Общая теория статистики, задачи, решения

Задача №1 Имеются данные о сумме активов и кредитных вложений 20 коммерческих банков:
№ банка
Кредитные вложения, млрд. руб. Сумма активов, млрд. руб.
1
311
518
2
658
1194
3
2496
3176
4
1319
1997
5
783
2941
6
1962
3066
7
1142
1865
8
382
602
9
853
1304
10
2439
4991
11
3900
6728
12
305
497
13
799
1732
14
914
2002
15
1039
2295
16
2822
5636
17
1589
2998
18
1012
1116
19
1350
2482
20
3500
6453 С целью изучения зависимости суммы активов и кредитных вложений коммерческих банков произведите группировку банков по кредитным вложениям (факторный признак), образовав 5 групп с равными интервалами. По каждой группе и совокупности банков подсчитайте: 1) число банков; 2) кредитные вложения – всего и в среднем на один банк; 3) сумму активов – всего и в среднем на один банк; Результаты представьте в виде групповой таблицы. Сделайте краткие выводы. Решение Определим величину интервала группировки банков по кредитным вложениям: млрд. руб., где xmax, xmin – максимальное и минимальное значения кредитных вложений. Определим теперь интервалы групп (xi, xi+1): 1 группа: 305 – 1024 млрд. руб.; 2 группа: 1024 – 1743 млрд. руб.; 3 группа: 1743 – 2462 млрд. руб.; 4 группа: 2462 – 3181 млрд. руб.; 5 группа: 3181 – 3900 млрд. руб., где млрд. руб.; млрд. руб.; млрд. руб.; млрд. руб.; млрд. руб.; млрд. руб. Далее упорядочим исходную таблицу по возрастанию кредитных вложений и выделим группы, в которые попадут банки:
Группа
Величины кредитных вложений в группе, млрд. руб.
Кредитные вложения, млрд. руб
Сумма активов, млрд. руб.
1
305 - 1024
305
497
311
518
382
602
658
1194
783
2941
799
1732
853
1304
914
2002
1012
1116
2
1024 - 1743
1039
2295
1142
1865
1319
1997
1350
2482
1589
2998
3
1743 - 2462
1962
3066
2439
4991
4
2462 - 3181
2496
3176
2822
5636
5
3181 - 3900
3500
6453
3900
6728 На основе полученной таблицы определим требуемые показатели. Результаты представим в виде групповой таблицы:
Группа
Количество банков в группе, шт. Величины кредитных вложений в группе, млрд. руб.
Кредитные вложения, млрд. руб
Сумма активов, млрд. руб.
1
9
305 - 1024
Всего
6017
Всего
11906
В среднем на один банк
668,556
В среднем на один банк
1322,889
2
5
1024 - 1743
Всего
6439
Всего
11637
В среднем на один банк
1287,8
В среднем на один банк
2327,4
3
2
1743 - 2462
Всего
4401
Всего
8057
В среднем на один банк
2200,5
В среднем на один банк
4028,5
4
2
2462 - 3181
Всего
5318
Всего
8812
В среднем на один банк
2659
В среднем на один банк
4406
5
2
3181 - 3900
Всего
7400
Всего
13181
В среднем на один банк
3700
В среднем на один банк
6590,5
Задача №2 Имеются данные о посевной площади, урожайности и валовом сборе в 2-х районах области зерновых культур:
№ совхоза
Первый район
Второй район
Валовый сбор, ц
Урожайность,
ц/га
Урожайность,
ц/га
Посевная площадь, га
1
6300
32
31
300
2
6500
27
28
340 Определите среднюю урожайность зерновых в каждом из районов области. Укажите виды рассчитанных средних величин. Решение Урожайность на некоторой посевной площади определяется по формуле: , где V – валовый сбор; S – посевная площадь. Определим среднюю урожайность зерновых в первом районе области. Т.к. заданы урожайности и валовый сбор отдельных совхозов, то: . Данная формула называется средней гармонической взвешенной. Подставив в последнюю формулу известные значения, получим среднюю урожайность зерновых в первом районе области: ц/га. Определим среднюю урожайность зерновых во втором районе области. Поскольку заданы урожайности и посевные площади отдельных совхозов, то имеем: . Данная формула называется средней арифметической взвешенной. Подставив в последнюю формулу известные значения, получим среднюю урожайность зерновых во втором районе области: ц/га.
Задача №3 В целях изучения затрат времени на изготовление одной детали рабочими завода проведена 10%-ная случайная бесповторная выборка, в результате которой получено следующее распределение деталей по затратам времени: Затраты времени на одну деталь, мин. Число деталей, шт. До 20 10 От 20 до 24 20 От 24 до 28 50 От 28 до 32 15 Свыше 32 5 Итого 100 На основании данных вычислите: 1. Средние затраты времени на изготовление одной детали. 2. Средний квадрат отклонений (дисперсию) и среднее квадратическое отклонение. 3. Коэффициент вариации.
4. С вероятностью 0,954 предельную ошибку выборочной средней и возможные границы, в которых ожидаются средние затраты времени на изготовление другой детали на заводе. 5. С вероятностью 0,954 предельную ошибку выборочной доли и границы удельного веса числа деталей с затратами времени на их изготовление от 20 до 28 мин.
Сделайте выводы. Решение Приведем группировку к стандартному виду с равными интервалами и найдем середины интервалов для каждой группы. Результаты представлены в таблице:
Затраты времени на одну деталь, мин.
Затраты времени на одну деталь, мин.
Затраты времени на одну деталь, мин.
Число деталей, шт.
До 20
16 - 20
18
10
От 20 до 24
20 - 24
22
20
От 24 до 28
24 - 28
26
50
От 28 до 32
28 - 32
30
15
Свыше 32
32 - 36
34
5
Итого
100 1. Средние затраты времени на изготовление одной детали определим по формуле средней арифметической взвешенной: . Подставив в последнюю формулу известные значения, получим средние затраты времени на изготовление одной детали: мин. 2. Дисперсия определяется по формуле: . Подставив в последнюю формулу известные значения, получим дисперсию: мин2. Среднее квадратическое отклонение равно: мин. 3. Коэффициент вариации определяется по формуле: , или 15,2%. 4. Рассчитаем сначала предельную ошибку выборки. Так при вероятности p = 0,954 коэффициент доверия t = 2. Поскольку дана 10%-ная случайная бесповторная выборка, то , где n – объем выборочной совокупности, N – объем генеральной совокупности. Считаем также, что дисперсия . Тогда предельная ошибка выборочной средней равна: мин. Определим теперь возможные границы, в которых ожидаются средние затраты времени на изготовление одной детали на заводе: или . Т.е., с вероятностью 0,954 можно утверждать, что средние затраты времени на изготовление другой детали на заводе находятся в пределах от 24,669 до 26,131 мин. 5. Выборочная доля w числа деталей с затратами времени на их изготовление от 20 до 28 мин. равна: %. Учитывая, что при вероятности p = 0,954 коэффициент доверия t = 2,вычислим предельную ошибку выборочной доли: , или 8,69%. Пределы доли признака во всей совокупности: или . Таким образом, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что границы удельного веса числа деталей с затратами времени на их изготовление от 20 до 28 мин., находятся в пределах от 61,31% до 78,69% от всей партии деталей. Выводы. 1. Так как коэффициент вариации меньше 33 %, то исходная выборка однородная. 2. Более двух третей деталей имеют время изготовления от 20 до 28 мин. Это свидетельствует о стабильной работе на заводе по выпуску данной детали.
Задача №4 Производство картофеля в регионе характеризуется следующими данными, млн. тонн: Годы Производство картофеля, млн. тонн 1990 84 1995 78 1996 83 1997 85 1998 82 1999 86 2000 89 Для анализа производства картофеля в регионе за 1995-2000 гг. вычислите: 1. Абсолютные приросты, темпы роста и темпы прироста по годам и к 1995 году. Полученные показатели представьте в таблице. 2. Среднегодовое производство картофеля. 3. Среднегодовой темп роста и прироста производства картофеля за 1995-2000 гг. и за 1990-1995 гг. 4. Постройте график производства картофеля в регионе за 1990-2000гг. Сделайте выводы. Решение 1. Определим показатели, характеризующие рост производства картофеля: абсолютные приросты, темпы роста и прироста (по годам и к базисному 1995 году). Формулы для расчета следующие. Абсолютный прирост по годам и к базисному году, соответственно, равен: Темп роста по годам и к базисному году, соответственно, равен: Темп прироста по годам и к базисному году, соответственно, равен: Результаты приведены в таблице.
Годы
Производство картофеля, млн. тонн.
Абсолютный прирост, млрд. руб.
Темпы роста, %
Темпы прироста, %
по годам
к базисному году
по годам
к базисному году
по годам
к базисному году
1990
84
-
-
-
-
-
-
1995
78
-6
-6
92,86
92,86
-7,14
-7,14
1996
83
5
-1
106,41
98,81
6,41
-1,19
1997
85
2
1
102,41
101,19
2,41
1,19
1998
82
-3
-2
96,47
97,62
-3,53
-2,38
1999
86
4
2
104,88
102,38
4,88
2,38
2000
89
3
5
103,49
105,95
3,49
5,95 2. Среднегодовое производство картофеля определим по формуле средней арифметической взвешенной: млн. тонн. 3. Среднегодовой темп роста ряда динамики определяется по формуле среднего геометрического:
Подставив исходные данные, получим среднегодовой темп роста производства картофеля: за 1995-2000 гг.: , или 102,67%; за 1990-1995 гг.: , или 98,53%. Среднегодовой абсолютный прирост определяется по формуле: . Подставив рассчитанные , получим среднегодовой темп роста производства картофеля: за 1995-2000 гг.: , или 2,67%; за 1990-1995 гг.: , или -1,47%. 4. Построим график производства картофеля в регионе за 1990-2000гг. Он имеет вид: Выводы. Анализ графика и полученных расчетных данных свидетельствует о том, что: - производство картофеля убывало с 1990 г. по 1995 г. включительно, а затем стало расти (за исключением временного спада в 1998 г.); - темп прироста в 2000 г. к 1990 г. составил лишь 5,95%.
Задача №5 Имеются следующие данные об остатках вкладов в Сбербанке РФ во втором полугодии 1999 г. на первое число каждого месяца, млрд. руб.
01.07.99
01.08.99
01.09.99
01.10.99
01.11.99
01.12.99
01.01.2000
106,4
111,0
114,3
117,2
119,1
120,0
121,8 Определите средние остатки вкладов в Сбербанке РФ: 1. За третий квартал; 2. За четвертый квартал; 3. За второе полугодие в целом. Решение Используем формулу средней хронологической: , где yi – значение показателя на i-1 момент времени. Подставив исходные данные, получим средние остатки вкладов в Сбербанке РФ: за третий квартал: млрд. руб.; за четвертый квартал: млрд. руб. Средние остатки вкладов в Сбербанке РФ за второе полугодие в целом можно определить по формуле среднего арифметического: млрд. руб.
Задача №6 Динамика себестоимости и объема производства продукции характеризуется следующими данными:
Вид продукции
Выработано продукции за период, тыс.ед.
Себестоимость единицы продукции за период, руб.
базисный
отчетный
базисный
отчетный
Завод №1:
ВН-25
НС-26 7
6,5
7,4
5,4
150
100
180
120
Завод №2:
ВН-25
6,8
7,0
140
150 На основании имеющихся данных вычислите: 1. Для завода №1 (по двум видам продукции вместе): а) общий индекс затрат на производство продукции; б) общий индекс себестоимости продукции; в) общий индекс физического объема произведенной продукции. Определите сумму изменения затрат в отчетном периоде по сравнению с базисным и разложите по факторам (за счет изменения себестоимости и за счет изменения физического объема продукции). 2. Для двух заводов вместе (по продукции ВН-25) определите: а) индекс себестоимости переменного состава; б) индекс себестоимости постоянного состава; в) индекс изменения структуры. Сделайте выводы. Решение 1. Рассмотрим вначале завод №1. Сформируем для него из исходных данных следующую таблицу:
Вид продукции
Выработано продукции за период, тыс.ед.
Себестоимость единицы продукции за период, руб.
базисный
отчетный
базисный
отчетный
ВН-25, i = 1
7
7,4
150
180
НС-26, i = 2
6,5
5,4
100
120 Используя в качестве соизмерителя неизменные цены, получим следующую формулу для определения общего индекса физического объема произведенной продукции: , или 97,06%. Общий индекс физического объема произведенной продукции определяется по формуле: , или 116,47%.
Отсюда, используя взаимосвязь индексов, вычислим общий индекс себестоимости продукции: , или 120,0%. Сумма изменения затрат в отчетном периоде по сравнению с базисным составила: тыс. руб.
Разложим теперь эту сумму изменения затрат по факторам. Сумма изменения затрат в отчетном периоде по сравнению с базисным за счет изменения себестоимости составила: тыс. руб. Сумма изменения затрат в отчетном периоде по сравнению с базисным за счет изменения физического объема продукции составила: тыс. руб. 2. Рассмотрим теперь оба завода вместе (по продукции ВН-25). Сформируем для них из исходных данных следующую таблицу:
Номер завода
Выработано продукции за период, тыс.ед.
Себестоимость единицы продукции за период, руб.
базисный
отчетный
базисный
отчетный
1
7
7,4
150
180
2
6,8
7
140
150 Индекс себестоимости переменного состава представляет собой отношение двух взвешенных средних величин с переменными весами, характеризующее изменение индексируемого (осредняемого) показателя: , или 114,02%. Индекс себестоимости постоянного состава представляет собой отношение двух взвешенных средних величин с одними и теми же весами: , или 113,97%. Индекс изменения структуры равен: , или 100,05%. Выводы. 1. По результатам отчетного периода рост затрат 1-го завода произошел исключительно за счет увеличения себестоимости продукции. Более того, за год наблюдалось незначительное сокращение затрат за счет уменьшения физического объема продукции 2. Изменение структуры выпуска продукции ВН-25в общем объеме практически не повлияло на увеличение себестоимости продукции по двум заводам. Произошедший рост средней себестоимости вызван ростом себестоимости одновременно на двух заводах.
Задача №7 Имеются следующие данные о товарообороте коммерческого магазина:
Товарная группа
Продано товаров в фактических ценах за период, тыс.руб.
Изменение цен в отчетном периоде по сравнению с базисным периодом, %
базисный
отчетный
Хлеб и хлебобулочные изделия
48
54
+15
Кондитерские изделия
68
69,2
без изменения
Цельномолочная продукция
38
42,3
+3 Вычислите: Общий индекс товарооборота в фактических ценах. Общий индекс цен. Общий индекс физического объема товарооборота, используя взаимосвязь индексов. Сделайте выводы. Решение Используя исходные данные, и приняв цены в базисном периоде за 1, получим следующую таблицу:
Товарная группа
Продано товаров в фактических ценах за период, тыс. руб.
Цены, усл. д. ед.
базисный,
отчетный,
базисный,
отчетный,
Хлеб и хлебобулочные изделия
48
54
1
1,15
Кондитерские изделия
68
69,2
1
1
Цельномолочная продукция
38
42,3
1
1,03 Общий индекс товарооборота в фактических ценах равен: , или 107,47%. Общий индекс цен равен: , или 105,26%. Общий индекс физического объема товарооборота, используя взаимосвязь индексов, определим как: , или 102,09%. Выводы. За отчетный год цены выросли на 5,26%. За отчетный год физический объем товарооборота вырос на 2,09%.
За отчетный год товарооборот в фактических ценах вырос на 7,47%.
Задача №8 Для изучения тесноты связи между кредитными вложениями (факторный признак) и суммой активов (результативный признак) по данным задачи №1 вычислите эмпирическое корреляционное отношение.
Сделайте выводы. Решение Перепишем, полученную в задаче 1 сгруппированную таблицу:
Группа
Величины кредитных вложений в группе, млрд. руб.
Кредитные вложения, млрд. руб
Сумма активов, млрд. руб.
1
305 - 1024
305
497
311
518
382
602
658
1194
783
2941
799
1732
853
1304
914
2002
1012
1116
2
1024 - 1743
1039
2295
1142
1865
1319
1997
1350
2482
1589
2998
3
1743 - 2462
1962
3066
2439
4991
4
2462 - 3181
2496
3176
2822
5636
5
3181 - 3900
3500
6453
3900
6728 Эмпирическое корреляционное отношение определяется по формуле: , где - межгрупповая дисперсия; - общая дисперсия. Групповые средние суммы активов банков были определены в задаче 1:
Группа
Количество банков в группе, шт.
Средняя сумма активов в группе , млрд. руб.
1
9
1322,889
2
5
2327,4
3
2
4028,5
4
2
4406
5
2
6590,5 Определим теперь среднее значение, общую дисперсию, и межгрупповую дисперсию суммы активов банков: млрд. руб.; млрд. руб.2; млрд. руб.2. В результате эмпирическое корреляционное отношение будет равно: . Вывод. Рассчитанное значение эмпирического корреляционного отношения свидетельствует о достаточно высокой статистической связи между суммами активов и кредитными вложениями банков.
Список литературы 1. Батырева Л.В., Сафин М.Ф. Общая теория статистики: Задания к контрольной работе. – Челябинск: УрСЭИ АТиСО, 2002. – 32 с. 2. Батырева Л.В. Общая теория статистики: Учебно-практическое пособие. – Челябинск: УрСЭИ АТиСО, 2003. – 84 с. 3. Ефимова М.Р., Петрова Е.В., Румянцев В.Н. Общая теория статистики: Учебник. – М.: ИНФРА-М, 1998. – 416 с.