При имитационном моделировании важным вопрос точности полученного результата. Точность зависит от числа реализаций модели, которые необходимы для того, чтобы оценка вероятности интересующего нас события, была достаточно близка к истинному ее значению. Этот вопрос обычно возникает и в других постановках статистических задач.
Теория вероятностей позволяет нам оценить эту точность. Относительная величина ошибки приблизительно обратно пропорциональна квадратному корню из числа испытаний. Иными словами, если мы получили N реализаций модели для определения интересующей нас величины Х, то последняя будет получена с ошибкой Dх, наиболее вероятное значение которой определяется из приближенного соотношения
.
Мы можем определить число испытаний, для получения ответа с заданной точностью.
.
От числа испытаний зависит так же и точность модели.
.
Определяя поток машин в предыдущем примере мы получили х=6, а число реализаций модели составило N=10.Тогда Dх=1,9, что составляет 32%. Это и есть точность нашего результата х=6±2.
Мы можем определить число испытаний, для получения ответа с заданной точностью. Нас устроит Dх=1, так как число приезжающих машин всегда целое число. Оно равно
.
Тогда, для получения необходимой точности число реализаций модели должно составлять N=36.
5.7. Примеры построения имитационных моделей
5.7.1. Вычисление числа π
Мы рассматривали динамические имитационные модели, в которых осуществлялось моделирование процессов, протекающих во времени. Представленная ниже модель относится к классу статических, не зависящих от времени.
Известно, что число π (отношение длины окружности к диаметру) является иррациональным числом. Оно может быть представлено бесконечной непериодической десятичной дробью π=3,14… . Кроме того, число π трансцендентно, то есть не может быть корнем алгебраического уравнения с целыми коэффициентами. В настоящее время число π вычислено с точностью до триллионного знака. Используются разные методы, например, разложение в ряд. Ряд Лейбница (дает очень медленную сходимость)
Покажем теперь, как можно решить задачу вычисления числа π методом Монте-Карло. Нарисуем квадрат, сторону которого примем за единицу длины. Впишем в этот квадрат четверть круга, как показано на рисунке.
Рис. 18 Схема моделирования числа π
Площадь части круга равна . Площадь квадрата равна единице. Каждая точка R(х,у) внутри рисунка имеет две координаты х и у. Пусть эти координаты являются случайными числами (числа равномерно распределены, число точек пропорционально площади). Если диапазон изменения этих случайных чисел равен [0,1], то любое случайное число R(х,у) будет находиться в площади квадрата. Определим два случайных события, составляющих полную группу:
А – случайное число R попадает в площадь круга с вероятностью Р(А);
В – случайное число R попадает в площадь квадрата, не покрытую кругом с вероятностью Р(В).
Они составляют полную группу. Случайное попадание будет либо в круге, либо в части квадрата S2.
Теперь проведем множество реализаций N случайного числа R(х,у). Количество чисел, попавших на поверхность части круга равно n, а вне круга – равно N - n. Очевидно, что отношение площадей равно отношению вероятностей и равно отношению числа попаданий :
. или .
И так, есть модель . Берем пару случайных чисел R(х,у). Необходимо сформировать условие попадания в круг.
Для того, что бы определить n нам необходимо в этой модели указать условие реализации события А. Естественно, оно будет выглядеть следующим образом. .
Теперь, производя множество реализаций модели и фиксируя результаты, мы можем вычислить число π.Единица соответствует событию А.
Таблица 16
Реализации | ||||||||||||||
Результаты реализаций |
Вычислив среднее значение, мы получим π=2,857.
Для оценки точности модели будем использовать приведенную выше формулу:
.
Для вычисления числа π мы использовали 14 реализаций и получили значение π=2,857.Этот результат был получен с точностью Dπ=0,8.
Таким образом, определенное нами число должно быть записано Dπ =2,857±0,8.Точное значение π=3,14… , как и должно быть, лежит внутри указанного интервала ошибок.
Для получения более точного результата, например с точностью до одной сотой, необходимо провести около ста тысяч реализаций модели = 90 000.