Интегральная теорема Лапласа

Если n – велико, а р – отлично от 0 и 1, то

где

- функция Лапласа (функция табулирована).
Функции Гаусса и Лапласа обладают свойствами, которые необходимо знать при использовании таблиц значений этих функций:
а) ;
б) при больших верно .
Теоремы Лапласа дают удовлетворительное приближение при . Причем, чем ближе значения к 0,5, тем точнее данные формулы. При маленьких или больших значениях вероятности (близких к 0 или 1) формула дает большую погрешность (по сравнению с исходной формулой Бернулли).
Задача 7. Для мастера определенной квалификации вероятность изготовить деталь отличного качества равна 0,75. За смену он изготовил 400 деталей. Найти вероятность того, что в их числе 280 деталей отличного качества.
Решение. По условию , откуда

По таблицам найдем .
Искомая вероятность равна:






Задача 8. В продукции некоторого производства брак составляет 15%. Изделия отправляются потребителям (без проверки) в коробках по 100 штук. Найти вероятности событий:
В – наудачу взятая коробка содержит 13 бракованных изделий;
С – число бракованных изделий в коробке не превосходит 20.
Решение. Изготовление детали – это испытание, в котором может появиться событие А – изделие бракованное – с вероятностью . Находим . Можно применять формулы Лапласа:


Приблизительно 9,5% всех коробок содержат 13 бракованных изделий и в 92% коробок число бракованных не превосходит 20.

Задача 9. Небольшой город ежедневно посещают 100 туристов, которые днем идут обедать. Каждый из них выбирает для обеда один из двух городских ресторанов с равными вероятностями и независимо друг от друга. Владелец одного из ресторанов желает, чтобы c вероятностью приблизительно 0,99 все пришедшие в его ресторан туристы могли там одновременно пообедать. Сколько мест должно для этого быть в его ресторане?
Решение. Будем считать, что событие произошло, если турист пообедал у заинтересованного владельца. По условию задачи, , . Нас интересует такое наименьшее число посетителей , что вероятность одновременного прихода не менее чем туристов из числа с вероятностью успеха приблизительно равна вероятности переполнения ресторана, т.е. . Таким образом, нас интересует такое наименьшее число , что .
Применим интегральную теорему Муавра-Лапласа. В нашем случае: ­– неизвестно, , , .

Тогда
,
.
Используя таблицы для функции , находим, , и, значит, . Следовательно, в ресторане должно быть 62 места.