Одним из наиболее простых методов решения задачи безусловной оптимизации является метод Ньютона. Для этого целевую функцию дифференцируют в частных производных и приравнивают эти производные к нулю.
Пусть имеется зависимость
.
Найти такие значения a и g , при которых hз = min. Дифференцируя в частных производных, получим
;
.
Так как , то ; .
Отсюда ; .
Другим методом решения задачи безусловной оптимизации является покоординатный метод.
Покоординатный метод определения максимума функции нескольких переменных в области [z , z ] включает в себя многократное решение (поочередно для каждой переменной) задачи определения максимума функции одной переменной.
Максимум функции одной переменной определяется методом золотого сечения. Для этого в области [z , z ], на которой решается задача оптимизации, задается начальная точка z , а целевая функция рассматривается при фиксированных значениях всех факторов кроме одного, изменяющегося в пределах
z z z .
Устанавливают два значения этого фактора, равные
z = 0,618 z + 0,382 z ;
z = 0,382 z + 0,618 z .
Затем вычисляют соответствующие им значения целевой функции
R = F(z ) и R = F(z )
и сравнивают их между собой.
Если R > R , то z < z . Тогда оптимум фактора z должен лежать в пределах z z z , а z присваивается значение, равное
z = z ,
Если R < R , то z > z . Тогда оптимум фактора z должен лежать в пределах
z z z ,
а z присваивается значение, равное
z = z .
Сужение пределов осуществляется последовательно до тех пор, пока разность верхней и нижней границ не будет превышать точности вычислений.
Оптимум фактора z определяется как полусумма верхней и нижней границ
z = (z + z ) / 2 .
Это значение принимают за начальное при определении оптимума следующего фактора z .
В результате каждого шага начальная точка перемещается ближе к оптимуму. Этот процесс продолжается до тех пор, пока разность между начальной и конечной точками не будет меньше точности вычислений.
|
Нелинейное программирование
Задача определения экстремума нелинейной целевой функции
F ( z ) = extr , j = 1 . . . n
при нелинейных ограничениях - равенствах
F (z ) - R = 0 , i = 1 . . . m
решается методом множителей Лагранжа.
Для решения этой задачи составляют вспомогательную функцию n переменных z и m неопределенных множителей (функцию Лагранжа)
Ф (z , ) = F ( z ) + [F ( z ) - R ]
и решают систему n + m уравнений:
Ф (z , ) / z = 0 ;
Ф (z , ) / = 0 .
8.6. Линейное программирование
Сформулированную Л. В. Канторовичем задачу линейного программирования определения таких значений переменных z , которые в условиях заданных линейных ограничений на параметры R
a z [R ]
обеспечивают максимум линейной целевой функции
a z = max ,
решают симплекс-методом, разработанным Дж. Данцигом.
Систему линейных ограничений-неравенств заменяют системой линейных ограничений-равенств путем введения дополнительных переменныхy . При этом свободный член целевой функции полагают равным нулю
a z + y = b ;
a z + y = 0 .
Систему уравнений приводят к виду
y = b - [ a z ] ;
y = 0 - [ a z ] .
Полученную систему уравнений представляют в виде таблицы, включающей в себя матрицу из коэффициентов и свободных членов ограничений и целевой функции:
z | . . . | z | . . . | z | ||
y | b | a | . . . | a | . . . | a |
. . . | . . . | . . . | . . . | . . . | . . . | . . . |
y | b | a | . . . | a | . . . | a |
. . . | . . . | . . . | . . . | . . . | . . . | . . . |
y | b | a | . . . | a | . . . | a |
y | b | a | a | a |
Если положить все основные переменные z , равными нулю,
то y = b . Это решение можно принять за базисное решение. Однако это решение еще не оптимально.
Для нахождения оптимального решения необходимо поменять местами основные переменные z с равным количеством дополнительных переменных y , т.е. перевести дополнительные переменные y в базис, равные нулю. Для этого поочередно в каждом столбце коэффициентов определяют разрешающий элементa , т.е. положительный элемент столбца, имеющий максимальное отношение к абсолютной величине свободного члена
a / |b | = max .
Разрешающий элемент заменяют на обратную величину
a = 1 / a .
Все остальные элементы разрешающей строки делят на разрешающий элемент
b = b / a ;a = a / a .
Все остальные элементы разрешающего столбца делят на разрешающий элемент и меняют знак на обратный
a = - a / a .
Из каждого из оставшихся элементов вычитают произведение элемента разрешающего столбца из той же строки и элемента из разрешающей строки из того же столбца, деленное на разрешающий элемент
b = b - b a / a ;a = a - a a / a .
Задача считается решенной, если в строке целевой функции, не считая свободного члена, нет ни одного положительного элемента (признак оптимальности).
Оптимальное значение каждого фактора z определяют путем потенцирования свободного члена в той же строке. Если в строке целевой функции есть положительный элемент, то соответствующую дополнительную переменную из базиса переводят в свободную, а свободную в базис.
Пример.
Задача: Требуется определить максимум функции
F = x + x
при выполнении следующих ограничений:
x + 2 x 6 ;
2 x + x 3 ;
x - 2 x - 1 .
Решение. Приводим ограничения-неравенства к одному виду
x +2 x 6 ;
2 x + x 3 ;
- x + 2 x £ 1 .
Заменяем ограничения-неравенства уравнениями, вводя дополнительные переменные y, и полагаем свободный член в целевой функции равным нулю
x + 2 x + y = 6 ;
2 x + x + y = 3 ;
- x + 2 x + y = 1 ;
x + x + y = 0 .
Выражаем значения дополнительных переменных y через основные x
y = 6 - (x + 2 x ) ;
y = 3 - (2 x + x ) ;
y = 1 - (- x + 2 x ) ;
y = 0 - (x + x ) .
Находим разрешающий элемент в первом столбце коэффициентов и меняем местами основную переменную x и дополнительную переменную y
2 x = 3 - ( y + x )
или
x = 1,5 - 0,5 y - 0,5 x .
Подставляем это значение в остальные уравнения
y = 6 - (1,5 - 0,5 y - 0,5 x + 2 x ) ;
x = 1,5 - (0,5 y + 0,5 x ) ;
y = 1 - (-1,5 + 0,5 y + 0,5 x + 2 x ) ;
y = 0 - (1,5 - 0,5 y - 0,5 x + x ) .
Тогда система уравнений примет вид
y = 4,5 - (-0,5 y + 1,5 x ) ;
x = 1,5 - (0,5 y + 0,5 x ) ;
y = 2,5 - (0,5 y + 2,5 x ) ;
y = -1,5 - (-0,5 y + 0,5 x ) .
Теперь находим разрешающий элемент во втором столбце и меняем местами основную переменную x с дополнительной переменной y
2,5 x = 2,5 - (0,5 y + y )
или
x = 1 - 0,2 y - 0,4 y .
Подставляем это значение в остальные уравнения.
y = 4,5 - (-0,5 y + 1,5 - 0,3 y - 0,6 y ) ;
x = 1,5 - ( 0,5 y + 0,5 - 0,1 y - 0,2 y ) ;
x = 1,0 - (0,2 y + 0,4 y ) ;
y = -1,5 - (-0,5 y + 0,5 - 0,1 y - 0,2 y ) .
Тогда система уравнений примет вид
y = 3 - (-0,8 y - 0,6 y ) ;
x = 1 - (0,4 y - 0,2 y ) ;
x = 1 - (0,2 y + 0,4 y ) ;
y = -2 - (-0,6 y - 0,2 y ) .
Так как коэффициенты перед дополнительными переменными y и y в строке целевой функции имеют отрицательные значения, то оптимальное решение имеется
x = 1 ; x = 1 .
Пример.
Задача: Требуется определить максимум функции F = x при условии выполнения следующих ограничений:
x + 4 x £ 16 ;
x - 2 x ³ - 2 ;
x + 2 x £ 6 ;
x £ 3 .
Решение. Приводим ограничения-неравенства к одному виду
x + 4 x £ 16 ;
- x + 2 x £ 2 ;
x + 2 x £ 6 ;
x £ 3 .
Заменяем ограничения-неравенства уравнениями, вводя дополнительные переменные y и полагая свободный член в целевой функции, равным нулю.
x + 4 x + y = 16 ;
- x + 2 x + y = 2 ;
x + 2 x + y = 6 ;
x + y = 3 ;
x + y = 0 .
Выражаем значения дополнительных переменных y через основные x
y = 16 - (x + 4 x ) ;
y = 2 - (-x + 2 x ) ;
y = 6 - (x + 2 x ) ;
y = 3 - (x ) ;
y = 0 – ( x ) .
Находим разрешающий элемент в первом столбце коэффициентов и меняем местами основную переменную x с дополнительной переменной y
x = 3 - y .
Подставляем это значение в остальные уравнения
y = 16 - ( 3 - y + 4 x ) ;
y = 2 - (-3 + y + 2 x ) ;
y = 6 - ( 3 - y + 2 x ) ;
x = 3 - ( y ) ;
y = 0 - ( x ) .
Тогда система уравнений примет вид
y = 13 - (-y + 4 x ) ;
y = 5 - ( y + 2 x ) ;
y = 3 - (-y + 2 x ) ;
x = 3 - ( y ) ;
y = 0 - ( x ) .
Теперь находим разрешающий элемент во втором столбце и меняем местами основную переменную x и дополнительную y
2 x = 3 - (- y + y )
или
x = 1,5 + 0,5 y - 0,5 y .
Подставляем это значение в остальные уравнения
y = 13 - ( - y + 6 + 2 y - 2 y ) ;
y = 5 - ( y + 3 + y - y ) ;
x = 1,5 - (-0,5y + 0,5y ) ;
x = 3 - ( y ) ;
y = 0 - ( 1,5 + 0,5y - 0,5y ) .
Тогда система уравнений примет вид
y = 7 - ( y - 2 y ) ;
y = 2 - ( 2 y - y ) ;
x = 1,5 - (-0,5 y + 0,5 y ) ;
x = 3 - ( y ) ;
y = -1,5 - ( 0,5 y - 0,5 y ) .
Так как в строке целевой функции коэффициент перед дополнительной переменной y положительный, то решение x = 3 и x = 1,5 не оптимально.
Поэтому в столбце коэффициентов перед y находим разрешающий элемент и относительно его меняем местами дополнительные переменные y и y
2 y = 2 - ( y - y )
или
y = 1 - 0,5 y + 0,5 y .
Подставляем это значение в остальные уравнения
y = 7 - ( 1 - 0,5 y + 0,5 y - 2 y ) ;
y = 1 - ( 0,5 y - 0,5 y ) ;
x = 1,5 - (-0,5 + 0,25 y - 0,25 y + 0,5 y ) ;
x = 3 - ( 1 - 0,5 y + 0,5 y ) ;
y = -1,5 - (0,5 - 0,25 y + 0,25 y - 0,5 y ) .
Тогда система уравнений примет вид
y = 6 - (-0,5 y2 - 1,5 y3) ;
y = 1 - (0,5 y2 - 0,5 y3) ;
x = 2 - (0,25 y2 + 0,25 y3) ;
x = 2 - (-0,5 y2 + 0,5 y3) ;
y = -2 - (-0,25 y2 - 0,25 y3) .
Так как коэффициенты перед дополнительными переменными y и y в строке целевой функции отрицательные, то оптимальное решение найдено. Это x = 2 ; x = 2.
8.7. Стохастическое программирование
Сравнение задачи стохастического программирования с задачей линейного программирования для детерминированных величин показывает, что детерминированный эквивалент задачи стохастического программирования отличается от задачи линейного программирования уменьшением допустимых значений параметров процесса ln [R ] на некоторую величину (1/ ) ln ln (1/(1- F(R ))). Эта величина определяется требуемой вероятностью работоспособного состояния F(R ) и показателем распределения случайного параметра . Она является платой за принятие решения об управлении в условиях неопределенности.
Возможно, эта плата окажется неиспользованной, но для достижения цели она необходима.
Детерминированный эквивалент задачи стохастического программирования решается симплекс-методом. Если число неизвестных управляющих факторов равно двум, то эта задача может быть решена графически. Для этого в логарифмических координатах строят семейство прямых, уравнения которых имеют вид
ln z = b / a - (a / a ) ln z ,
где b = ln R - ln c - (1 / ) lnln (1 / (1-F (R))) .
Каждая их этих прямых является границей "допустимой полуплоскости", все точки которой (z1 и z2) удовлетворяют ограничениям-неравенствам. Часть плоскости, принадлежащая одновременно всем "допустимым полуплоскостям", образует область "допустимых решений". Все точки этой области удовлетворяют всем без исключения ограничениям-неравенствам.
Далее строят "основную прямую", уравнение которой
ln z = - (a / a ) ln z ,
и определяют направление ее возрастания. “Основную прямую” перемещают в этом направлении параллельно самой себе до тех пор, пока она не будет иметь с "областью допустимых решений" только одну общую точку. Потенцируя координаты этой точки, получают оптимальные значения z и z .
|