дуально определяется прямая сумма или кодобуток A + B объектов A и B. Соответствующие морфизм и называются вложениями. Несмотря на свое название, в общем случае они могут и не быть мономорфизм.
Если произведение и кодобуток существуют, то они определяются однозначно с точностью до изоморфизма.

Примеры

В категории Set прямое произведение A и B - это произведение в смысле теории множеств, а прямая сумма - дизьюнктне объединения .
В категории Ring прямая сумма - это тензорный произведение , а прямое произведение - сумма колец.
В категории Vect K прямое произведение и прямая сумма изоморфны - это сумма векторных пространств.