Прежде всего, отметим, что энтузиасты-поклонники примитива вытеснили из школьной математической программы многие основополагающие понятия и разделы Математики. Одним из пострадавших разделов является Теория многочленов.
Сколько труда и изобретательности проявила человеческая мысль, доказав справедливость утверждения – Основная теорема алгебры комплексных чисел: всякий многочлен, степень которого не меньше единицы, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный! Эту Теорему считают одним из крупнейших достижений математики: трудно назвать область науки, которая не использовала бы утверждение этой теоремы.
Из Основной теоремы получили Следствие: всякий многочлен - степени с любыми комплексными коэффициентами может быть представлен в виде произведения линейных множителей: = .
Из выражения легко следует: числа , в общем случае комплексные, есть корни многочлена (по определению). Возникает вопрос – что это за числа, которые обеспечивают существование корней для любого многочлена – степени? Что такое комплексные числа?..
☺☺
Пример 2–01: Пусть имеем многочлен: = . В соответствии с разложением этот многочлен должен иметь 2 корня. А школьная программа в части алгебры многочленов утверждает, что этот многочлен корней (действительных) не имеет!.. Как это понимать доверчивому юному математику?
Решение:
1). Попробуем руководствоваться определением корня, и станем формально выполнять привычные действия: .
2). Пусть . Проверим, является ли корнем заданного многочлена = . Запишем: . Это значит, что есть корень многочлена . Легко заметить, что и является корнем многочлена .
Замечание: По определению корнем многочлена называют любое число, которое, будучи подставлено в выражение многочлена, обращает его в тождество!
3). В нашем случае мы получили нечто: и , у которого свойство быть корнем имеется, но в привычном понимании это нечто не есть число! Для выхода из возникшего затруднения было предложено назвать корень – число = единица мнимая и обозначить: . В таком случае имеем: =
Ответ: разложение: = .
Пример 2–02: Задан многочлен: = . Учитывая результат предыдущего примера, найти его корни.
Решение:
1). Воспользуемся общей формулой = для нахождения корней многочлена: . В нашем случае: = = .
2). Пусть = и = . Так как названо числом, то и тоже числа. Действительно, выражения и есть числа, так как произведение чисел 3 и есть число. Значит и , – тоже числа, только необычные!..
Ответ: корни: = и = .
☻
В соответствии с исторической традицией число будем называть комплексное числов алгебраической форме, где называют действительной частью, а число – мнимой частью, причём и – произвольные действительные числа. Если =0, то множество действительных чисел можем рассматривать как подмножество множества комплексных чисел .
Назвав выражение числом, необходимо определить для этих чисел операции: сложения и умножения, причём так, чтобы для чисел выполнялись все, установленные для действительных чисел свойства. Пусть имеем и – два комплексных числа. Определим операции:
Сумма: . Разность – обратная операция.
Произведение: . Учитывая , можем записать: . В частном случае, когда число , имеем умножение комплексного числа на число вещественное: .
Деление: .
Замечание: Деление, как и разность, можно было определить как обратную операцию умножения, но в данном случае иллюстрация вычисления деления числа на число выразительно иллюстрирует сохранение всех свойств действительных чисел, в том числе – недопустимость деления на ноль!
Нетрудно заметить, что операции суммы комплексных чисел и произведения комплексного числа на произвольное вещественное число аналогичны линейным операциям с двумерными векторами. В таком случае логично воспользоваться представлением комплексного числа как вектора на плоскости прямоугольных координат : = .
Используя векторную модель комплексного числа, определим его модуль: = и координаты: и , где - угол, который вектор образует с осью . Это значит, произвольное комплексное число может быть представлено в виде: = - комплексное числов тригонометрической форме.
Если воспользоваться тождеством Эйлера: = , можем получить запись комплексного числа как: = . Более того, учитывая периодичность тригонометрических функций, в общем случае можем записать: = , .
Используя формулу , нетрудно записать выражения для операций произведения и деления комплексных чисел = и = , а также возведения комплексного числа = в степень (целую или дробную):
= , = .
= , = , .
Замечание: Формулы называют формулами Муавра. Заметим, что при извлечении корня - ой степени из любого комплексного числа получают различных комплексных чисел, которые располагаются на окружности радиуса с центром в точке и делят эту окружность на равных частей.
•• ☻☻ ••
Пример 1–421: Вычислить произведение комплексных чисел: . Результат записать в алгебраической форме.
Решение:
1). Раскрыв скобки и выполняя тождественные преобразования, запишем: = = .
2). Запись: = - алгебраическая форма комплексного числа.
Ответ: = .
Пример 2–423: Вычислить комплексное число: = . Результат записать в алгебраической форме. (1)
Решение:
1). Применим формулу для разности кубов двух чисел. Выполнив тождественные преобразования, запишем: = = .
2). Запись: = - алгебраическая форма комплексного числа.
Ответ: = .
Пример 3–425: Вычислить комплексное число: = . Результат записать в алгебраической форме.
Решение:
1). Применим формулу деления двух комплексных чисел в алгебраической форме. Выполнив тождественные преобразования, запишем: = = .
2). Запись: = - алгебраическая форма комплексного числа.
Ответ: = .
Пример 4–427: Вычислить комплексное число: = . Результат записать в алгебраической форме.
Решение:
1). Применим формулу деления двух комплексных чисел в алгебраической форме. Выполнив тождественные преобразования, запишем: = .
2). Тогда, воспользовавшись тем, что , запишем: = - алгебраическая форма комплексного числа.
Ответ: = .
Пример 5–429: Вычислить комплексное число: = . Результат записать в алгебраической форме.
Решение:
1). Воспользуемся таблицей степеней числа , именно: , , , . Тогда можем записать: и .
2). Тогда = . Вычислим сначала дробь = , затем запишем: = .
3). Запись: = - алгебраическая форма комплексного числа.
Ответ: = .
Пример 6–435: Представить комплексное число: = в тригонометрической форме и изобразить на комплексной плоскости .
Решение:
1). Воспользуемся общей записью: = . В нашем случае: = - тригонометрическая форма комплексного числа.
2). Изобразим заданное число на плоскости : его можно изобразить как по записи в алгебраической форме, так и воспользовавшись тригонометрической формой.
Ответ: = , см. рисунок.
Пример 7–437: Представить комплексное число: = в тригонометрической форме и изобразить на комплексной плоскости .
Решение:
1). Воспользуемся общей записью: = . В нашем случае: = - тригонометрическая форма комплексного числа.
2). Изобразим заданное число на плоскости : его можно изобразить как по записи в алгебраической форме, так и воспользовавшись тригонометрической формой.
Ответ: = , см. рисунок.
Пример 8–448(а): Вычислить: и , если , .
Решение:
1). В соответствии с определением сопряжённого числа запишем: и .
2). Тогда = = и = = , после чего: = .
Ответ: = , = .
Пример 9–487: Вычислить: = , используя формулу Муавра.
Решение:
1). Запишем: и .
2). Тогда (формула Муавра): = = = . Аналогично вычислим = = .
3). Вычислим: = = .
Ответ: = .
Пример 10–497: Вычислить все значения корня: .
Решение:
1). Запишем: . Тогда = .
2). Для всех указанных значений запишем соответствующие комплексные числа:
=0 → = = ,
=1 → = = ,
=2 → = = ,
=3 → = = ,
Ответ: , , , ; также см. рисунок.
Пример 11–499: Вычислить все значения корня: .
Решение:
1). Запишем: = = . Тогда = .
2). Для всех указанных значений запишем соответствующие комплексные числа:
=0 → = = ,
=1 → = = ,
Ответ: , ; также см. рисунок.
•• ☻☻ ••
Вопросы для самопроверки:
1. Что такое комплексное число?
2. Каковы основные операции с комплексными числами, их свойства?
3. Что такое тригонометрическая форма записи комплексного числа?
4. Формула Муавра, как её получили?
5. Сколько значений имеет корень – ой степени их числа 1?
Задачи для самоподготовки:
Пример C2–1: Вычислить комплексное число: . Результат записать в алгебраической форме.
Пример C2–2: Вычислить комплексное число: . Результат записать в алгебраической форме.
Пример C2–3: Вычислить комплексное число: = . Результат записать в алгебраической форме.
Пример C2–4: Вычислить комплексное число: = . Результат записать в алгебраической форме.
Пример C2–5: Представить комплексное число: = в тригонометрической форме и изобразить на комплексной плоскости .
Пример C2–6: Представить комплексное число: = в тригонометрической форме и изобразить на комплексной плоскости .
Пример C2–7: Вычислить: и , если , .
Пример C2–8: Вычислить: , используя формулу Муавра.
Пример C2–9: Вычислить все значения корня: .
Пример C2–10: Вычислить все значения корня: .
Пример C2–11: Вычислить все значения корня: .
•• ☻☻ ••