Устойчивость дискретных систем.

Формулировка понятия устойчивости является общей независимо от того, непрерывна система или дискретна. Реакция линейной ДАС на входной сигнал так же, как и непрерывной системы, есть сумма переходной и установившейся составляющих:
(5.16)

Значения выходной величины ДАС, соответствующие моментам времени t = n T, могут быть найдены по выражению

(5.17)

где под U(z) понимается z-преобразование любого из входных сигналов, поступающих на ДАС, а Z-1 означает обратное z-преобразование (имеются соответствующие таблицы).
Аналогично рассуждениям, проведенным при рассмотрении устойчивости непрерывных систем, можно утверждать, что для ДАС устойчивость имеет место при выполнении условия

(5.18)

Оценка устойчивости импульсной системы может быть выполнена различными способами. Аналогично непрерывным системам можно исследовать либо разностные уравнения, либо частотные характеристики.
Если переходный процесс в импульсной системе описывается разностным уравнением m-го порядка

amу[n+m]+am-1y[n+m-1]+ … +a1y[n+1]+a0y[n]=0, (5.19)

то общее решение имеет вид
(5.20)
где Ai – постоянные коэффициенты, определяемые из начальных условий, zi – корни характеристического уравнения

. (5.21)

Из (5.21) следует, что для устойчивости, то есть для выполнения условия (5.18), необходимо и достаточно, чтобы все корни уравнения (5. 21) были по модулю меньше единицы:


Это означает, что для устойчивости необходимо, чтобы все корни характеристического полинома были расположены внутри круга единичного радиуса с центром в начале координат плоскости z (рис.5.5).
Очевидно, что возникает необходимость в нахождении корней характеристического уравнения.
Аналог критерия Гурвица. Характеристическое уравнение (5.21) преобразуется подстановкой
, (5.22)
в результате чего оно приводится к виду

bmpm + bm-1pm-1 + … + b1p + b0 =0. (5.23)

Подстановка (5.22) преобразует площадь внутри единичного круга плоскости z в левую полуплоскость p (рис.5.5), после чего, применяя к (5.23) критерий Гурвица, можно судить об устойчивости системы импульсного регулирования.


p
z

-1


Рис.5.5.Круг единичного радиуса плоскости комплексного
переменного z и плоскость комплексного переменного p.

Поскольку ДАС вследствие наличия импульсного элемента реагирует не на сигнал y(t), а на сигнал y[nT], то условие устойчивости (5.18) эквивалентно тому, что стремится к нулю функция, проходящая через точки, соответствующие моментам времени t = nT, и это ещё не означает, что функция y(t) также затухает. Возможны случаи «скрытой» неустойчивости, когда несмотря на затухающий характер функции y[n] характер функции y(t) является расходящимся (рис.5.6).
y
t
y[nT]
y(t)




Рис.5.6. Проявление «скрытой» неустойчивости.

Отметим, что для импульсных систем имеются также критерии устойчивости – аналоги критериев Михайлова и Найквиста непрерывных систем.
В отношении показателей качества процессов регулирования дискретных систем соображения аналогичны таковым для непрерывных систем.