Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна
единице:
.
Доказательство базируется на том, что противоположные события
образуют полную группу, а сумма вероятностей событий, образующих
полную группу, равна единице.
Замечание 1.Если вероятность одного из двух противоположных событий
обозначена через р, то вероятность другого события обозначают через
q. Таким образом, в силу предыдущей теоремы p + q = l.
Замечание 2. При решении задач на отыскание вероятности события А
часто выгодно сначала вычислить вероятность противоположного
события, а затем найти искомую вероятность по формуле
.
Задача 1. Вероятность попадания в мишень стрелком равна 0,6. Какова
вероятность того, что он, выстрелив по мишени, промахнется?
Решение.Пусть событие A — попадание в мишень, его вероятность
P(A) = 0,6. Противоположное попаданию событие - промах. Вероятность
промаха
P() = 1-0,6=0,4.
Задача 2. Вероятность того, что день будет дождливым, р = 0,7.
Найти вероятность того, что день будет ясным.
Решение.События «день дождливый» и «день ясный» — противоположные,
поэтому искомая вероятность
q = 1 — p = 1 — 0,7 = 0,3,
Задача 3. Найти вероятность того, что наугад вынутая из полного
набора домино (28 костей) одна кость домино не будет «дублем»».
Решение. В полном наборе домино 7 «дублей». Вероятность вытянуть
«дубль» равна: P(A)=7/28=0,25, тогда по теореме о сумме
вероятностей противоположных событий получаем:
P() = 1-P(A) = 1-0,25 = 0,75.
Задача 4. В ящике лежат 5 белых, 10 черных и 15 красных шаров.
Какова вероятность того, что наугад вынутый шар не будет белым?
Решение. Вероятность того, что вытянутый из ящика шар будет белым
равна: P(A)=5/30=1/6, тогда вероятность того, что вытянутый из
ящика шар не будет белым по теореме о сумме вероятностей
противоположных событий равна
P() = 1-1/6 = 5/6.
Задача 5.Вероятность выигрыша главного приза равна 10-8.
Какова
вероятность не выиграть главный приз?
Решение. Пусть событие A - «выигрыш главного приза», тогда событие
- «не выигрыш главного приза». По условию задачи P(A)= 10-8, тогда
используя теорему о сумме вероятностей противоположных событий,
находим
P()=0,9999999.
Задача 6.В роте из 100 солдат двое имеют высшее образование. Какова
вероятность того, что в случайным образом сформированном взводе из
30 солдат будет хотя бы один человек с высшим образованием?
Решение. Пусть событие A — во взводе хотя бы один человек имеет
высшее образование. Тогда событие — ни один человек во взводе не
имеет высшего образования. Взвод из 30 чел. можно составить
способами. Солдат, не имеющих высшего образования, 100 - 2 = 98.
Взвод из 30 солдат, не имеющих высшего образования, можно составить
способами. Вероятность того, что во взвод попадут только те
солдаты, которые не имеют высшего образования, равна
P() = / = (98!/(30!·(98-30)!))/(100!/(30!·(100-30)!)
= (98!·30!·70!)/(30!·68!·100!) = (68·70)/(99·100) = 161/330.
Тогда вероятность того, что во взвод попадет хотя бы один солдат,
имеющий высшее образование, равна
P(A) = 1-P() = 1-161/330 = 169/330 = 0.512.
Задача 7.В студенческой группе 22 человека, среди которых 4
девушки. Какова вероятность того, что среди троих случайным образом
выбранных из этой группы студентов окажется, по крайней мере, одна
девушка?
Решение.Пусть событие A — выбранный студент – девушка. Тогда
событие — выбранный студент – юноша. - столькими способами можно
выбрать троих студентов. 22 – 4 = 18 человек – столько в группе
юношей. - столькими способами можно выбрать троих студентов,
являющихся юношами. Тогда вероятность того, что среди выбранных
троих студентов из 22 человек не будет ни одной девушки, равна
/= 18!/(3!·(18-3)!))/(22!/(3!·(22-3)!)) = 204/385.
Следовательно, вероятность того, что среди выбранных троих
студентов из 22 человек будет хотя бы одна девушка, равна
= 1- 204/385 = 181/385.
Вероятность противоположного события
186
0
2 минуты
Понравилась работу? Лайкни ее и оставь свой комментарий!
Для автора это очень важно, это стимулирует его на новое творчество!