Основные принципы построения статистических показателей и их виды

Содержание Содержание Введение Виды статистических показателей Абсолютные величины Относительные величины
Виды относительных величин: Средние величины Понятие средней величины и значение метода средних величин Условия применения средних величин в анализе Виды средних величин, способы их вычисления Правило мажорантности и свойства средней арифметической Вариация Виды вариации и система показателей вариации Абсолютные показатели вариации Относительные показатели вариации Практическая часть Заключение Литература
Введение Статистический показатель — это количественно выраженное определенное свойство, качество совокупности в целом или ее частей. Полученные в результате сводки численности объектов и суммы представляют собой определенные характеристики совокупности и ее частей, т. е. являются статистическими показателями. Но ими статистические показатели далеко не исчерпываются, так как многие показатели получаются дальнейшей обработкой результатов сводки. Таким образом, переход от индивидуальных значений признаков к статистическому показателю, характеризующему совокупность или ее часть, осуществляется через суммирование, или агрегирование. Это может быть суммирование самих заданных признаков или величин, полученных для каждой единицы совокупности на их основании. Полученные суммированием итоги уже являются показателями или для получения показателя над ними, должны быть проделаны дальнейшие вычисления. Исходя из этого, можно сформулировать общее определение статистического показателя как функции сумм значений функций признаков объектов, входящих в совокупность. Заметим, что это определение охватывает и численность объектов (для чего надо положить суммируемую функцию равной у каждого объекта единице), и простую сумму значений некоторого признака (если суммируемую функцию положить равной значению этого признака). Таким образом, показатель, в конечном счете, является функцией индивидуальных значений признаков. То, что объединение в сводный показатель происходит обязательно через суммирование, прямо вытекает из рассмотренных ранее черт статистической совокупности. При этом, во-первых, суммироваться могут не сами значения, а некоторые их функции, во-вторых, полученные в сводке суммы могут подвергаться дальнейшим вычислениям. В некоторых случаях статистический показатель может быть получен не путем вычислительных операций над индивидуальными значениями, а путем их сравнения. Таким показателем может, например, быть максимальное индивидуальное значение, размах вариации и т. п. Способ получения показателя по существу раскрывается конкретным видом суммируемых признаков и их функций и действиями, производимыми над полученными суммами. В целом это выражает правило получения данного показателя на основании индивидуальных значений признаков, или, иначе говоря, алгоритм получения показателя. Таким образом, наименование показателя придает ему качественную принадлежность, отражая его статистическую структуру и содержание, а также указывает время, место, объект или группу объектов, к которым он относится, единицу измерения и (по мере надобности) другие его особенности. Статистическая совокупность может быть охарактеризована многими показателями, каждый из которых отражает определенное ее свойство. Всё множество показателей, характеризующих определенные свойства совокупностей, существенные с точки зрения цели ее изучения, должно составлять систему взаимосвязанных элементов. Взаимосвязь показателей системы должна отражать объективно существующие, присущие данной совокупности взаимосвязи. По статистической структуре показатели, входящие в систему, можно условно разделить на три группы: абсолютные (объемные) величины, относительные величины и средние величины. Показатель по совокупности, полученный как сумма значений признака отдельных ее единиц, как правило, носит то же наименование, что и сам признак. Например, продукция промышленности есть сумма продукции предприятий. В таких случаях и то, и другое наименование обычно называют «показатель». Но, строго говоря, такой показатель для единицы совокупности еще нельзя назвать статистическим, это — признак единицы. И только обобщенный по совокупности, он становится в точном смысле слова статистическим показателем, отвечающим сформулированному выше определению. Статистический показатель должен быть точно определенным. Это выдвигает ряд требований к его наименованию. В нем должны быть указаны [11]: 1. статистическая структура показателя, то есть метод его измерения или расчёта — сумма, среднее, отклонение и т. д.; 2. содержание — продукция, численность занятых, фонды, активы и т. д.; 3. совокупность объектов, к которой относится значение показателя, классификационная рубрика, группа — промышленные предприятия РФ, банки и банковские учреждения второго уровня и т. д. 4. момент или период учёта, критический момент наблюдения — на 01.01.2004 г., за 2001-2003 г.г., в сентябре 2004 и т. д.; 5. единица измерения показателя — млн. руб., человек, в процентах к 2000 г. и т. д.; 6. специальные уточнения — в сопоставимых оптовых ценах, на основе паритета покупательной способности валют и т. д. По статистической структуре различаются следующие виды статистических показателей: 1. абсолютные величины (измеряются в натуральных, условно- натуральных и стоимостных единицах); 2. средние величины (измеряются в тех же единицах, что и усредняемые величины) 3. относительные величины Цель работы: описать систему статистических показателей Задачи работы: ознакомиться с показателями средней и вариации и применить полученные знания на примере в практической части работы
Виды статистических показателей Абсолютные величины Абсолютные величины представляют собой характеристику всего исследуемого явления по отдельно взятому признаку. Абсолютные величины являются результатом первичного учета, заключающегося в первоначальной регистрации предметов, событий хозяйственной деятельности, отражаемой в соответствующей документации (накладных, актах, квитанциях и т.д.). Поэтому, как правило, в абсолютных величинах измеряются такие явления, которые в статистике характеризуются через первичные признаки. Характерной чертой признаков, выражаемых через абсолютные величины, является существование их независимо от исследователя. Действительно, такой признак, например, как численность крупного рогатого скота при характеристике фермерского хозяйства будет существовать, независимо от того, будет ли осуществляться статистическое исследование этого хозяйства или нет. По степени охвата исследуемой совокупности выделяют несколько видов абсолютных величин [7]: 1) индивидуальные, характеризующие отдельные единицы совокупности (например, масса единицы произведенной продукции, выраженная в граммах);
2) групповые, отражающие размеры признака в отдельных частях совокупности (например, размер посевной площади, занятой только яровыми, выраженной в гектарах); 3) общие, отражающие размеры признака в совокупности в целом (например, численность населения Российской Федерации на начало определенного года).
Такое разделение абсолютных величин определяет метод их получения: индивидуальные абсолютные величины образуются еще на стадии статистического наблюдения, тогда как групповые и общие получаются в результате обработки полученных статистических данных, то есть на стадии группировки и сводки. Абсолютные величины всегда именованы, то есть всегда имеют определенные единицы измерения. Выделяют натуральные, условно-натуральные и стоимостные единицы измерения. Существуют также трудовые единицы измерения. Натуральные единицы измерения используются в случае изучения свойств объекта исследования. Например, объем экспорта нефти оценивается в баррелях и тоннах, строительство дорого – в километрах, и т.д. Натуральные единицы измерения могут быть простыми и сложными. Например, затраты рабочего времени на производство продукции может выражаться в численности рабочих, занятых на производстве (простая натуральная единица измерения), в человеко-днях, в человеко-часах (сложные натуральные единицы измерения). Или, например, отображение размера грузооборота железнодорожного транспорта в тонно-километрах. Сложные натуральные единицы измерения, как видно из приведенных примеров, всегда отражают сразу несколько сторон исследуемого явления, что в некоторой степени расширяет границы проводимого анализа. При необходимости совместного исследования различных типов одного и того же явления, выраженного в натуральных измерителях, применяется условно-натуральный измеритель. Он выражает наиболее характерный для явления размер признака, присущий определенному типу этого явления. Путем соотнесения уровня явления в натуральных единицах измерения с уровнем этого явления, выраженным в условно-натуральных единицах, получают коэффициенты пересчета для соответствующего типа явления. Применение коэффициентов пересчета позволяет проводить анализ разнородных по своему составу явлений, необходимый при изучении социально-экономических процессов. Например, появляется возможность рассчитывать суммарный объем различных по своим существенным свойствам явлений, тогда как суммирование в натуральных единицах измерения было бы некорректным с точки зрения статистического анализа. Примеры условно-натуральных единиц измерения, применяемых в российской статистике: 1) условное топливо, теплосодержание которого принимается равным 29,3076 МДж. Например, 100 т торфа будут эквивалентны 81,9 тоннам условного топлива, а 100 тонн нефти – 153,6 тоннам условного топлива; 2) условные консервные банки, объем которых составляет 353,4 см3; Стоимостные единицы измерения абсолютных величин позволяют изучать различные по своему содержанию явления, несопоставимые в натуральных единицах измерения. Кроме того, стоимостные измерители позволяют оценить исследуемое явления в денежном выражении, что также является важным при проведении экономического анализа. Значимость стоимостных единиц измерения заключается в их применении при расчете макроэкономических показателей, отражающих общий уровень развития страны, например внутреннего валового продукта, национального дохода и др [9]. Действительно, являясь характеристикой социально-экономического развития общества, система макроэкономических показателей отражает и результаты деятельности института государства, измеряет его эффективность. Поэтому, каждый государственный служащий должен знать, какие показатели включаются в систему макроэкономического анализа, по каким методикам они рассчитываются, в каких единицах измерения выражаются, и должен уметь сравнивать эти показатели с уровнем развития других стран. Относительные величины Социально-экономические явления невозможно исследовать только на основе данных первичного учета, представленных в виде абсолютных величин. Необходимо сравнивать стороны явлений, выраженные первичными признаками, сопоставлять абсолютные величины между собой, что позволит получить гораздо более глубокое представление об исследуемом явлении. Соотнесение абсолютных величин можно называть сутью относительных величин. Из сущности относительных величин вытекает метод их расчета: соотнесение сравниваемого показателя с другим показателем, принятым за основу, базу для сравнения. Показатель, с которым сравнивается изучаемый признак, так и называется – базисный. Как правило, в относительных величинах измеряются те явления, которые в статистике выражаются через вторичные признаки. Таким образом, относительные величины также являются вторичными по отношению к абсолютным величинам, которые применяются при измерении первичных признаков. Более того, относительные величины вторичны сравнительно с абсолютными величинами и по методу расчета. При построении относительных величин необходимо правильно их интерпретировать. Так, соотнося размер основных фондов в стоимостном выражении с численностью рабочих, эксплуатирующих основные фонды, мы получим, сколько рублей стоимости основных фондов приходится на одного рабочего. Или при соотношении числа книг, имеющихся в наличии в библиотеке, с числом читателей, записанных в этой библиотеке, мы получим, сколько книг приходится на одного читателя. А если соотнести число книг, которые выдавались на абонемент с общим числом книг, имеющихся в фондах библиотеки, то результат можно интерпретировать как долю выдаваемых книг в общей численности книг. То есть, правило построения относительных величин заключается в возможности их объяснения с точки зрения анализа исследуемого явления. В результате расчета относительных величин получаются: а) коэффициенты, отражающие число раз, в которое изменилось исследуемое явления; б) проценты, которые соответствуют коэффициенту, умноженному на 100; в) промилле, выражающие размер исследуемого явления на тысячу единиц совокупности, например, численность врачей-терапевтов на каждую тысячу населения. Применяется такая форма расчета ввиду слишком больших различий между сравниваемыми величинами. г) При соотнесении показателей, выраженных различными единицами измерения получают величины, которые в общем виде можно отобразить как: Например (соответственно приведенным формулам): руб./тыс. руб.; чел/км2; руб./чел.; кг/руб. Виды относительных величин: При соотнесении между собой абсолютных величин, данных первичного наблюдения, получившиеся показатели называют относительные показатели первого порядка. Если же необходимо сравнить относительные величины, которые уже являются вторичными (расчетными) показателями, то такие показатели называют относительные показатели второго порядка [5]. Относительная величина динамики. Под динамикой в статистике понимается изменения явления во времени. Следовательно, данный вид относительных величин исследует изменения, происходящие в явлении с течением времени. То есть, относительная величина динамики будет представлять собой соотнесение одного и того же показателя по одному и тому же объекту, но в разные периоды времени.
Относительные величины динамики также называют «темпами роста», обозначающимися как «Тр» или индексами. Период, в котором явление принимается за основу для сравнения в статистике принято называть «базисным» и обозначать как «х0». Период, в котором происходит сравниваемое явление, называется «отчетным», «текущим» и обозначается как «х1». Относительная величина динамики рассчитывается по следующей формуле:
Уровень сравниваемого явления может также называться «фактически уровнем», то есть уровнем, фактически достигнутым в отчетном периоде, он имеет обозначение «хф». Тогда, относительная величина динамики примет следующий вид: Относительная величина планового задания. В статистике значения признаков исследуемого явления, которые должны быть достигнуты в предстоящем периоде, называются планируемыми значениями. Относительная величина планового задания (ОВп.з.) рассчитывается как соотнесение планируемого уровня явления (хпл) с уровнем этого же явления, который принимается за основу для сравнения (х0). В качестве базы сравнения принимается фактически достигнутая величина признака исследуемого явления в периоде, который предшествует планируемому, причем не обязательно непосредственное предшествование, за основу для сравнения может приниматься любой предыдущий период. Таким образом, относительная величина планового задания имеет форму: То есть, данная относительная величина определяет, в процентном отношении, во сколько раз планируемый уровень явления отличается от уровня явления, достигнутого в предыдущем периоде. Относительная величина выполнения плана. Понятие «выполнение плана» подразумевает сравнение планового задания и фактически полученного результата. Следовательно, относительная величина выполнения плана (ОВв.п.) представляет собой соотнесение фактически достигнутого уровня явления в исследуемом периоде (хф,х1) с планируемым уровнем этого явления (хпл): То есть, данная относительная величина показывает, во сколько раз фактический уровень исследуемого явления в отчетном периоде отличается от запланированного уровня явления на этот период. Взаимосвязь между относительными величинами динамики, планового задания, выполнения плана. При наличии планируемого уровня в построении относительных величин, отражающих изменения явления во времени, анализу подвергаются три уровня: базисный, планируемый и фактический. Последовательный расчет изменения сначала планируемой величины относительно базисной, затем фактической величины относительно планируемой позволяет судить об изменении явления за исследуемый период в целом, т.е. изменении фактического уровня относительно базисного или характеризует относительную величину динамики. Произведение относительных величин планового задания и выполнения плана равно относительной величине динамики. Действительно:
Данное выражение отображает взаимосвязь относительных величин планового задания, выполнения плана и динамики [1]. Относительные показатели, характеризующие структуру объекта. Под структурой в статистике понимаются сведения о делении исследуемой совокупности на отдельные группы, о величине каждой из групп и об их значении для совокупности в целом. Поэтому относительная величина структуры (d) в статистике представляет собой соотнесение части явления (f) и явления в целом (суммы всех частей, f): То есть относительная величина структуры показывает, какую долю (или сколько процентов) составляет часть совокупности в общем объеме совокупности. Синонимом понятия «относительная величина структуры» являются также понятия «удельный вес», «доля». Необходимо отметить особенность данных, для которых может рассчитываться относительная величина структуры: данные должны быть сгруппированы, то есть пройти первичную обработку после наблюдения. Расчет изменения относительной величины структуры во времени. Для полноценного анализа недостаточно исследовать только структуру явления, необходимо сопоставить распределение явления по группам в изучаемом периоде с распределением, существовавшим в предыдущих периодах. Построение относительных величин структуры явления для нескольких периодов позволяет выявить изменения в структуре явления, происходящие в течение времени. Такие изменения в статистике называют «структурными сдвигами». Расчет структурных изменений явления во времени ( ) определяется соотношением изменения части явления во времени ( ) с изменением во времени явления в целом ( ): Относительная величина координации. Относительная величина координации характеризует соотношение частей целого между собой. То есть, помимо определения удельного веса различных частей сравнительно со всей совокупностью, применяются также относительные величины, отражающие сравнение различных частей друг с другом. Относительная величина координации (ОВК) имеет форму, опирающуюся на ее сущность – сравнение одной части исследуемой совокупности (fх) с другой частью этой же совокупности (fу): Величина показывает сколько единиц сравниваемой части приходится на 1, 10, 100 или 1000 единиц части, принятой за основу для сравнения. Например, сколько женщин приходится на 1000 мужчин. Относительная величина сравнения. Относительная величина сравнения отражает соотнесение показателей, имеющих одинаковые содержание, единицы измерения, период или момент времени, но рассчитанные для разных объектов [3]. То есть данную относительную величину выделяют в отдельный вид, т.к. она позволяет сопоставлять различные объекты по изучаемым признакам. Форма относительной величины сравнения (ОВС) обусловлена ее содержанием: соотнесение определенной характеристики объекта А (ХА) с такой же характеристикой объекта В за тот же период (ХВ):
В качестве примера расчета относительных величин сравнения можно привести следующие показатели: 1) соотношение объемов добычи нефти за 1999 год в США с объемами добычи нефти за 1999 год в РФ, 2) сопоставление среднегодового размера внутреннего валового продукта, приходящегося на душу населения в Германии за период с 1995 по 2000 г.г., со среднегодовым размером внутреннего валового продукта, приходящегося на душу населения в Российской Федерации за этот же период; и т.д.
Относительная величина интенсивности. Под интенсивностью понимается частота появления явления. Относительные величины интенсивности (ОВИ) отражают степень распространенности явления: Приведем пример относительных величин интенсивности:
1) соотнесение числа различного рода потребительских товаров с численностью населения будет характеризовать уровень обеспеченности населения потребительскими товарами; 2) соотношение производственных и энергетических мощностей предприятия с численностью рабочих, использующих эти производственные мощности для создания продукции предприятия; 3) соотношение числа транспортных средств, проходящих в двух направлениях по участку определенной длины (например, 1 км) в течение определенного периода времени с числом часов в исследуемом отрезке времени, охарактеризует интенсивность движения на данном участке за единицу времени; 4) соотнесение удвоенного количества перевезенного груза (ввиду двойной обработки, которой подвергается груз сначала при погрузке, затем при выгрузке), к числу судо-суток стоянки судов в портах под грузовыми операциями покажет интенсивность грузовых работ в портах (или скорость обработки транспортных судов в портах); и т.д. Необходимо подчеркнуть, что относительные величины интенсивности всегда являются результатом соотношения показателей, различных по содержанию, единицам измерения, но одинаковым по временному периоду изучения. В этом и состоит их отличие от других относительных величин, например, относительных величин сравнения. Кроме того, относительные величины интенсивности всегда именованные, то есть выражаются не в процентах, или количестве раз изменения исследуемого явления, принадлежащего различным объектам, а в определенных величинах, зависящих от содержания показателя. Средние величины Понятие средней величины и значение метода средних величин Значения, отображающие размер признака общественного явления, различаются между собой, и это, как указывалось выше, называют вариацией явления [10]. С другой стороны, различные элементы принадлежат одному и тому же явлению, оказывают влияние друг на друга, поэтому значения признаков у таких элементов сближаются, что дает возможность рассматривать их как единую совокупность. Для исследования совокупности, обладающей различными значениями признака у отдельных ее единиц, необходимо иметь единую типическую для совокупности величину признака, позволяющую анализировать совокупность и сравнивать динамические изменения в совокупности. Для этого применяется средняя величина. Средняя величина рассчитывается только по количественным признакам, т.е. определение средней по атрибутивным признакам невозможно. Тогда, средняя величина это: наиболее типичное для совокупности значение признака; объем признака совокупности, распределенный поровну между единицами совокупности. Признак, для которого рассчитывается средняя величина, в статистике называется «усредняемый». Среднюю величину принято обозначать как . Важно отметить, что в процессе осреднения совокупное значение уровней признака или конечное его значение (в случае расчета средних уровней в ряду динамики) должно оставаться неизменным. Другими словами, при расчете средней величины объем исследуемого признака не должен быть искажен, и выражения, составляемые при расчетах средней, обязательно должны иметь смысл. Средняя величина является показателем, рассчитываемым путем сопоставления абсолютных или относительных величин. Для получения требуемой средней величины необходимо корректно определить те показатели, которые следует соотнести, т.е. построить исходное соотношение средней. Исходное соотношение отражает сущность рассчитываемой средней величины. Для каждой средней величины может быть только одно исходное соотношение. Например, средняя урожайность рассчитывается путем соотнесения валового сбора (выраженного в центнерах) с общим размером посевной площади (выраженного в га): Действительно, никакие другие показатели при соотнесении друг с другом не отразят средний уровень урожайности. Тогда, данная дробь будет называться исходным соотношением средней. Средняя величина имеет двойственный характер: с одной стороны она характеризует совокупность в целом, а с другой стороны, она относится к единице совокупности, и также является характеристикой единицы совокупности. Например, средний объем грузов, перемещенный одним транспортным средством некоторого автопарка за период времени. Он рассчитывается путем соотнесения объема всех грузов, перемещенных всеми средствами данного автопарка за период времени, к общему числу транспортных средств, занимавшихся перемещением грузов. Этот показатель характеризует эффективность деятельности автопарка, но относится к одному транспортному средству. Средняя величина может принимать такие значения, которые не присущи непосредственно ни одному из элементов изучаемой совокупности, кроме того, на практике часто средняя величина для дискретного признака выражается как для непрерывного. Например, среднее число родившихся на каждую тысячу населения в регионе: в регионе имеются несколько населенных пунктов, в каждом из которых складывается собственный уровень рождаемости. Чтобы рассчитать среднюю рождаемость по региону необходимо численность всех родившихся младенцев соотнести с численностью населения и умножить на 1000:
Результат расчета средней величины по данному показателю может выражаться в дробных числах, несмотря на то, что показатель «число родившихся» является целым числом. Значения исследуемого признака принимают различные размеры, находящиеся в определенном интервале. То есть существует возможность говорить о распределении размеров признака, подверженном влиянию целого ряда факторов. Тогда средняя величина является показателем центра распределения [8]. Необходимо подчеркнуть важность понимания средней величины как центра распределения, так как на этом основывается дальнейший статистический анализ. Условия применения средних величин в анализе Обязательным условием расчета средних величин для исследуемой совокупности является ее однородность. Действительно, допустим, что отдельные элементы совокупности, вследствие подверженности влиянию некоторого случайного фактора, имеют слишком большие (или слишком малые) величины изучаемого признака, существенно отличающиеся от остальных. Такие элементы повлияют на размер средней для данной совокупности, поэтому средняя не будет выражать наиболее характерную для совокупности величину признака. Если исследуемое явление не является однородным, то его разбивают на группы, содержащие только однородные элементы. Для такого явления рассчитываются сначала средние по группам, которые называются групповые средние, – они будут выражать наиболее типичную величину явления в каждой группе. Затем рассчитывается для всех элементов общая средняя величина, характеризующая явление в целом, – она рассчитывается как средняя из групповых средних, взвешенных по числу элементов совокупности, включенных в каждую группу.
На практике, однако, безусловное выполнение данного условия повлекло бы за собой ограничение возможностей статистического анализа общественных процессов. Поэтому, часто средние величины рассчитываются по неоднородным явлениям. Например, при расчете величины средней заработной платы по Тюменской области, когда совместно анализируется заработная плата труда в автономных округах и в южных районах Тюменской области, а затем полученный средний уровень заработной платы труда сопоставляется с соседними сибирскими регионами.
Еще одним важным условием применения средних величин в анализе является достаточное количество единиц в совокупности, по которой рассчитывается среднее значение признака. Достаточность анализируемых единиц обеспечивается корректным определением границ исследуемой совокупности, т.е. закладывается еще на начальном этапе статистического исследования. Данное условие становится решающим при применении выборочного наблюдения[5], когда необходимо обеспечить репрезентативность выборки. Определение максимального и минимального значения признака в изучаемой совокупности также является условием применения средней величины в анализе. В случае больших отклонений между крайними значениями и средней, необходимо проверить принадлежность экстремумов к исследуемой совокупности. Если сильная изменчивость признака вызвана случайными, кратковременными факторами, то, возможно, крайние значения не характерны для совокупности. Следовательно, их следует исключить из анализа, т.к. они оказывают влияние на размер средней величины [6]. Виды средних величин, способы их вычисления В статистике выделяют несколько видов средних величин: 1. По наличию признака-веса: а) невзвешенная средняя величина; б) взвешенная средняя величина. 2. По форме расчета: а) средняя арифметическая величина; б) средняя гармоническая величина; в) средняя геометрическая величина; г) средняя квадратическая, кубическая и т.д. величины. 3. По охвату совокупности: а) групповая средняя величина; б) общая средняя величина. Рассмотрим подробнее отдельные виды средних величин: Средние величины различаются в зависимости от учета признаков, влияющих на усредняемую величину: Если средняя величина рассчитывается для признака, без учета влияния на него каких-либо других признаков, то такая средняя величина называется средней невзвешенной или простой средней. Если имеются сведения о влиянии на осредняемый признак некоторого признака или нескольких признаков, которые необходимо учесть при расчете для корректного расчета средней величины, то рассчитывается средняя взвешенная. По форме расчета выделяют несколько видов средних величин, которые образованы из единой степенной средней величины. Степенная средняя величина имеет форму: k – показатель степени; i –i-тый элемент совокупности; n – число наблюдений (число единиц совокупности). При разных показателях степени k получаем, соответственно, различные по форме средние величины: Степень средней величины Название Формула k = -1 Гармоническая k = 0 Геометрическая k = 1 Арифметическая k = 2 Квадратическая Выбор формы средней обусловлен исходным соотношением, суть которого приводилась выше. Средняя арифметическая величина. Средняя арифметическая величина – наиболее характерная форма средней, на примере которой можно выявить все свойства средней. Формула расчет средней арифметической величины имеет следующий вид: – значение изучаемого признака для i-того элемента совокупности; n – число наблюдений (число единиц совокупности). Средняя арифметическая невзвешенная величина. Если показатель степени равен 1, то получаем следующую форму средней: xi – индивидуальные значения признака у отдельных единиц совокупности. Такая средняя величина называется средней арифметической простой (невзвешенной). Данная форма средней величины является наиболее распространенной. Она получается путем соотношения суммарного объема индивидуальных значений признака каждого элемента совокупности и числа элементов совокупности. Средняя арифметическая невзвешенная применяется в том случае, если имеются сведения об объеме осредняемого признака. Средняя арифметическая взвешенная величина. Если имеются сведения о количестве или доле единиц совокупности с тем или иным значением осредняемого признака, то рассчитывается средняя арифметическая взвешенная: xi – индивидуальные значения осредняемого признака у отдельных единиц совокупности; fi – значения признака-веса для каждой единицы совокупности. В зависимости от осредняемых данных выделяют несколько случаев применения средней арифметической взвешенной величины [2]: - расчет средней арифметической взвешенной в случае, если осредняемый признак выражен в абсолютных величинах, а признак-вес представлен первичным показателем; - расчет средней арифметической взвешенной в случае, если осредняемый признак представлен в интервальном виде, т.е. когда данные, находящиеся в числителе исходного соотношения, рассчитываются следующим образом: сначала определяются середины интервалов ( ); затем серединное значение для каждого интервала умножается на значение признака-веса для этого интервала (fi); полученные произведения суммируются ( ). Полученный таким образом числитель соотносится с суммой значений признака-веса. - расчет средней арифметической взвешенной, если в качестве осредняемого признака принимается удельный вес (т.е. когда совокупность поделена на подгруппы, в каждой из которых определено количество единиц, обладающих изучаемым признаком, доля таких единиц в общей численности подгруппы, и необходимо рассчитать среднее значение доли во всех подгруппах ( )):

– представленное в абсолютном выражении количество единиц j-ой подгруппы, обладающих изучаемым признаком; i = 1, 2, 3…n – количество всех единиц j-ой подгруппы; k – количество подгрупп в совокупности; То есть, если при расчете других средних арифметических взвешенных соотносились различные показатели, то средний удельный вес сохраняет те же показатели, которые применялись для расчета индивидуального значения удельного веса. Кроме того, при расчете удельного веса оба соотносимых показателя должны выражаться в абсолютных величинах. Если же необходимые данные отсутствуют, то следует привести показатели к сопоставимому виду.
Средняя гармоническая невзвешенная величина. Если показатель степени равен (-1), то образуется следующая форма средней:
xi – индивидуальные значения осредняемого признака у отдельных единиц совокупности. Такая средняя величина называется средней гармонической простой (невзвешенной). Она взаимосвязана со средней арифметической невзвешенной как величина, обратная средней арифметической, рассчитанная из обратных значений признака. Средняя гармоническая невзвешенная величина применяется в том случае, если согласно исходному соотношению средней необходимо, чтобы в знаменателе располагались обратные значения осредняемого признака. Данный вид средней применяется также, если значения признаков-весов одинаковы, следовательно, образуется тождество между средней гармонической взвешенной и средней гармонической невзвешенной. Средняя гармоническая взвешенная величина. Средняя гармоническая взвешенная величина имеет следующий вид: хi – осредняемый признак; w – значения сводного, объемного показателя, выступающего как признак-вес. Средняя гармоническая взвешенная величина рассчитывается в том случае, если имеющиеся данные предоставляют сведения об объеме определяющего показателя, рассчитываемого как произведение осредняемого признака и признака-веса. И если имеются также сведения об индивидуальных значениях осредняемого признака, а данные об отдельных значениях признака веса отсутствуют. Такая форма средней применяется, когда необходимо рассчитать: - общую среднюю из групповых средних величин; - среднюю относительную величину, если не известна величина, находящаяся в знаменателе осредняемого признака. Средняя геометрическая невзвешенная величина Если показатель степени равен 0, то получаем следующую форму средней: xi – индивидуальные значения признака у отдельных единиц совокупности; Пxi – произведение индивидуальных значений осредняемого признака; n – число элементов совокупности. Такая средняя величина называется средней геометрической простой (невзвешенной). Данная форма средней отличается от остальных форм, описанных выше, в той же мере, как арифметическая прогрессия от геометрической. То есть, в случае расчета средних арифметической и гармонической элементы совокупности представляли собой либо: а) абсолютные величины, которые могли быть просуммированы между собой; б) относительные величины, которые путем дополнительных расчетов переводились в абсолютные, и затем суммировались. В данной форме средней элементами исследуемой совокупности являются: Правило мажорантности и свойства средней арифметической Все формы средней, как указывалось выше, образованы от единой степенной средней и отличаются друг от друга лишь показателями степени. Правильность расчета средней величины можно проверить с помощью правила мажорантности:
То есть, правило мажорантности утверждает, что чем выше степень рассчитываемой формы средней величины, тем больше значение средней. Вариация Вариация – это принятие единицами совокупности или их группами различных, отличающихся друг от друга, значений признака. Вариация является результатом воздействия на единицы совокупности множества факторов. Синонимами термина «вариация» являются понятия «изменение», «изменчивость», «вариативность», и в дальнейшем они будут употребляться как тождественные. Вариация является одной из важнейших категорий, применяемых в статистической науке. Явления, подверженные вариации лежат в области исследования статистической науки, в то время как явления неизменные, статичные, постоянные в статистике не рассматриваются. Практически все явления, имеющие естественный характер происхождения, подвержены изменчивости. Например, химические процессы, синоптические явления, процессы выбора человеком спутника жизни (хотя в некоторых сообществах и этот процесс регламентируется), изменчивость наследственных признаков у каждого человека, – т.е. самые разнообразные процессы. Искусственно созданные человеком явления, а также ряд естественных законов могут иметь неизменный характер. Например, не имеют вариативности общественные явления, регулируемые нормативными актами, закрепляющими параметры этих явлений (например, минимальный размер заработной платы, срок полномочий выборного должностного лица), или такие явления, как скорость света и притяжение Земли. Вариацией называется изменчивость только тех явлений, на которые воздействуют внешние факторы и причины. Тогда как о явлениях, изменяющихся в силу своей внутренней природы нельзя говорить, что они подвержены вариации. Например, рост человека, меняющийся в течении жизни. Изучение изменчивости роста отдельного человека, который, допустим, к 1 году составляет 0,8 м, а к 25 годам 1,79 м, путем расчета среднего роста, будет некорректным, т.к. в начале жизни рост был небольшой в силу естественных причин. Не следует путать с вариацией изменение размера признака у одной и той же единицы совокупности, наблюдаемой в разные периоды или моменты времени. Такое изменение называется изменением во времени или динамикой явления и исследуется с помощью специальных методов. Необходимо подчеркнуть значение исследования вариации в статистической науке: 1. Выявление изменчивости размеров явления дает возможность оценить степень зависимости изучаемого явления от других факторов, в свою очередь подверженных изменчивости, или, другими словами, – оценить степень устойчивости явления к внешним воздействиям. 2. Вариация предполагает оценку однородности изучаемого явления, то есть меру типичности рассчитанной для этого явления средней величины. 3. Возможность оценивать вариативность определенного признака актуализирует статистические методы в условиях современной экономики, когда задачи, стоящие перед статистикой, усложняются целым рядом объективных факторов. 4. Вариация и методы ее исследования имеют важнейшее значение в изучении явлений, протекающих в обществе. Действительно, одной из главных проблем исследования общественных явлений и процессов выделяют высокий уровень их изменчивости, так как участниками общественных процессов выступают люди, обладающие различными системами ценностей и интересов.
Виды вариации и система показателей вариации 1. Если изучаемый признак может принять только одно из двух значений, противоположных по своей сути, то вариация называется альтернативной. Например, если изучается совокупность населения мужского пола, то по признаку прохождения службы в рядах российской армии всех мужчин можно разделить на две группы: проходившие службу, и не проходившие ее. Или в случае рассмотрения домохозяйств города по признаку наличия жилья в частной собственности все домохозяйства можно разделить на группу, обладающих жильем в частной собственности, и на группу домохозяйств, не обладающих таковым.
2. Систематическая вариация – изменение признака в определенном направлении. Вариация является систематической, только если изменение явления в определенном направлении не обусловлено внутренними законами развития изучаемого явления. 3. Случайной называется вариация, не имеющая явно выраженного направления, т.е. изменчивость признака при случайной вариации не предсказуема. Изменчивость явления в статистическом анализе отображается с помощью целого ряда характеристик, называемых системой показателей вариации. В систему показателей вариации входят: Абсолютные показатели вариации: 1) размах вариации;2) средние величины (групповые и общие): а) степенные средние величины;б) структурные средние величины; 3) среднее линейное отклонение; 4) дисперсии (групповая, межгрупповая и общая) и среднее квадратическое отклонение; Относительные показатели вариации: 1) коэффициент осцилляции;2) коэффициенты вариации (в том числе линейный);3) коэффициенты детерминации (эмпирические и теоретические). Абсолютные показатели вариации Абсолютные показатели вариации непосредственно характеризуют изменчивость исследуемой совокупности, тогда как относительные показатели вариации являются результатом сопоставления абсолютных. В состав абсолютных показателей вариации включаются: Размах вариации (R), отражает пределы изменчивости признака или, другими словами, амплитуду вариации. Размах вариации рассчитывается как разность между максимальной величиной признака (xmax) и минимальной величиной признака (xmin), т.е. по формуле: Размах вариации всегда выражается в единицах измерения того признака, степень колеблемости которого он отражает. Среднее линейное отклонение ( ) – величина, отражающая среднее отклонение от среднего значения в совокупности. Другими словами, среднее линейное отклонение показывает диапазон, в котором лежит основная масса значений признака вокруг средней величины. Поскольку сумма отклонений от средней величины равна нулю, поэтому для расчета среднего линейного отклонения применяется модуль. Если при изучении признака не учитываются другие факторы, то среднее линейное отклонение рассчитывается как: хi – индивидуальные значения исследуемого признака; – среднее значение исследуемого признака; n – число единиц в совокупности. Если в исследовании принимается во внимание признак-вес, то среднее линейное отклонение рассчитывается как: хi – индивидуальные значения исследуемого признака; – среднее значение исследуемого признака; f – индивидуальные значения признака-фактора; f– суммарная величина признака-фактора. Среднее линейное отклонение имеет такие же единицы измерения, как индивидуальные значения признака. Чем больше значение среднего линейного отклонения по сравнению с величиной среднего значения совокупности, тем больше диапазон, в котором сосредоточена основная масса отдельных значений исследуемого признака. То есть, отдельные единицы совокупности имеют большой разброс вокруг среднего значения, и совокупность неоднородна. Применение модуля при расчете среднего линейного отклонения накладывает ряд ограничений на дальнейшие математические действия с данной величиной. Поэтому на практике, как правило, применяется среднее квадратическое отклонение, рассчитываемое как корень квадратный из дисперсии. Формулы этих показателей имеют следующий вид: а) если исследуется только один признак:
б) для исследования с учетом влияния признака, влияющего на изучаемый (признака-веса):
То есть, в данных показателях функцию модуля выполняет возведение в квадрат отклонений индивидуальных значений признака от средней. В литературе, издаваемой за рубежом, среднее квадратическое отклонение (СКО) называется Standard Deviation (SD). Данный показатель рассчитывается в тех же единицах, что и изучаемый признак. Суть СКО схожа со средним линейным отклонением, то есть она состоит в определении среднего размера разброса значений признака вокруг средней. Практическое применение СКО и среднего линейного отклонения выявило определенную взаимосвязь между данными показателями: при распределении близком к нормальному первый всегда больше последнего. Объяснятся это теми же причинами, что и изменение размерности степенной средней с изменением показателя степени. То есть, согласно правилу мажорантности, чем больше степень средней величины, тем больше ее значение. Для отклонений от средней действует этот же принцип: среднее квадратическое отклонение имеет вторую степень, а линейное среднее отклонение – первую. Соотношение между СКО и средним линейным отклонением при нормальном или симметричном распределении можно выразить следующим образом:
Расчет дисперсии имеет особое значение для анализа совокупности, поскольку все отклонения от среднего значения усиливаются возведением в квадрат. Поэтому чем менее однородна совокупность, тем большее значение будет иметь дисперсия. Существует второй способ расчета дисперсии с помощью моментов. Опустим математический вывод тождества двух вариантов расчета, отметим только, что в результате дисперсия рассчитывается как разность квадратов: начальный момент второго порядка минус квадрат начального момента первого порядка. Читается данная формула следующим образом: средний квадрат минус квадрат средней. То есть, второй вариант рассчитывается как: а) если исследуется только один признак б) для исследования с учетом влияния признака-веса:
Практика показывает, что для расчета дисперсии указанным способом необходимо выполнить меньше действий, нежели при первом варианте. Отрицательной стороной метода является менее явное отражение сути дисперсии, как отклонения от средней величины. Необходимо отметить также особенность расчета дисперсии для интервальных рядов данных, т.е. когда первичные значения признака заменяются условными серединами интервалов. Эту особенность следует учитывать, если исследователь располагает одновременно, во-первых, индивидуальными значениями признака для всех единиц совокупности (т.е. не сгруппированными исходными данными) и, во-вторых, данными о распределении единиц по группам интервального ряда данных. Если исследуемый ряд распределения достаточно симметричен или его распределение близко к нормальному, то при расчете средних величин как по первичным, так и по сгруппированным данным значения средних почти не будут отличаться друг от друга. То есть, средние будут рассчитываться, соответственно, по следующим формулам: Относительные показатели вариации Для более полного анализа изменчивости в совокупности необходимо рассчитать относительные показатели вариации, суть которых состоит в соотнесении некоторых абсолютных показателей вариации со значением средней величины, как характеристики центра распределения. Выделяют несколько относительных показателей вариации [4]: 1. Коэффициент осцилляции (VR): Данный коэффициент обычно имеет значение больше единицы (или больше 100%), т.к. размах вариации, как правило, больше средней величины. 2. Линейный коэффициент вариации (Vd): Коэффициент показывает, какую долю в размере средней величины (или в объеме медианы) составляет размер среднего линейного отклонения. 3. Коэффициент вариации (Vs): Данный коэффициент может характеризовать совокупность с двух сторон. Во-первых, он определяет удельный вес среднего квадратического отклонения в размере средней величины. Во-вторых, он является мерой однородности совокупности. Если значение коэффициента вариации не превышает 33%, то изучаемая совокупность считается однородной. 4. Дальнейший анализ предполагает расчет эмпирического коэффициента детерминации (h^2): Данный коэффициент отражает долю вариации результативного признака, обусловленную изменением признака-фактора. 5. Корень из коэффициента детерминации имеет отдельную смысловую нагрузку и называется эмпирическим корреляционным отношением (h): С помощью данного показателя определяют тесноту связи между изменением признака-фактора и последующим за ним изменением признака-результата. Эмпирическое корреляционное отношение может принимать значением между 0 и 1, причем, чем ближе значение к 1, тем теснее связь.
Практическая часть Проведем расчет показателей по выборке: Имеются следующие выборочные данные по предприятиям одной из отраслей промышленности
№
предприятия
Выпуск продукции,
млн. руб.
1
99
2
27
3
53
4
57
5
115
6
62
7
86
8
19
9
120
10
83
11
55
12
147
13
101
14
54
15
44
16
94
17
178
18
95
19
88
20
135
21
90
22
71 Построим статистический ряд распределения предприятий по объему выпускаемой продукции, образовав пять групп с равными интервалами. по формуле Стреджеса выберем разбиение на
5 интервалов ширина интервала =
31,8 единиц

интервальный ряд
начало
середина
конец 1
19
34,9
50,8
2
50,8
66,7
82,6
3
82,6
98,5
114,4
4
114,4
130,3
146,2
5
146,2
162,1
178
данные
номер
сортируем X
число наблюдений на интервале
99
1
19
3
27
2
27
53
3
44
57
4
53
6
115
5
54
62
6
55
86
7
57
19
8
62
120
9
71
83
10
83
8
55
11
86
147
12
88
101
13
90
54
14
94
44
15
95
94
16
99
178
17
101
95
18
115
3
88
19
120
135
20
135
90
21
147
2
71
22
178
сумма
1873
среднее
85,13636364
интервальный ряд
начало
середина
конец
частота
эмпирическая частость
эмпирическая частость / ширина интервала
накопленная эмпирическая частость
1
19
34,9
50,8
3
0,136
0,004
0,136
2
50,8
66,7
82,6
6
0,273
0,009
0,409
3
82,6
98,5
114,4
8
0,364
0,011
0,773
4
114,4
130,3
146,2
3
0,136
0,004
0,909
5
146,2
162,1
178
2
0,091
0,003
1,000
сумма



22
1,000

Построим график ряда распределения (гистограмму).

Рассчитаем характеристики ряда распределения предприятий по выпуску продукции (среднюю арифметическую, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации).
данные
номер
сортируем X
|X-Xсреднее|
(X-Xреднее)^2
(X-Xреднее)^3
(X-Xреднее)^4
99
1
19
66,13636364
4374,018595
-289281,6844
19132038,67
27
2
27
58,13636364
3379,836777
-196491,4199
11423296,64
53
3
44
41,13636364
1692,200413
-69610,97154
2863542,239
57
4
53
32,13636364
1032,745868
-33188,69675
1066564,027
115
5
54
31,13636364
969,4731405
-30185,86824
939878,1701
62
6
55
30,13636364
908,2004132
-27369,85791
824827,9906
86
7
57
28,13636364
791,6549587
-22274,29179
626717,5736
19
8
62
23,13636364
535,2913223
-12384,69468
286536,7997
120
9
71
14,13636364
199,8367769
-2824,965346
39934,73739
83
10
83
2,136363636
4,564049587
-9,750469572
20,83054863
55
11
86
0,863636364
0,745867769
0,644158527
0,556318728
147
12
88
2,863636364
8,200413223
23,4830015
67,24677703
101
13
90
4,863636364
23,65495868
115,0491172
559,55707
54
14
94
8,863636364
78,56404959
696,3631668
6172,309887
44
15
95
9,863636364
97,29132231
959,6462246
9465,601398
94
16
99
13,86363636
192,2004132
2664,596638
36940,99884
178
17
101
15,86363636
251,6549587
3992,162754
63330,21823
95
18
115
29,86363636
891,8367769
26633,4892
795372,8366
88
19
120
34,86363636
1215,47314
42375,81358
1477374,955
135
20
135
49,86363636
2486,382231
123980,0594
6182096,601
90
21
147
61,86363636
3827,109504
236758,9107
14646767,16
71
22
178
92,86363636
8623,654959
800823,9582
74367424,85
сумма
1873
652,7272727
31584,59091
555401,9752
134788930,6
среднее
85,13636364
29,66942149
1435,663223
25245,54433
6126769,571
сводка параметров распределения минимум
19
максимум
178 размах
159 среднее
85,14 дисперсия
1435,66 среднее линейное отклонение
29,67 среднеквадратичное отклонение
37,89 медиана
87 наблюдений
22 коэффициент вариации =СКО/среднее
0,445052445 3-й момент
25245,54433 4-й момент
6126769,571 ассиметрия = 3-й момент/СКО^3
0,464093917 эксцесс=4-й момент/СКО^4-3
-0,027468976
Заключение Полученные в ходе наблюдения данные об отдельных единицах совокупности подвергаются первичной обработке – сводке и группировке, после чего собранная информация представляется в форме статистических показателей. Такие показатели характеризуют размеры уже не каждой единицы, а явления в целом, то есть носят обобщающий характер. В зависимости от исследуемого признака обобщающие показатели выражаются через абсолютные, относительные и средние величины Будучи построенными в соответствии с требованиями конкретизации признака для статистического применения, показатели социально-экономической статистики формируют модель реально функционирующей экономики – как в целом, так и отдельных её частей в соответствующих отраслевых и предметных областях.
Литература 1. Елисеева И.И. Общая теория статистики: Учебник для ВУЗов. – М.: Финансы и статистика, 1999. 2. Ефимова М.Р. Общая теория статистики: Учебник.- М.: Финансы и статистика, 1999. 3. Ефимова М.Р. Практикум по общей теории статистики: Учебн. пособие.- М.: Финансы и статистика, 1999. 4. Козлов В.С., Эрлих Я.М., Долгушевский Ф.Г. Общая теория статистики: Учебник.- М.: Статистика, 1975. 5. Общая теория статистики: Статистическая методология в изучении коммерческой деятельности. Учебник для ВУЗов.- М.: Финансы и статистика, 1999. 6. Общая теория статистики: Учебник/ Под ред. А.А. Спирина, О.Э. Башиной.- М.: Финансы и статистика, 1996. 7. Общая теория статистики: Учебник/ Под ред. А.М. Гольдберга, В.С. Козлова.- М.: Финансы и статистика, 1985. 8. Ряузов Н.Н. Общий курс статистики.- М.: Статистика, 1979. 9. Ряузов Н.Н. Практикум по общей теории статистики.- М.: Финансы и статистика, 1981. 10. Теория статистики: Учебник для ВУЗов/ Под ред.Шмойловой Р.А.- М.: Финансы и статистика, 1996. 11. Теория статистики: Учебник/ Под ред. проф. Р.А. Шмойловой.- М.: Финансы и статистика, 1996.