Линейные операции над векторами

3 минуты

Темы:

Вектором (свободным) называют совокупность всех одинаково направленных отрезков, имеющих одинаковую длину. Пусть – направленный отрезок с началом в точке А и концом в точке В (рисунок 1). Этот отрезок однозначно определяет некоторый вектор . В дальнейшем вектор и направленный отрезок будут отождествляться, а использоваться будет тот из них, который в данном случае удобнее. Итак . Длина вектора есть длина соответствующего отрезка и обозначается .

1.1.1 Определение. Векторы и называются коллинеарными, если соответствующие им направленные отрезки параллельны. Векторы , , называются компланарными, если соответствующие им направленные отрезки параллельны одной плоскости.

Два вектора и равны, если они коллинеарны, одинаково направлены и равны по длине. Пишут = .

1.1.2 Определение. Суммой векторов и называется вектор, обозначаемый + и равный (рисунок 2).

Итак, + = (правило треугольника).

При решении задач полезно использовать свойства суммы векторов.

1.1.3 + = + , , .

1.1.4 + ( + ) = ( + )+ , , , .

1.1.5 Существует единственный нулевой вектор , имеющий нулевую длину и такой, что , .

1.1.6 Для любого вектора существует единственный противоположный вектор (– ) такой, что .

1.1.7 Определение. Произведением вектора на действительное число называется вектор (или ), длина которого равна , а направление совпадает с направлением , если >0, и противоположно , если <0.

Перечислим свойства произведения вектора на число, которые постоянно используются при решении задач:

1) ;	3) ;	5) ;
2) ;	4) ;	для любых .

1.1.8 Пример. Пусть задан параллелограмм , – точка пересечения его диагоналей (рисунок 3). Доказать, что

1) + = ; 3) + = .

2) + + = ;

Решение.

1 Известно, что диагонали параллелограмма вточке пересечения делятся пополам. Значит, = . Поскольку векторы и противоположно направлены, то =− , т.е. + = .

2 По определению суммы векторов + = . С другой стороны =− , поэтому + + = .

3 На векторах и , как на сторонах, построим параллелограмм (см. рисунок 3). Тогда = , + = + = . Обратимся к четырехугольнику . Это параллелограмм, т.к. , и поэтому = . Теперь очевидно, что + = .

Линейная зависимость и независимость векторов

1.2.1 Определение. Векторы , , …, называются линейно зависимыми, если существуют числа , , …, , не равные одновременно нулю, для которых выполняется равенство

+ + … + = . (1)

Если же равенство (1) выполняется только для , , …, , то векторы , , …, называются линейно независимыми.

Основной признак, которым полезно пользоваться при установлении линейной зависимости (независимости) векторов, заключается в следующем.

1.2.2 Теорема. Векторы , , …, линейно зависимы тогда и только тогда, когда один из них является линейной комбинацией остальных.

1.2.3 Пример. Пусть и – ненулевые векторы. Тогда следующие условия равносильны.

Векторы и линейно зависимы. . .

Доказательство проведем по схеме .

. Если и линейно зависимы, то существуют числа и , такие, что . Так как и – ненулевые векторы, то в этом равенстве и и из него получим , где .

. Из равенства и условия следует, что .

. Пусть . Умножим вектор на число , если и одинаково направлены, и на , если и направлены противоположно. Тогда векторы и , имеющие одинаковые длины, равны, т.е. , что означает линейную зависимость векторов и .