Автоколебания в нелинейных САР и физическая картина их возникновения.

Явление автоколебаний наблюдается только в нелинейных системах. Внешне оно выражается в существовании режимов незатухающих колебаний и в некоторой степени является аналогом границы устойчивости линейных систем, однако имеет существенные отличия. Одно из них – в линейной системе, находящейся на границе устойчивости, преобразование кинетической энергии в потенциальную и обратно происходит без потерь, тогда как при автоколебаниях происходит рассеяние энергии, и её потери восполняются из каких-либо источников (объект регулирования либо регулятор непрямого действия, либо, наконец, внешняя среда). Для уяснения физической картины возникновения автоколебаний рассмотрим систему (рис.4.6), содержащую линейную часть с передаточной функцией Wл и нелинейный элемент типа «ограничение по мощности» c нелинейной характеристикой x = F(y).


y
x=F(y)
y
-x


Рис.4.6. Нелинейная САР.

Рассмотрим вспомогательную линейную систему (рис.4.7), имеющую вместо нелинейного элемента линейное звено с передаточной функцией W=kл.


W = kл
у
-х


Рис.4.7. Вспомогательная система.

Выполним анализ этой системы на устойчивость. Для этого найдём передаточную функцию замкнутой системы:

. (4.2)

Характеристическое уравнение этой системы

. (4.3)

Применяя, например, критерий устойчивости Гурвица, можно сделать следующие заключения:
a1a2
>
=
<
a3(a0 + bkл)
САР устойчива
САР на границе устойчивости
САР неустойчива


(4.4)


Отсюда можно сделать такие заключения относительно kл:
kл
<
=
>

САР устойчива
САР на границе устойчивости
САР неустойчива


(4.5)


Возвратимся к исходной нелинейной системе. Будем рассматривать нелинейный элемент как будто бы линейный, но имеющий следующее отличие от действительно линейного. В то время, как линейный элемент имеет коэффициент усиления
,
у нелинейного элемента отношение выходной величины ко входной («коэффициент усиления нелинейного элемента» kн) не постоянно и является функцией входной величины:
.
Для рассматриваемой нами нелинейной характеристики эта функция имеет вид (рис.4.8):
y
kн





Рис.4.8. Зависимость kн от входной величины нелинейного
элемента типа «ограничение по мощности».

При таком подходе устойчивость либо неустойчивость САР определяется условиями

kн
<
=
>

САР устойчива
САР на границе устойчивости
САР неустойчива

(4.6)


При больших начальных отклонениях у коэффициент kн мал, и система обладает свойством устойчивости, то есть колебания величины у стремятся затухнуть. О таком свойстве нелинейной системы говорят, что система «устойчива в большом». При малых начальных отклонениях у коэффициент kн велик, система не обладает свойством устойчивости, и колебания нарастают. Система «неустойчива в малом». Однако это одна и та же система, поэтому независимо от величины начального отклонения у в системе самопроизвольно установятся незатухающие колебания, соответствующие некоторому критическому значению kн (рис.4.9),которые по причине самовозникновения названы автоколебаниями. Будучи некоторым аналогом границы устойчивости линейных систем, автоколебания, однако, существенно отличаются от границы устойчивости линейных систем. Пусть, например, характеристическое уравнение линейной САР имеет вид

р3 + Ар2 + Вр + 1=0.
t
у

Рис.4.9. Автоколебания.
kн мало;
kн велико;
критическое значение kн.

Система находится на границе устойчивости при условии

А>0; В>0; АВ=1.

При любом сколь угодно малом изменении коэффициентов А или В система уйдёт с границы устойчивости, став либо устойчивой (АВ>1), либо неустойчивой (АВ<1). В нелинейной же системе при изменении каких-либо параметров она не обязательно уйдёт с границы устойчивости. В ней может установиться режим новых автоколебаний, соответствующий новому критическому значению kн, при котором изменятся параметры колебаний (амплитуда, частота, фаза). Система как бы «сама» подбирает новое значение kн.