Лабораторная работа №2
ИНФОРМАЦИОННО – ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ
СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ ПРИМЕНЯЕМЫЕ В ЭВМ. ИХ ХАРАКТЕРИСТИКА
При проектировании и создании вычислительных машин разработчики пришли к выводу, что привычная нам десятеричная система во многом неудобна и не является идеальной. Так в техническом плане, обработку информации оказалось легче всего производить, если мы имеем дело с сигналами двух видов: "Да" или "Нет", т. е. иметь дело с двоичными числами, с двоичным счислением. Ко времени создания первых электронно-вычислительных машин теория двоичного счисления была теоретически разработана. Имелся четкий математический аппарат двоичного счисления и математической логики. Именно он и был положен в основу работы ЭВМ. При записи больших чисел в более короткой форме, оказалось удобнее использовать восьми и шестнадцатеричную системы счисления. Привычная нам десятеричная система счисления оказалась для этих целей весьма неудобной. ЭВМ переводит все числа в десятеричную систему счисления исключительно в угоду человеку. Неудобство десятеричной системы счисления заключается в неоднозначном соответствии набора двоичных и десятеричных цифр.
Каждая цифра шестнадцатеричного числа однозначно описывает набор 4 цифр двоичного числа, в то время, как с десятеричными цифрами такой закономерности не наблюдается. Например, число 7 в десятеричной системе записывается одной цифрой, а число двенадцать - двумя. Т. е. десятеричные числа не могут однозначно описать все комбинации двоичных цифр.
Перевод чисел из двоичной системы в шестнадцатеричную или восьмеричную и обратно осуществляется очень просто. Для этого достаточно разбить двоичное число по 4 цифры справа для шестнадцатеричной и по 3 - для восьмеричной. Затем, пользуясь приведенной выше таблицей записать его шестнадцатеричными (восьмеричными) цифрами.
Например:дано число 110101101001011 в двоичной системе счисления. Перевести его в шестнадцатеричную и восьмеричную системы счисления.
110101101001011(двоич.)= 0110 1011 0100 1011(двоич.) =
= 6В4В (шестн.) =
= 110 101 101 001 011(двоич.) =
= 65613 (восьми.)
Поскольку при кодировании информации было решено использовать набор из 8 двузначных цифр, наиболее распространенной и применяемой оказалась как двоичная, так и шестнадцатеричная системы записи данных. Использование десятеричной системы оказалось неудобным. Однако исторически сложилось, что человечество в повседневной жизни использует десятеричную систему счисления. Поэтому ЭВМ приходится переводить все числа в эту систему счисления.
Давайте и мы с вами научимся осуществлять этот перевод. Существует множество различных способов перевода. Мы остановимся на одном.
В современном мире принята позиционная запись числа. Например, в десятеричной системе счисления на первой позиции справа записываются единицы (разряд единиц), затем - десятки (разряд десятков) и т. д.
159 - мы говорим 1 сотня, 5 десятков и 9 единиц.
По другому это число можно представить в следующем виде:
153 = 1*102+5*101+9*100
Эта запись справедлива для любой системы счисления, где используется позиционная форма записи числа.
X = A1*Bn + A2*Bn-1 + … + An*B1 + An+1*B0
где В - основание системы счисления, A - коэффициент ( A< B )
Аналогично, в двоичной системе счисления число можно представить в виде:
10101 = 1*25 + 1*24 + 0*23 + 1*22 + 0*21 + 1*20 = 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 (десять.) = 53 (десять.)
Теперь нетрудно посчитать, чему будет равно это число. Достаточно сложить два в соответствующей степени, коэффициент при которой равен единицы.
Полезно представить приведенную здесь закономерность в виде таблицы:
28 27 26 25 24 23 22 21 20
256 128 64 32 16 8 4 2 1
Теперь достаточно подписать к этой таблице снизу число в двоичной форме, равняя его по правой границе, и подсчитать сумму двоек в степени при единицах.
Например: пусть дано число 100101 в двоичной системе. Перевести его вдесятеричную.
28 27 26 25 24 23 22 21 20
256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 0 0 1 0 1
100101(двоич.) = 32 + 4 + 1 = 37(десять.)
Из десятеричной системы в двоичную можно перевести в обратном порядке. Находим число в таблице, наиболее близкое к нашему, но меньше его. Под этим числом в таблицу ставим единицу. Из нашего числа вычитаем число из таблицы. С разностью повторяем те же действия до тех пор, пока не распишем все число. Дополним пустые места в нашей таблице нулями. Прочитаем полученное двоичное число как обычно, слева на право. Это и будет результатом.
В несимметричной троичной системе счисления чаще применяются цифры {0,1,2}, а в троичнойсимметричной системе счисления знаки {−,0,+}, {−1,0,+1}, {1,0,1}, {1,0,1}, {i,0,1}, {N,O,P}, {N,Z,P} и цифры{2,0,1}, {7,0,1}[источник не указан 33 дня]. Троичные цифры можно обозначать любыми тремя знаками {A,B,C}, нопри этом дополнительно нужно указать старшинство знаков, например, C>B, B>A.
Физические реализации
В цифровой электронике, независимо от варианта троичной системы счисления, одному троичному разряду втроичной системе счисления соответствует один троичный триггер как минимум на трёх инверторах с логикойна входе или два двоичных триггера как минимум на четырёх инверторах с логикой на входе.
Представление чисел в троичных системах счисления
Несимметричная троичная система счисления
Примером представления чисел в несимметричной троичной системе счисления может служить запись в этойсистеме целых положительных чисел:
Десятичное число | |||||||||||
Троичное число |
Если в десятичной системе счисления имеется 10 цифр и веса соседних разрядов различаются в 10 раз(разряд единиц, разряд десятков, разряд сотен), то в троичной системе используются только три цифры ивеса соседних разрядов различаются в три раза (разряд единиц, разряд троек, разряд девяток, …). Цифра 1,написанная первой левее запятой, обозначает единицу; эта же цифра, написанная второй левее запятой,обозначает тройку и т. д.
Несимметричная троичная система счисления является частным случаем спаренных (комбинированных)показательных позиционных систем счисления, в которой ak — из троичного множества a={0,1,2}, b=3, весаразрядов равны 3k.
Кодирование троичных цифр
Одна троичная цифра может кодироваться разными способами.
ФУНКЦИОНАЛЬНО – ПОЛНЫЕ НАБОРЫ ЛОГИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ ЭВМ И СИСТЕМАХ
Функционально полным называется такой набор ЛЭ, на которых (из которых) можно построить любое логическое устройство сколь сложно оно ни было бы. Функциональная полнота некоторого набора логических элементов, в свою очередь, определяется полнотой некоторой системы логических функций, которые являются логико-математическими моделями выбранного набора ЛЭ.
В булевой алгебре существует теорема Поста-Яблонского, согласно которой устанавливаются критерии полноты некоторой системы логических функций. Сущность этой теоремы сводится к следующему.
Некоторая система логических функций будет полной, если она содержит:
а) функцию, не сохраняющую логическую константу 0,
f (x1, x2, ¼xn) = f (0, 0, ¼0) ¹ 0;
б) функцию, не сохраняющую логическую константу 1,
f (x1, x2, ¼xn) = f (1, 1, ¼1) ¹ 1;
в) функцию, не являющуюся самодвойственной,
¹ ;
г) функцию, не являющуюся линейной,
f (x1, x2, ¼xn) ¹ х1 Å х2 Å ¼Å хn Åх1 х2 Å ¼Å х1 х2¼xn;
д) функцию, не являющуюся монотонной.
Если Х1 есть некоторый фиксированный набор значений аргументов функции f (x1,x2,x3,x4), например Х1 = <x1, x2, x3, x4> = <1,1,0,1>, а Х2 = <x1, x2, x3, x4> = <0,0,0,1> - другой набор этих аргументов, то можно считать, что Х1 > Х2, т.е. набор Х2 меньше набора Х1.
Лабораторная работа №2
ИНФОРМАЦИОННО – ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ
СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ ПРИМЕНЯЕМЫЕ В ЭВМ. ИХ ХАРАКТЕРИСТИКА
При проектировании и создании вычислительных машин разработчики пришли к выводу, что привычная нам десятеричная система во многом неудобна и не является идеальной. Так в техническом плане, обработку информации оказалось легче всего производить, если мы имеем дело с сигналами двух видов: "Да" или "Нет", т. е. иметь дело с двоичными числами, с двоичным счислением. Ко времени создания первых электронно-вычислительных машин теория двоичного счисления была теоретически разработана. Имелся четкий математический аппарат двоичного счисления и математической логики. Именно он и был положен в основу работы ЭВМ. При записи больших чисел в более короткой форме, оказалось удобнее использовать восьми и шестнадцатеричную системы счисления. Привычная нам десятеричная система счисления оказалась для этих целей весьма неудобной. ЭВМ переводит все числа в десятеричную систему счисления исключительно в угоду человеку. Неудобство десятеричной системы счисления заключается в неоднозначном соответствии набора двоичных и десятеричных цифр.
Каждая цифра шестнадцатеричного числа однозначно описывает набор 4 цифр двоичного числа, в то время, как с десятеричными цифрами такой закономерности не наблюдается. Например, число 7 в десятеричной системе записывается одной цифрой, а число двенадцать - двумя. Т. е. десятеричные числа не могут однозначно описать все комбинации двоичных цифр.
Перевод чисел из двоичной системы в шестнадцатеричную или восьмеричную и обратно осуществляется очень просто. Для этого достаточно разбить двоичное число по 4 цифры справа для шестнадцатеричной и по 3 - для восьмеричной. Затем, пользуясь приведенной выше таблицей записать его шестнадцатеричными (восьмеричными) цифрами.
Например:дано число 110101101001011 в двоичной системе счисления. Перевести его в шестнадцатеричную и восьмеричную системы счисления.
110101101001011(двоич.)= 0110 1011 0100 1011(двоич.) =
= 6В4В (шестн.) =
= 110 101 101 001 011(двоич.) =
= 65613 (восьми.)
Поскольку при кодировании информации было решено использовать набор из 8 двузначных цифр, наиболее распространенной и применяемой оказалась как двоичная, так и шестнадцатеричная системы записи данных. Использование десятеричной системы оказалось неудобным. Однако исторически сложилось, что человечество в повседневной жизни использует десятеричную систему счисления. Поэтому ЭВМ приходится переводить все числа в эту систему счисления.
Давайте и мы с вами научимся осуществлять этот перевод. Существует множество различных способов перевода. Мы остановимся на одном.
В современном мире принята позиционная запись числа. Например, в десятеричной системе счисления на первой позиции справа записываются единицы (разряд единиц), затем - десятки (разряд десятков) и т. д.
159 - мы говорим 1 сотня, 5 десятков и 9 единиц.
По другому это число можно представить в следующем виде:
153 = 1*102+5*101+9*100
Эта запись справедлива для любой системы счисления, где используется позиционная форма записи числа.
X = A1*Bn + A2*Bn-1 + … + An*B1 + An+1*B0
где В - основание системы счисления, A - коэффициент ( A< B )
Аналогично, в двоичной системе счисления число можно представить в виде:
10101 = 1*25 + 1*24 + 0*23 + 1*22 + 0*21 + 1*20 = 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 (десять.) = 53 (десять.)
Теперь нетрудно посчитать, чему будет равно это число. Достаточно сложить два в соответствующей степени, коэффициент при которой равен единицы.
Полезно представить приведенную здесь закономерность в виде таблицы:
28 27 26 25 24 23 22 21 20
256 128 64 32 16 8 4 2 1
Теперь достаточно подписать к этой таблице снизу число в двоичной форме, равняя его по правой границе, и подсчитать сумму двоек в степени при единицах.
Например: пусть дано число 100101 в двоичной системе. Перевести его вдесятеричную.
28 27 26 25 24 23 22 21 20
256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 0 0 1 0 1
100101(двоич.) = 32 + 4 + 1 = 37(десять.)
Из десятеричной системы в двоичную можно перевести в обратном порядке. Находим число в таблице, наиболее близкое к нашему, но меньше его. Под этим числом в таблицу ставим единицу. Из нашего числа вычитаем число из таблицы. С разностью повторяем те же действия до тех пор, пока не распишем все число. Дополним пустые места в нашей таблице нулями. Прочитаем полученное двоичное число как обычно, слева на право. Это и будет результатом.
В несимметричной троичной системе счисления чаще применяются цифры {0,1,2}, а в троичнойсимметричной системе счисления знаки {−,0,+}, {−1,0,+1}, {1,0,1}, {1,0,1}, {i,0,1}, {N,O,P}, {N,Z,P} и цифры{2,0,1}, {7,0,1}[источник не указан 33 дня]. Троичные цифры можно обозначать любыми тремя знаками {A,B,C}, нопри этом дополнительно нужно указать старшинство знаков, например, C>B, B>A.
Физические реализации
В цифровой электронике, независимо от варианта троичной системы счисления, одному троичному разряду втроичной системе счисления соответствует один троичный триггер как минимум на трёх инверторах с логикойна входе или два двоичных триггера как минимум на четырёх инверторах с логикой на входе.