Производственная функция и техническая результативность производства

Производство не может создавать продукцию из ничего. Процесс производства связан с потреблением различных ресурсов. В число ресурсов входит все то, что необходимо для производственной деятельности, - и сырье, и энергия, и труд, и оборудование, и пространство.
Для того чтобы описать поведение фирмы, необходимо знать, какое количество продукта она может произвести, используя ресурсы в тех или иных объемах. Мы будет исходить из допущения, что фирма производит однородный продукт, количество которого измеряется в натуральных единицах - тоннах, штуках, метрах и т. д. Зависимость количества продукта, которое может произвести фирма, от объемов расходов ресурсов получила название производственной функции.
Но предприятие может по-разному осуществить производственный процесс, используя разные технологические способы, разные варианты организации производства, так что и количество продукта, получаемое при одних и тех же расходах ресурсов, может быть разным. Руководители фирмы должны отклонить варианты производства, дающие меньший выход продукта, если при тех же самых расходах каждого вида ресурса можно получить больший выход. Точно так же они должны отклонить варианты, требующие больших расходов хотя бы одного ресурса без увеличения выхода продукта и сокращения расходов других ресурсов. Варианты, отклоняемые по этим соображениям, носят название технически неэффективных.
Допустим, ваша фирма производит холодильники. Для изготовления корпуса нужно раскроить листовое железо. В зависимости от того, как будет размечен и раскроен стандартный лист железа, из него можно вырезать больше или меньше деталей; соответственно, для изготовления определенного количества холодильников потребуется меньше или больше стандартных листов железа. При этом расход всех остальных материалов, труда, оборудования, электроэнергии останется без изменения. Такой вариант производства, который может быть улучшен путем более рационального раскроя железа, должен быть признан технически неэффективным и отклонен.
Технически эффективными называют варианты производства, которые нельзя улучшить ни увеличением производства продукта без увеличения расхода ресурсов, ни сокращением расходов какого-либо ресурса без снижения выпуска и без увеличения расходов других ресурсов. Производственная функция учитывает только технически эффективные варианты. Ее значение - это наибольшее количество продукта, которое может произвести предприятие при данных объемах потребления ресурсов.
С размером производства связана такая характеристика производственной функции как однородность.
Производственная функция называется однородной, если при увеличении всех производственных ресурсов в k раз выпуск увеличивается в kt раз, так что:
f(kx01, kx02) = kt f(x01, x02) (2.1)

Показатель t характеризует степень однородности производственной функции – в некоторых источниках он именуется коэффициентом эластичности выпуска от масштаба и обозначается как eQ,k , то есть t º eQ,k. Если же равенство (6.1) для данной производственной функции не выполняется, то такая производственная функция называется неоднородной.
Коэффициент эластичности выпуска от масштаба показывает, на сколько процентов изменится выпуск, если темп роста объёмов использования обоих факторов увеличивается на один процент, или:
(2.2)

Со степенью однородности производственной функции связаны две замечательные теоремы: теорема Эйлера и теорема Викселя-Джонсона.
Теорема Эйлера. Для производственной функции, у которой степень однородности равна t, выполняется соотношение:

(2.3)
Теорема Викселя-Джонсона. Эластичность выпуска от масштаба равна сумме эластичностей выпуска от используемых факторов:
eQ,k = eQ,x1 + eQ,x2 (2.4)
Важнейшие свойства производственной функции:
1) при увеличении расхода одного фактора, при неизменности прочих, происходит увеличение объёма производства продукции, но до определённого уровня;
2) существует определённая взаимозаменяемость и дополняемость факторов производства;
3) изменения использования факторов производства менее эластичны в краткосрочном, нежели в долгосрочном периоде.
Мгновенный период (IR)- период производства, на протяжении которого все факторы производства постоянны.
Краткосрочный период (SR) – период производства, на протяжении которого некоторые факторы производства (хотя бы один из факторов) постоянны.
Долгосрочный период (LR)– период времени, в течении которого производители могут изменить все факторы производства.
С производственной функцией связан ряд важных характеристик (параметров) производства.
В первую очередь к ним относятся показатели производительности (продуктивности) ресурсов, характеризующие объем производимого продукта (ТР), объём производимого продукта приходящийся на единицу затрачиваемого ресурса каждого вида.
Совокупным (общим) продуктом называется объём продукции, производимый при определённом количестве соответствующих факторов при прочих равных условиях. В микроэкономике есть другое тождественное обозначение этому понятию:
TP º Q (2.5)
Средним продуктом i-того ресурса называется отношение объема продукции q к объему использования этого ресурса хi:
APi = q/xi (2.6)

Если, например, предприятие выпускает 5 тыс. изделий в месяц, а месячные расходы труда составляют 25 тыс. часов, то средний продукт труда равен 5000/25 000 = 0.2 изд./ч.
Эта величина ничего не говорит о том, как изменится выход продукта при изменении объема расходов данного ресурса. Если расходы i-гo ресурса увеличились на величину, и вследствие этого выпуск продукта увеличится на величину (при неизменных расходах прочих ресурсов), то прирост выпуска на единицу прироста расходов данного ресурса определяется отношением Δq/Δxi. Предел этого отношения при Δхi, стремящемся к нулю, получил название предельного продукта данного ресурса:

. (2.7)

Если в условиях предыдущего примера число работников несколько увеличится, так что расходы труда в месяц составят 26 тыс. часов, парк оборудования, расходы сырья, энергии и тому подобное останутся прежними и при этом месячный выпуск продукции составит 5100 изделий, то предельный продукт равен приблизительно (5100-5000)/(26 000-25 000) = 0.1 изд./ч (приблизительно, так как приращения не являются бесконечно малыми).
Предельный продукт равен частной производной производственной функции по объему расходов соответствующего ресурса:

(2.8)
И средний, и предельный продукт не являются постоянными величинами, они изменяются с изменением расходов всех ресурсов.
Ещё одной харакетистикой технической результативности производства служит коэффициент эластичности выпуска по переменному фактору, показывающий, на сколько процентов изменится выпуска при изменении объёма переменного фактора на один процент:
(2.9)

Рассмотрим вначале простейший случай: предприятие производит единственный вид продукции и расходует единственный вид ресурса. Пример такого производства довольно трудно найти в действительности. Даже если рассмотреть предприятие, оказывающее услуги на дому у клиентов без применения какого-либо оборудования и материалов (массаж, репетиторство) и затрачивающее только труд работников, нам пришлось бы допустить, что работники обходят клиентов пешком (не используя услуг транспорта) и договариваются с клиентами без помощи почты и телефона.
Итак, предприятие, затрачивая ресурс в количестве х, может произвести продукт в количестве q.
Производственная функция
q = f(x) (2.10)

устанавливает связь между этими величинами.
Заметим, что здесь, как и в других лекциях, все объемные величины - это величины типа потока: объем затрат ресурса измеряется количеством единиц ресурса в единицу времени, а объем выпуска - количеством единиц продукта в единицу времени.
На рис. 2.1. приведен график производственной функции для рассматриваемого случая. Все точки, лежащие на графике, соответствуют технически эффективным вариантам, в частности точки А и В. Точка С соответствует неэффективному, а точка D - недостижимому варианту.
Производственная функция вида (7.1), устанавливающая зависимость объема производства от объема затрат единственного ресурса, может использоваться не только в иллюстративных целях. Она полезна и тогда, когда может изменяться расход лишь одного ресурса, а затраты всех остальных ресурсов по тем или иным причинам должны рассматриваться как фиксированные. В этих случаях интерес представляет зависимость объема производства от затрат единственного переменного фактора.
Начнем наш анализ спроса фирмы на ресурс с простейшего случая, когда только один ресурс является переменным, а все остальные ресурсы - постоянными (т. е. объем их применения в производстве не может быть изменен - вспомним определение краткосрочного периода в модели оптимизации выпуска).
Рассмотрим теперь, как изменяется объем выпуска q с изменением объема применения x.
Как мы помним, общим физическим продуктом (ТРx ) ресурса Х называется максимальное количество единиц продукта, которое может быть произведено при использовании некоторого количества x единиц переменного ресурса X:
ТРx = F(x) (7.2)

Принято считать, что зависимость ТРx от X имеет вид, изображенный на рис. 2.2, а.
Заметим, что наклон кривой ТР сначала увеличивается (до точки K), затем уменьшается (от K до С) и, наконец, правее точки C становится отрицательным. Очевидно, удобнее анализировать этот процесс (как мы не раз уже делали) с помощью предельных величин.
Предельным физическим продуктом (MРx ) называется приращение общего физического продукта ТРx , вызванное увеличением применения ресурса X на одну единицу:

(2.11)

или (при условии непрерывности и дифференцируемости функции общего продукта ТРx ):

(2.12)

График MРx представлен на рис. 2.2, б.
При увеличении применения ресурса х MРx сначала увеличивается (до точки М), затем уменьшается и, правее точки х2, становится отрицательным.
Принятие в экономике предположения о таком характере кривых продукта ТРxи MРx базируется на так называемом законе убывающей производительности (убывающего предельного продукта). Этот "закон" не имеет, однако, никакого теоретического обоснования, он представляет собой аксиому экономической теории, основанную на некоторых эмпирических данных и соображениях здравого смысла.
Общая закономерность, которой подчинены различные производства, получила название закона убывающего предельного продукта: с ростом объема расходов любого ресурса при постоянном уровне расходов остальных ресурсов предельный продукт данного ресурса снижается.
С чем связано снижение предельного продукта? Представим себе предприятие, хорошо оснащенное различным оборудованием, имеющее достаточную площадь для осуществления производственного процесса, обеспеченное сырьем и различными материалами, но располагающее малым числом рабочих.
На фоне остальных ресурсов рабочая сила является своего рода узким местом, и, надо полагать, дополнительный работник будет использован весьма рационально. Соответственно прирост продукции может быть значительным.
Если же при сохранении прежних уровней всех прочих ресурсов число рабочих будет большим, труд дополнительного работника не будет уже столь хорошо обеспечен инструментом, механизмами, ему, возможно, будет мало места для работы и т. д. В этих условиях привлечение дополнительного работника не вызовет большого прироста выпуска продукции.
Чем больше работников, тем меньше прирост выпуска продукции, обусловленный привлечением дополнительного работника.
Подобным же образом изменяется предельный продукт любого ресурса.
Убывание предельного продукта иллюстрирует рис. 2.3, на котором представлен график производственной функции в предположении, что только один фактор является переменным. Зависимость объема продукта от расходов ресурса выражается вогнутой (выпуклой вверх) функцией.
Некоторые авторы формулируют закон убывающего предельного продукта иначе: если объем потребления ресурса превышает некоторый уровень (этот уровень называется уровнем технологически оптимального соотношения между факторами (в случае, когда факторами выступают труд и капитал – уровнем оптимальной капиталовооружённости труда - на рис. 2.2 это точка х1)), то при дальнейшем увеличении потребления этого ресурса его предельный продукт снижается.
При этом допускается возрастание предельного продукта при малых объемах потребления ресурса. Кроме того, технические характеристики многих видов ресурсов таковы, что при чрезмерных объемах их использования выход продукта не увеличивается, а уменьшается, т. е. предельный продукт оказывается отрицательным. С учетом этих эффектов график производственной функции приобретает вид кривой на рис. 3.4, на которой выделяются три участка:
1) предельный продукт возрастает, функция выпукла;
2) предельный продукт убывает, функция вогнута;
3) предельный продукт отрицателен, функция убывает.
Точки, попадающие на участок 3, соответствуют технически неэффективным вариантам производства и поэтому не представляют интереса. Соответствующая область значений расходов ресурса получила название неэкономической.
К экономической областиотносят ту область изменения расходов ресурсов, где с ростом расходов ресурса выпуск продукта растет. На рис. 3.4 это участки 1 и 2. Мы будем рассматривать закон убывающего предельного продукта в первой форме, т. е. будем считать предельный продукт убывающим при любых объемах расходов ресурса (в пределах экономической области).
Средним продуктом i-того ресурса называется отношение объема продукции q к объему использования этого ресурса хi:
APi = q/xi (2.13)

Динамика среднего продукта переменного фактора рассчитывают через измерение наклона луча, проведённого от начала координат до соответствующей точки кривой совокупного продукта.
Средний продукт достигает максимума при условии использования такого количества переменного фактора, которое соответствует точки касания луча и кривой совокупного продукта. На рис. 3.2, а) это точка N.
Средний продукт будет увеличиваться до тех пор, пока предельный продукт будет превышать его. При вовлечении в производство новой порции ресурса, производительность которой превышает среднюю, произойдёт увеличение и среднего продукта. И наоборот, если выявится, что предельная производительность переменного фактора меньшая, нежели средняя производительность, то соответствующее вовлечение уменьшит средний продукт.
Максимальное значение средний продукт имеет в точке пересечения среднего и предельного продуктов, то есть при АР = МР.
Значительно большее разнообразие появляется при рассмотрении производственной функции, зависящей от объемов двух потребляемых ресурсов:
q = f(x1, x2) (2.14)

Анализ таких функций позволяет легко перейти к общему случаю, когда количество ресурсов может быть любым. Кроме того, производственные функции двух аргументов широко используются в практике, когда исследователя интересует зависимость объема выпуска продукта от важнейших факторов - затрат труда (L) и капитала (K):
q = f(L, K) (2.15)

График функции двух переменных невозможно изобразить на плоскости. Производственную функцию вида (2.15) можно представить в трехмерном декартовом пространстве, две координаты которого (x1 и x2) откладываются на горизонтальных осях и соответствуют затратам ресурсов, а третья (q) откладывается на вертикальной оси и соответствует выпуску продукта.
Графиком производственной функции служит поверхность "холма", повышающаяся с ростом каждой из координат x1 и x2. Построение на рис. 7.1 при этом можно рассматривать как вертикальный разрез "холма" плоскостью, параллельной оси x1 и соответствующей фиксированному значению второй координаты x2 = x*2.
Горизонтальный разрез "холма" объединяет варианты производства, характеризующиеся фиксированным выпуском продукта q = q* при различных сочетаниях затрат первого и второго ресурсов. Если горизонтальное сечение поверхности "холма" изобразить отдельно на плоскости с координатами x1 и x2, получится кривая, объединяющая такие комбинации затрат ресурсов, которые позволяют получить данный фиксированный объем выпуска продукта.
Такая кривая получила название изокванты производственной функции (от греч. isoz - одинаковый и лат. quantum - сколько) (рис. 2.6).
Допустим, что производственная функция описывает выпуск продукции в зависимости от затрат труда и капитала. Одно и то же количество продукции можно получить при различных сочетаниях затрат этих ресурсов.
Одно и то же количество продукта может быть получено при различных комбинациях ресурсов, и изокванта производственной функции соединяет точки, соответствующие таким комбинациям. При переходе от одной точки изокванты к другой точке той же самой изокванты происходит уменьшение расходов одного ресурса с одновременным увеличением расходов другого, так что при этом выпуск продукции остается без изменения, т. е. имеет место замещение одного ресурса другим.
Можно использовать небольшое количество машин (т. е. обойтись небольшими затратами капитала), но при этом придется затратить большое количество труда; можно, напротив, механизировать те или иные операции, увеличить количество машин и за счет этого снизить затраты труда. Если при всех таких сочетаниях возможный наибольший объем выпуска остается постоянным, то эти сочетания изображаются точками, лежащими на одной и той же изокванте.
Зафиксировав объем выпуска продукта на другом уровне, мы получим другую изокванту той же самой производственной функции. Выполнив серию горизонтальных разрезов на различных высотах, получим так называемую карту изоквант (рис. 2.7) - наиболее распространенное графическое представление производственной функции от двух аргументов.Она похожа на географическую карту, на которой рельеф местности изображен горизонталями (иначе - изогипсами) - линиями, соединяющими точки, лежащие на одинаковой высоте.
Нетрудно заметить, что производственная функция во многом похожа на функцию полезности в теории потребления, изокванта - на изобайду, карта изоквант - на карту изобайд.
Позже мы убедимся в том, что свойства и характеристики производственной функции имеют много аналогий в теории потребления. И дело тут не в простом сходстве. По отношению к ресурсам фирма ведет себя как потребитель, и производственная функция характеризует именно эту сторону производства - производство как потребление.
Тот или иной набор ресурсов полезен для производства постольку, поскольку он позволяет получить соответствующий объем выпуска продукта. Можно сказать, что значения производственной функции выражают полезность для производства соответствующего набора ресурсов. В отличие от потребительской полезности эта "полезность" имеет вполне определенную количественную меру - она определяется объемом производимой продукции.
То обстоятельство, что значения производственной функции относятся к технически эффективным вариантам и характеризуют наибольший выпуск продукции при потреблении данного набора ресурсов, также имеет аналогию в теории потребления. Потребитель может по-разному использовать приобретаемые блага. Полезность покупаемого набора благ определяется таким способом их использования, при котором потребитель получает наибольшее удовлетворение.
Однако при всех отмеченных чертах сходства потребительской полезности и "полезности", выражаемой значениями производственной функции, это совершенно разные понятия. Потребитель сам, исходя только из своих собственных предпочтений, определяет, насколько полезен для него тот или иной продукт, - покупая или отвергая его. Набор производственных ресурсов, в конечном счете, окажется полезным в той мере, в какой будет одобрен потребителем тот продукт, который произведен с использованием этих ресурсов.
Поскольку производственной функции присущи наиболее общие свойства функции полезности, мы можем далее рассмотреть основные ее свойства.
Будем считать, что увеличение затрат одного из ресурсов при неизменных затратах другого позволяет увеличить выход продукции. Это значит, что производственная функция - возрастающая функция каждого из своих аргументов.
Через каждую точку плоскости ресурсов с координатами х1, х2 проходит единственная изокванта. Все изокванты имеют отрицательный наклон. Изокванта, отвечающая большему выходу продукта, располагается правее и выше изокванты для меньшего выхода.
Наконец, все изокванты будем считать выпуклыми в направлении начала координат.
На рис. 2.8 изображены некоторые карты изоквант, характеризующие различные ситуации, возникающие при производственном потреблении двух ресурсов.
В случае, представленном на рис. 2.8,б, первый ресурс может быть полностью замещен вторым: точки изоквант, расположенные на оси х2 показывают количество второго ресурса, позволяющее получить тот или иной выход продукта без использования первого ресурса.
Использование первого ресурса позволяет сократить затраты второго, но полностью заменить второй ресурс первым невозможно.
Рис. 2.8, в изображает ситуацию, в которой оба ресурса необходимы и ни один из них не может быть полностью замещен другим.
Наконец, случай, представленный на рис. 2.8,г, характеризуется абсолютной взаимодополняемостью ресурсов.
Производственная функция, зависящая от двух аргументов, имеет довольно наглядное представление и сравнительно проста для расчетов.
Очень часто наглядность производственной функции реализуется в виде производственной сетки - таблицы, которая описывает производственную функцию для отдельного максимального объёма продукции, который может быть изготовлен при каждой комбинации факторов производства (табл.2.1).

Таблица 2.1 – Производственная сетка
Расходы труда (L),
тыс. чел.-час.
Объём производства тетрадей, тыс. шт. при расходах капитала (К), тыс. час.




































Производственная сетка показывает, что некоторые объёмы производства можно получить при разных альтернативных наборах факторов производства: 50 тыс. тетрадей при L = 5, К = 1или L = 3, К = 2илиL = 5, К = 1и так далее.
Если графически отобразить точки, характеризующие альтернативные комбинации факторов для соответствующего объёма производства, то получится изокванта, подобная как на рис.2.6.
Нужно заметить, что в экономике используются производственные функции различных объектов - предприятия, отрасли, национального и мирового хозяйства. Чаще всего это функции вида (2.15); иногда добавляют третий аргумент - затраты природных ресурсов (земли) (N):
q = f(L, K, N) (2.16)

Это имеет смысл, если количество природных ресурсов, вовлекаемых в производственную деятельность, является переменным.
В прикладных экономических исследованиях и в экономической теории используются производственные функции разных типов.
Функция Кобба-Дугласа имеет вид (1>a>0):
Q = kLaK1-a (2.17)

Динамическая производственная функция :
Q = kLaKbent (2.18)

Параметры a и bявляются коэффициентами эластичности выпуска продукции относительно каждого фактора производства.
Известна также производственная функция Леонтьева с фиксированными пропорциями факторов производства:
Q = min(aL,bK),где a,b >0 (2.19)

Это означает, что факторы являются абсолютными дополнителями – изокванты такой функции имеют вид прямых углов, вершины которых соответствуют определённым наборам факторов.
В случае абсолютно взаимозаменяемых факторов производственная функция имеет вид:
Q = aL + bK,где a,b >0 (2.20)

Изокванты такой функции представляют собой отрезки прямых с отрицательным наклоном.
В анализе производственных функций центральное место занимает исследование их свойств, среди которых наибольшее значение имеют следующие:
1) предельная норма технической замены. Будем считать, что производство потребляет два вида ресурсов. Меру замещаемости второго ресурса первым характеризует количество второго ресурса, компенсирующее изменение количества первого ресурса на единицу при движении по изокванте.
Эта величина называется нормой технической замены и равна -Δx2/Δx1 (рис. 2.9). Знак "минус" связан с тем, что приращения имеют противоположные знаки.
Величина нормы замены зависит от величины приращения; чтобы избавиться от этого обстоятельства, пользуются предельной нормой технической замены:

. (2.21)

Предельная норма технической замены связана с предельными продуктами обоих ресурсов
Предельную норму технической замены факторов производства можно рассчитать через предельные продукты. Ели при уменьшении капитала с К1 до К2 и росту количества труда с L1 до L2 производитель останется на той же изокванте, то можно записать, что:
ΔK/ΔL = -MPL/MPK (2.22)
Поскольку
MPL/MPK =-ΔK/ΔL (2.23)

можно переписать это равенство как
MRTSLK = MPL/MPK=-ΔK/ΔL (2.24)

2) эластичность выпуска q относительно фактора хj:

(2.25)

3) эластичность замены факторов хj и хh:

(2.26)

В прикладных расчетах требования практической вычислимости заставляют ограничиться небольшим числом факторов, и эти факторы рассматриваются укрупнённо - "труд" без подразделения по профессиям и квалификации, "капитал" без учета его конкретного состава, и т. д.
При теоретическом анализе производства можно отвлечься от трудностей практической вычислимости, теоретический подход требует каждый вид ресурса считать абсолютно однородным. Сырье различных сортов должно рассматриваться как различные виды ресурсов, точно так же, как машины различных марок или труд, различающийся по профессиональному и квалификационному признакам.
Таким образом, используемая в теории производственная функция - это функция большого числа аргументов:
q = f(x1, x2, ..., xn) (2.27)

Такой же подход применялся и в теории потребления, где число видов потребляемых благ никак не ограничивалось. Все, что было ранее сказано о производственной функции двух аргументов, может быть перенесено и на функцию вида (2.27), разумеется, с оговорками, касающимися размерности. Изокванты функции (2.27) - это не плоские кривые, а n-мерные поверхности. Тем не менее мы и в дальнейшем будем пользоваться "плоскими изоквантами" - и в иллюстративных целях, и как удобным средством анализа в случаях, когда затраты двух ресурсов