Сопряженная однородная задача

Сопряженная однородная задача План. Сопряженный оператор. Сопряженная однородная задача. Условия разрешимости. Сопряженный оператор.
Обозначим через дифференциальный оператор второго порядка, т. е. (1)
где представляют собой непрерывные функции в промежутке . Если и - дважды непрерывно дифференцируемые на функции, то имеем: (2)
Как и в предыдущем параграфе, интегрирование соотношения (2) по частям дает: (3)
Обозначим дифференциальный оператор, входящий в подынтегральное выражение в правой части (3) через, т. е. (4) При этом соотношение (3) перепишется так: (5)
Оператор называется сопряженным по отношению к оператору . Умножая соотношение (4) на и интегрируя полученный результат по частям, по отношению к оператору . Таким образом, операторы и взаимно сопряжены. Как и в предыдущем параграфе, дифференциальное уравнение: (6) будем называть сопряженным дифференциальному уравнению: (7)
Если же , то оператор и дифференциальное уравнение будем называть сопряженными. Сравнивая выражения (1) и (5), приходим к выводу, что тогда и только, когда:
Таким образом, оператор будем самосопряженным тогда и только тогда, когда . При этом:
Так как любое дифференциальное уравнение вида (7) можно преобразовать в самосопряженную форму, умножив на функцию.
Дифференцируя соотношение (5) по , получаем так называемую формулу Лагранжа: (8) Правая часть этой формулы может быть записана как: (9) где (10) Отметим, что:
и следовательно, матрица -невырожденная. Подстановка выражения (9) в соотношение (8) дает: (11) Сопряженная однородная задача.
Введем следующее невырожденное линейное преобразование в вектор : (12), где
Заметим, что указанное преобразование может быть выполнено бесчисленным множеством способов, в зависимости от выбора матрицы А. При заданном ненулевом векторедве последние строки матрицы А можно выбрать так, чтобы придать любые требуемые значения компонентам. Это замечание используется в дальнейшем при нахождении вида сопряженных граничных условий. Поскольку, мы можем обратить преобразование (12) и получить: . При этом (11) можно переписать как: или (13), где (14)
Билинейная форма в соотношении (13) называется каноническим представлением билинейной формы в правой части тождества (11).
Для того чтобы найти граничные условия сопряженной задачи, положим в соотношении (13) и и получим: (15)
Из формулы (21) следует, что однородные граничные условия, эквивалентны равенствам: (16) (17)
С учетом равенств (16) и (17) соотношение (15) принимает вид: (18)
При ненулевом векторе последние две строки матрицы А могут быть выбраны так, чтобы компоненты и принимали любые требуемые значения, лишь бы и не обращались в нуль одновременно. В частности, нижние строки матрицы А можно выбрать из условия. При этом из соотношения (11) следует, что . Аналогичным образом, нижние строки матрицы А можно выбрать так, чтобы выполнялись равенства. При этом из соотношения (11) вытекает, что . Таким образом, задача, сопряженная задаче (19) имеет вид: (20)
где и связаны с компонентами вектора соотношением (14). Краевая задача (19) называется самосопряженной тогда и только тогда, когдаи каждая из двух компонент и является линейной комбинацией и , т. е. пропорциональна . Один из определителей: матриц-блоков
должен быть отличным от нуля. Чтобы иметь возможность сравнить эти результаты с теми. которые были получены в предыдущем параграфе, предположим. что. Далее, выберем такие и , чтобы строки матрицы А были линейно независимы. Например, положим и . При этом матрица А примет вид: (21). Из формулы (19) следует, что . Тогда (22)
Подставляя матрицы (20) и (9) в соотношение (14) имеем (14а): Следовательно, граничные условия сопряженной задачи имеют вид: (22) (23)
Для того, чтобы краевые задачи были самосопряженными необходимо, чтобы и чтобы каждая из компонент и являлась линейной комбинацией и . Как указывалось выше, тогда и только тогда, когда . При этом условия (21) и (20) принимают вид: (24)
Разрешая равенства относительно и при и заменяя на , получаем: (25)
Сравнивая граничные условия (24) и (25), заключаем, что они совпадают тогда и только тогда, когда: (26)
Краевая задача при самосопряжена тогда и только тогда, когда выполнены соотношения (24) и равенство. Условие разрешимости.
Определив сопряженную краевую задачу, вернемся к решению неоднородной задачи. Используя определение (25), перепишем формулу Грина в виде: (27) ,
тогда из соотношения (27) вытекает, что условие разрешимости имеет вид: (27)
Для того, чтобы сравнить условие (27) с условием разрешимости, используем связь и с вектором , описываемую формулой (14а) т. е. : (28) При этом соотношение (27) принимает вид:
Если иметь дело с граничными условиями общего вида можно выразить какие-либо два из граничных значений через два других.