Приближенное решение задачи об автоколебаниях. Метод гармонического баланса Крылова-Боголюбова.

Имеется много методов решения такой задачи. Метод Крылова-Боголюбова является одним из наиболее употребительных. Идея метода заключается в желании применить для исследования хорошо развитый аппарат линейной теории автоматического регулирования. Решается задача установления факта существования либо отсутствия автоколебаний, и для случая их существования определяются их параметры. Для этих целей находится математическое описание такого линейного элемента, который, будучи введён в систему вместо нелинейного, обеспечит системе эквивалентные свойства в смысле факта наличия или отсутствия незатухающих колебаний, и только в этом смысле. В переходных процессах эквивалентность поведения исходной нелинейной и заменяющей её линейной систем никак не гарантируется. Процедура такой замены называется гармонической линеаризацией нелинейной характеристики, и она является первым этапом решения задачи.
Постановка задачи. Система представляется в виде совокупности линейной части с передаточной функцией Wл и нелинейного элемента, осуществляющего преобразование x=F(y) (рис.4.10).

Wл
F(y)
y
-x



Рис.4.10. Исходная нелинейная САР.

Гармоническая линеаризация нелинейной характеристики.

Примем допущение о том, что на входе нелинейного элемента величина у изменяется по гармоническому закону
,
корректность которого обсудим в дальнейшем. Определим производную

y΄= py = Aωcosωt.
Приняв обозначение
,
получим
; . (4.7)
При такой форме входного сигнала на выходе нелинейного элемента величина х будет изменяться пусть не по гармоническому, но, во всяком случае, по периодическому закону. В этом случае она может быть представлена в виде ряда Фурье

(4.8)

Учтя на основании (4.7), что

; ,
преобразуем (4.8):
(4.9)

В режиме установившихся колебаний, когда

A=const.; w=const.

первый член ряда – постоянная величина, характеризующая смещение центра колебаний, и в интересующем нас вопросе (есть автоколебания или нет) может быть игнорирована. СЧР – старшие члены ряда, содержащие высшие гармоники, амплитуды которых обычно пренебрежимо малы по сравнению с амплитудой первой гармоники, и потому также могут быть игнорированы. Тогда колебания на выходе нелинейного элемента приближённо представляются в виде

(4.10)

При постоянных А и w выражения в скобках уравнения (4.10) – постоянные величины, и приняв обозначения
; , (4.11)
получим уравнение линейного элемента, эквивалентного по поведению исходному нелинейному в смысле факта существования или отсутствия незатухающих колебаний (напомним, что р представляет собою оператор дифференцирования ):
. (4.12)

Коэффициенты этого уравнения q и q΄ называются коэффициентами гармонической линеаризации, они являются функциями параметров нелинейных характеристик и обладают следующими свойствами.

1.Для однозначных нелинейных характеристик q΄= 0, поскольку


2.Для однозначных нелинейных характеристик
.
3.Для симметричных однозначных нелинейных характеристик
.

Рассмотрим пример расчёта коэффициентов гармонической линеаризации для нелинейной характеристики релейного типа с параметрами е и с, показанными на рис(4.11).
y
х=F(y)
+e
+сy
-e
-с
2p
j =wt
pj

А
y =Asinj
j1




Рис.4.11. Релейная нелинейность.
y < -e Þ F(y) = -c;
-e £ y £ +e Þ F(y) = 0;
y > +e Þ F(y) = +c.

1.Поскольку нелинейная характеристика однозначна, то q΄=0.

2.
Поскольку , ,
и окончательно
. (4.13)

В литературе по теории автоматического регулирования приводятся заранее рассчитанные значения коэффициентов гармонической линеаризации для разнообразных нелинейных характеристик в функциях параметров нелинейных характеристик.