Статистическое изучение модификационной изменчивости. Построение вариационных рядов

Статистические показатели для характеристики совокупности Среднее значение признака
            Полученные при проведении обследования данные характеризуют каждую особь совокупности в отдельности. Нас же интересуют, в первую очередь, наиболее общие свойства этой совокупности. Чтобы их установить, данные обрабатывают  статистически. Основная задача статистической обработки наблюдений – нахождение ряда показателей, характеризующих в обобщенном виде свойства данной совокупности.

            Одним из таких показателей является средняя арифметическая, характеризующая среднее значение признака.
Средняя арифметическая
            Средняя арифметическая представляет собой как бы точку равновесия вариационного ряда, отклонения от которой в сторону увеличения или уменьшения признака взаимно уравновешиваются. Средняя арифметическая показывает, какую величину признака имели бы особи данной группы, если бы эта величина была у всех одинаковой.

            Простейший метод вычисления средней арифметической величины для небольшой выборки  (nХср или М.




где       X – величина варьирующего признака;

            n – объем выборки;  

            S – знак суммирования.


Для больших выборок среднюю арифметическую удобнее вычислить косвенным методом по формуле:




где       А – условное среднее значение нулевого класса;

            р – частоты;

            а – условное отклонение;

            n – объем выборки;

            i – величина классового промежутка.

Задание. Пользуясь вариационным рядом, представленным в таблице 1, составить таблицу 2 для вычисления средней арифметической косвенным методом.
Распределение вариант по весу                                         Таблица 1
Границы классов (
Wн – Wк)


Частоты (р)

42 – 45

1

46 – 48

5

49– 51

12

52 – 54

14

55 – 57

8

58 – 60

6

61 – 63

2

64 – 67

2



Sр = n= 50

Показатели изменчивости

Средние величины характеризуют всю выборку в целом. Но основное свойство ее членов – свойство изменяться от особи к особи – остается при этом нераскрытым.

            Для суждения о степени изменчивости или вариабельности признаков в биометрии наиболее часто используются следующие показатели:

–        лимит или размах изменчивости;

–        среднее квадратическое или стандартное отклонение;

–        коэффициент вариации или изменчивости.

Лимит или разница между максимальным и минимальным значениями признака в выборке является наиболее простым, но и наиболее точным способом количественного выражения степени изменчивости этого признака.

Например, вес спортсменов max = 67 кг, min = 42, lim = 67–42 = 25 кг.

Основным показателем изменчивости является среднее квадратическое отклонение. Среднее квадратическое или стандартное отклонение – это статистическая величина, которая показывает, насколько признак, присущий данному варианту, отклоняется от средней арифметической для данной выборки.


            Среднее квадратическое отклонение обозначают либо греческой буквой S, либо сигма.  Для малых выборок среднее квадратическое отклонение вычисляют по формуле :

           

            Вычисление среднего квадратического отклонения для малых выборок производят в следующем порядке:

1        Находят отклонение каждого варианта от средней арифметической для данной выборки, т.е. устанавливают центральные отклонения.

2        Центральные отклонения возводят в квадрат, чтобы избавиться от отрицательных чисел.

3        Находят сумму квадратов.

Пример. Представлена совокупность, состоящая из 5 особей. Все они имеют одинаковый возраст и относятся к одной группе. Нужно вычислить среднюю длину их тела и среднее квадратическое отклонение этого признака.

1. Составим простой вариационный ряд (табл.3)

Таблица 3

Показатели вариационного ряда

Особи

№1     №2     №3     №4     №5

Статистические показатели

Варианты ряда (длина тела в см)

45        40      38       35       32

Средняя арифметическая

Х ср= 38 см

Отклонение каждой варианты от средней арифметической X–Xср

+7        +2       0     –3         –6

Сумма всех отклонений

S (Х –Хср) = 0

Квадраты отклонений

 (X–Xср)2

49        4          0       9         36

Сумма квадратов отклонений S (Х –Хср)2 = 98



2. Вычислим среднюю арифметическую Х:





             

3.      Вычислим отклонения размеров длины тела от средней арифметической

(Х–Хср) и полученные данные проставим в таблицу.

4.      Так как сумма отклонений всегда равна нулю S (Х–Хср) = 0, то отклонения следует возвести в квадрат и определить сумму квадратов отклонений. В данном примере они будут равны:


S (Х–Хср)2 = 49+4+0 + 9 + 36 = 98;



Вычисление среднего квадратического отклонения
для больших выборок

Задание. Вычислить среднее квадратическое отклонение (S) для данной  группы спортсменов по весу

1        Составить вариационный ряд (табл. 4).

2        Определить частоту (р) значений веса в каждом классе.

3        Найти условные отклонения (а) от условного среднего класса.

4        Найти произведение частоты на условное отклонение (графа 5).

5        Условное отклонение возвести в квадрат (графа 4).

6        Вычислить произведение частоты на квадрат условного отклонения (графа 6).

7       
По формуле вычислить среднее квадратическое отклонение:







Таблица 4
    продолжение