Определитель матрицы А является побочным продуктом
LU-факторизации матрицы А, действительно:
.
Второе равенство получено на основании того, что определитель произведения матриц равен произведению определителей сомножителей.
Вычислим определитель каждого из сомножителей. Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов,
следовательно
.
В MATLAB реализована функция вычисления определителя матрицы
D = det(A).
Перейдем к рассмотрению вопроса о вычислений обратной матрицы. По определению обратная матрица X удовлетворяет матричному алгебраическому уравнению
Представим матрицы X и I в виде наборов их столбцов
где – вектор, который имеет все нулевые элементы за исключением i-ого, равного 1. Тогда матричное уравнение для обратной матрицы можно переписать в виде
,
то есть представляет собой n СЛАУ вида
.
Таким образом, для вычисления обратной матрицы необходимо решить n СЛАУ и составить из полученных решений матрицу. Учитывая, что все n СЛАУ имеют одинаковую матрицу А, целесообразно произвести ее LU-факторизацию и свести задачу вычисления обратной матрицы к решению 2n СЛАУ с треугольными матрицами
Обусловленность СЛАУ. Анализ ошибок решения СЛАУ
Определение: СЛАУ плохо обусловлена, если малые изменения элементов матрицы А или вектора b приводят к большим изменениям в решении.
Рассмотрим пример плохо обусловленной СЛАУ:
Решения этой системы для и для малого значения будут сильно отличаться. Это связано с тем, что на плоскости уравнения системы задают “почти” параллельные прямые 1 и 2 (рис. 2.1). Следовательно, уравнения являются “почти” линейнозависимыми, и при их малом изменении относительно друг друга точка пересечения прямых будет значительно меняться.
Рисунок 2.1
Получим количественную характеристику обусловленности СЛАУ. Рассмотрим исходную систему
.
Изменим вектор правой части таким образом, что , при этом изменится решение СЛАУ . Найдем зависимость от :
Учитывая, что имеем
Вычислим зависимость норм векторов и . По правилу треугольников имеем
поэтому, если мала, то большие изменения приведут к малым изменениям . Удобно иметь дело с относительными величинами
и .
Учитывая, что , умножая полученное неравенство на , получим:
Разделим обе части неравенства на :
.
Величина
называется числом обусловленности матрицы. Как следует из полученного неравенства, это число характеризует относительное изменение нормы решения СЛАУ в зависимости от относительного изменения нормы правой части системы.
Для вычисления числа обусловленности матрицы воспользуемся определением нормы матрицы
,
где – собственное число матрицы . Вычислим
Учитывая симметричность и коммутативность операций транспонирования и обращения, получим:
Поэтому
Из определения числа обусловленности
.
Вычисление собственных значений матрицы
Рассмотрим наиболее простой алгоритм вычисления собственных значений матрицы, основанный на вычислении корней характеристического полинома матрицы – алгоритм А. Н. Крылова. Алгоритм является следствием теоремы Гамильтона-Кэли.
Теорема: квадратная матрица А является корнем своего характеристического полинома
то есть матрица А удовлетворяет матричному уравнению
Алгоритм А.Н. Крылова основан на вычислении коэффициентов характеристического полинома матрицы, а собственные значения вычисляют как корни характеристического полинома
Для вычисления коэффициентов характеристического полинома воспользуемся матричным уравнением, следующим из теоремы Гамильтона-Кэли. Умножим обе части этого уравнения на произвольный
введем обозначения ‚ после чего исходное матричное уравнение сведется к векторному уравнению:
Из коэффициентов составим вектор
а из векторов матрицу
В результате получена СЛАУ относительно вектора неизвестных коэффициентов характеристического полинома
Решая эту СЛАУ, получим характеристический полином, корни которого есть собственные значения матрицы.