Устойчивость автоматических систем.

Подобно тому, как употребляется термин «устойчивость» в общераспространенном понимании, в автоматике под этим термином тоже в некоторой степени подразумевается способность какой-либо системы противостоять факторам, выводящим систему из равновесия. Строгая формулировка такова.
Устойчивость – это способность системы приходить к состоянию равновесия после прекращения действия факторов, которые вывели её из равновесия. Состояние равновесия характеризуется неизменностью во времени регулируемых величин. Если система не приходит к состоянию равновесия, а бесконечно от него удаляется, она не устойчива. Неустойчивые системы не могут эксплуатироваться, поскольку в них происходит неконтролируемое изменение регулируемых величин. Как правило, потеря системой устойчивости приводит к авариям объекта регулирования, причем часто катастрофического характера. Как примеры можно указать на опрокидывание потерявших остойчивость судов, разрушение двигателей («разнос»), взрывы на предприятиях химического производства и т. д. Таким образом, требование устойчивости является обязательным для любой работоспособной системы. Следует отметить, что потеря устойчивости САР может произойти вследствие изменения её свойств, вызванного как износом или отказом элементов, так и (весьма нередко) неквалифицированными действиями человека при попытке изменить настройку системы либо в процессе выполнения профилактических мероприятий. Заметим также, что понятие устойчивости имеет качественный характер, но не количественный. Так, о системе можно сказать, что она устойчива либо неустойчива, но нельзя говорить, что система «более» либо «менее» устойчива.
Характер переходных процессов в устойчивых и неустойчивых системах при действии внешних факторов можно видеть на рис.3.19. Устойчивые системы по окончании переходного процесса приходят к некоторому установившемуся значению регулируемой величины (рис.3.19,а), в неустойчивых системах (рис.3.19,б) регулируемая величина неограниченно изменяется. Если же процесс в системе носит характер установившихся колебаний (как граничный между затухающими и расходящимися колебаниями), то говорят, что система находится на границе устойчивости (рис.3.19,в). Понятно, что только вариант (3.19,а) приемлем для практического применения. Таким образом, внешним признаком устойчивой системы является ограниченность регулируемой величины: у = огр.
а
б
в
t
t
у
у
у
t


Рис.3.19. Переходные процессы в системах:
а – устойчивых; б – неустойчивых;
в – САР на границе устойчивости.

Исходными данными для решения задачи об устойчивости системы является её математическое описание. Первое решение такой задачи, не лишенное недостатков, дал английский физик Джеймс Максвелл (1868).
Оценка устойчивости САР по корням её
характеристического уравнения (теорема Максвелла)

Пусть система описывается дифференциальным уравнением

(anpn + an-1pn-1 + …+ a1p + a0) y = bx. (3.69)

Решение его, как любого линейного уравнения, ищется в виде

,
где - общее решение однородного уравнения

(anpn + an-1pn-1 + …+ a1p + a0) y=0, (3.70)

- частное решение уравнения (3.69).Условием ограниченности у является ограниченность этих обоих слагаемых.
Как всегда, частное решение – это значение регулируемой величины на новом установившемся режиме, вызванном воздействием х=х0:
= const. ; x = x0.

Подстановка в (3.69) даёт условие установившегося режима:

а0=bx0, =bх0 /а0.

В реальных условиях воздействие всегда ограничено по величине, и поэтому частное решение ограничено. Отсюда следует важный вывод: правая часть дифференциального уравнения не влияет на устойчивость линейной системы, следовательно, от внешних воздействий не зависит, обладает система свойством устойчивости или нет. Таким образом, устойчивость САР определяется только видом левой части её уравнения. Общее решение:

= C1exp(p1t)+ C2exp(p2t)+…+ Cnexp(pnt), (3.71)

где С1, С2 , … Сn – постоянные интегрирования, p1, p2 , … pn – корни характеристического уравнения

anpn + an-1pn-1 + …+ a1p + a0 = 0.

Поскольку постоянные интегрирования есть ограниченные величины, очевидно, что ограниченность общего решения зависит от вида функций

exp(pkt), k = 1,2,… n,

то есть от корней характеристического уравнения. В общем случае среди корней могут быть вещественные, комплексные и мнимые. Каждому виду корней в выражении (71) соответствует определенный вид слагаемого и, естественно, требуется ограниченность каждого из них (табл.1).

Табл.1

Вид корня
Вид слагаемого


вещественный
pk = ak


Ckexp(akt)


комплексные
pk,k+1=ak±wki

exp(akt)[Ckcos(wkt)+Ck+1sin(wkt)]



Mнимые
pk,k+1=±wki


Ckcos(wkt)+Ck+1sin(wkt)

Третий случай даёт незатухающую составляющую в общем решении, и если остальные составляющие являются сходящимися, то система находится на границе устойчивости. Это свойство часто используется при анализе устойчивости САР. Выражение в квадратных скобках есть ограниченная величина. Таким образом, ограниченность общего решения зависит от того, ограничены или нет функции exp(akt) для всех k Î[1,n]. При очевидном t > 0 для этого требуется, чтобы



, k = 1,2,… n. (3.72)

Теорема Максвелла: для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы вещественные части всех корней характеристического уравнения этой системы были отрицательны.
Частные случаи: достаточные условия устойчивости систем первого и второго порядков.
Характеристическое уравнение САР 1 порядка
а1р +а0 =0
имеет единственный вещественный корень р = -а0/а1.Он отрицателен, если оба коэффициента имеют одинаковые знаки. Имея в виду возможность изменения знаков обоих коэффициентов на обратные, достаточное условие устойчивости можно сформулировать как требование положительности коэффициентов характеристического уравнения.
Характеристическое уравнение САР 2 порядка


а2р2 + а1р +а0 = 0

имеет корни
.
Анализ этого выражения приводит к заключению, что и здесь достаточным условием устойчивости является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения, а если коэффициенты отличаются по знаку, то система неустойчива.

Устойчивость САР высоких порядков.

Для устойчивости систем 3 и более высоких порядков требование положительности всех коэффициентов характеристического уравнения является необходимым, но не достаточным. Другими словами, если все корни имеют отрицательные вещественные части, то все коэффициенты будут положительны, но обратное утверждение не справедливо.
Вычисление корней уравнений третьей и четвертой степеней связано со значительными трудностями, а корни уравнений пятой и более высоких степеней согласно теореме Абеля не могут быть выражены через коэффициенты с использованием знаков алгебраических действий и операции извлечения квадратного корня. Это значит, что при несомненной справедливости теоремы Максвелла её использование ограничено. Поэтому разработаны такие способы анализа устойчивости систем, когда не требуется нахождение корней. Все эти способы получили название критериев устойчивости. Здесь мы считаем возможным рассмотреть наиболее употребительные из них.

Критерий Гурвица (1895).

Уравнение системы порядка n

anpn + an-1pn-1 + an-2pn-2+ … +a2p + a1p + a0 = 0

будет иметь корни с только отрицательными вещественными частями при выполнении следующих требований:

все коэффициенты характеристического уравнения и все диагональные миноры определителя Гурвица должны быть положительны:
аk > 0, k = 0,1,2,…,n; Mk > 0, k = 0,1,2,…,n-1.

Правило составления определителя Гурвица.

an-1 an-3 an-5 ………………... 0
an an-2 an-4 …………………. .
0 an-1 an-3 .…………………. .
0 an an-2 ………………….. .
M0 = ……. … ………………………………….
. 0 …………………….a0…..0
. 0 ….…………………a1 0
0 0 …..…………………a2 a0

По главной диагонали располагаются последовательно коэффициенты уравнения, начиная со второго слева. Расположение коэффициентов в колонках в направлении сверху вниз соответствует их расположению в уравнении в направлении справа налево. Места отсутствующих коэффициентов заполняются нулями. Диагональные миноры – это определители, получающиеся из определителя Гурвица последовательным вычеркиванием правых колонок и нижних строк. Например, минор с индексом (n-3) выглядит так:

an-1 an-3 an-5
M n-3 = an an-2 an-4 = an-1an-2an-3 + anan-1an-5 – anan-32 – an-4an-12
0 an-1 an-3 .


Заметим, что в принятом нами порядке индексации индекс минора совпадает с индексом коэффициента, стоящего в его нижнем правом углу.
Модификация критерия Гурвица – критерий Льенара-Шипара. Авторы этого критерия установили, что можно обойтись меньшим количеством неравенств, чем это требуется по критерию Гурвица. Согласно этому критерию, требование положительности всех диагональных миноров заменяется требованием положительности диагональных миноров с нечетными индексами.

Критерий Михайлова (1938).

Пусть собственный оператор системы имеет вид

D(p) = anpn + an-1pn-1 + … + a1p + a0. (3.73)

Если р1, р2 ,…, рn – его корни (пусть неизвестные нам), то он, согласно теореме Безу, может быть представлен в виде произведения

D(p) = an(p – p1)(p – p2)…(p – pn). (3.74)

Произведём замену p = iw:

D(iw) = an(iw - p1)(iw - p2)…(iw - pn) = U(w) + iV(w). (3.75)

Исследуем на комплексной плоскости в координатах (a, iw) поведение вектора (iw - pk) при изменении w от -¥ до +¥, причём a и w - вещественная и мнимая части корня pk. Поскольку для устойчивой системы a < 0, построения располагаются слева от мнимой оси (рис.3.20).

α
iω
pk
iω-pk

π
ω → +∞
ω → -∞
iω








Рис.3.20. Поведение вектора-разности.

При изменении w от -¥ до +¥ вектор-разность поворачивается в положительном направлении на угол p:
arg (iw - pk) = p, wÎ(-¥,+¥).

Вектор D(iw) = U(w) + iV(w) есть произведение векторов, и при изменении w от -¥ до +¥ его поворот составит np, как сумму поворотов отдельных векторов:

arg [U(w) + iV(w)] = np, wÎ(-¥,+¥).

Давая w значения в диапазоне (-¥,+¥) и вычисляя компоненты вектора U(w) и V(w), на комплексной плоскости можно построить кривую в координатах U и iV. Эта кривая симметрична относительно вещественной оси. Обычно рассматривают её половину, соответствующую изменению w в диапазоне (0,+¥), и эта кривая называется кривой Михайлова. Очевидно, что для этого диапазона изменения w поворот вектора U(w) + iV(w) составит
arg [U(w) + iV(w)] = n(p/2), wÎ(0,+¥).

Отсюда следует формулировка критерия Михайлова.

САР устойчива, если кривая Михайлова начинается на положительной части вещественной оси и проходит последовательно столько четвертей комплексной плоскости, каков порядок уравнения системы.
Примеры кривых Михайлова для устойчивых систем различных порядков приведены на рис.3.21.

U
U
U



iV
iV
iV




Рис.3.21. Кривые Михайлова устойчивых САР 3, 4, и 6 порядков.

Для неустойчивых САР кривые Михайлова не проходят последовательно должное количество четвертей (рис.3.22).

U
iV



Рис.3.22. Неустойчивая САР 4 порядка.

Применение критерия Михайлова.
1. Записывается собственный оператор системы

D(p) = anpn + an-1pn-1 + … + a1p + a0.

2. Производится подстановка р = iw:

D(iw) = an(iw)n + an-1(iw)n-1 + … +a2(iw)2 +a1iw +a0 = U(w) + iV(w).
3. Выделяются вещественная и мнимая части:

U(w) = a0 - a2 w2 + a4 w4 – a6w6 +…;
V(w) = a1w – a3 w3 + a5w5 -a7 w7 +…

4. Приняв для w ряд значений в диапазоне (0, ¥), рассчитываются соответствующие значения координат вектора кривой Михайлова и строится эта кривая.
5. По виду кривой делается заключение об устойчивости.
Примечание. Для любой системы кривая Михайлова уходит в бесконечность в той четверти, каков порядок системы, и это свойство следует использовать при выборе диапазона изменения w.

Критерий Найквиста (1932).

Этот критерий позволяет судить об устойчивости замкнутой САР по виду амплитудно-фазовой характеристики этой системы в разомкнутом состоянии. Между АФХ разомкнутой системы Wp и замкнутой W3 соотношения таковы:

W3 = Wp/(1+Wp); Wp = W3/(1- W3).

Рассмотрим схему САР на рис.3.23. Система, имеющая передаточную функцию в разомкнутом состоянии Wp, замкнута единичной отрицательной главной обратной связью.

Wp
-1
x=Axsinwt
y=Aysin(wt+φ)
-y





Рис.3.23. Замыкание разомкнутой САР.

Мысленно разорвём замкнутую цепь в месте, указанном пунктиром. Возбудим на входе гармонические колебания х. На выходе разомкнутой системы возникнут колебания

y = Aysin(wt+j) ,

а на выходе звена обратной связи колебания будут иметь обратный знак, что можно трактовать как смещение по фазе на угол p:
y = - Aysin(wt+j) = Aysin(wt+j - p).

Примем некоторую частоту, при которой фазовый сдвиг, получающийся в разомкнутой системе,
j = p.
Если при этой частоте амплитуда Ау окажется меньше, чем Ах, то это означает, что при прохождении через разомкнутую САР колебания затухают, и САР в замкнутом состоянии будет устойчива. Если наоборот – замкнутая САР неустойчива. Поскольку отношение амплитуды выходных колебаний к амплитуде входных есть модуль АФХ, он при частоте, соответствующей фазовому сдвигу p , для устойчивой системы меньше единицы. Отсюда следует формулировка критерия Найквиста.
Замкнутая система будет устойчивой, если соответствующая разомкнутая система устойчива, и АФХ последней не охватывает точку с координатами (-1,0i) (рис.3.24).


М
iN
a

.
,0i

М
iN
б
.
-
1,0i



Рис.3.24. АФХ разомкнутых систем:
а - замкнутая система устойчива ;
б – замкнутая система неустойчива.

D- разбиение пространства параметров.

Этот способ анализа САР на устойчивость отличается от других тем, что даёт ответ не только на вопрос, устойчива САР или нет, но и позволяет определить для некоторых интересующих нас параметров системы области этих параметров, в которых САР сохраняет свойство устойчивости. Наиболее распространено D- разбиение по двум параметрам.
Пусть характеристическое уравнение САР имеет вид

anpn+an-1pn-1+…+Apk +…+ Bps +…+a1p+a0=0, (3.76)

где A и B- коэффициенты уравнения, для которых мы хотим найти те области, где САР устойчива. Выведем систему на границу устойчивости, для чего потребуем наличия чисто мнимых корней уравнения (3.76) p = iw:
an(iw)n+an-1(iw)n-1+…+A(iw)k+…+B(iw)s+…+a1(iw)+a0=0. (3.77)

Записанное слева комплексное число равно нулю по определению тогда, когда равны нулю его вещественная и мнимая части. Выделив их, получим:
F1(A,w) = 0; F2(B,w) = 0. (3.78)

Иногда удаётся из этих уравнений исключить w, и тогда получают зависимость

B = f(A). (3.79)

Функция B = f(A) является границей устойчивости и отображает мнимую ось комплексной плоскости корней. Она делит область возможных по необходимому условию устойчивости значений А и В на области устойчивости и неустойчивости. Для выделения области устойчивости проще всего поступить так. Задаться в какой-нибудь области точкой с координатами (А=А1, В=В1) и с помощью какого-либо из рассмотренных ранее критериев проанализировать эту конкретную систему на устойчивость. Если результат окажется положительным, это означает, что вся область, к которой принадлежит выбранная точка, является областью устойчивости, и её штрихуют по границе с направлением штриховки внутрь. Если линия границы устойчивости имеет самопересечения, то по выходу из заштрихованной области штриховку продолжают с той же стороны по ходу по кривой. Типичным примером D- разбиения является рассматриваемый ниже критерий Вышнеградского.

Критерий Вышнеградского(1876).

Он распространяется на системы третьего порядка и в своё время был разработан в связи с необходимостью анализа САР частоты вращения вала паровой машины с центробежным регулятором прямого действия. Характеристическое уравнение системы
а3р3 + а2р2 + а1р + а0 = 0.
Выполнив замену переменной
p3(a3/a0) = U3,
приходим к выражению
U3 + AU2 + BU + 1 = 0, (3.80)
называемому уравнением Вышнеградского, где коэффициенты
;
называются параметрами Вышнеградского.
Отметим прежде всего, что необходимые условия устойчивости выражаются в таком виде:
А > 0, В > 0. (3.81)
Выведем систему на границу устойчивости, для чего в уравнение (3.80) подставим р = iw:
(iw)3 + A (iw)2 + B iw + 1 = 0,

что после разделения вещественной и мнимой частей даёт

1 - Аw2 = 0
Вw - w3 = 0. (3.82)

Из второго уравнения системы (82) подставим в первое w2 = В, тем самым совместно с (81) получим условия границы устойчивости:

А > 0, В > 0, АВ = 1. (3.83)

На диаграмме Вышнеградского (рис.3.25) кривая, называемая гиперболой Вышнеградского, является границей устойчивости, и она делит область возможных значений коэффициентов А и В на две части, одна из которых является областью устойчивости. Для обнаружения этой области рассмотрим заведомо устойчивую систему, корни характеристического уравнения которой

U1 = U2 = U3 = - 1.

Тогда характеристический полином можно представить в виде

U3+AU2+BU+1=(U–U1)(U–U2)(U–U3) =(U + 1)3 =U3+3U2+3U+1,

откуда А = 3, В = 3. Этими координатами определяется точка М на диаграмме, следовательно, область выше гиперболы Вышнеградского есть область устойчивости. Тогда условия устойчивости записываются так:

А > 0, В > 0, АВ > 1.

.
М
устойч.
АВ=1
А

В

Рис. 3.25. Диаграмма Вышнеградского.