Взаимодействие объекта и регулятора. Законы регулирования

В этой части будут рассмотрены поведение неавтоматизированного объекта и объекта с различными типами регуляторов при действии одинаковых возмущений, а также будет проведен сравнительный анализ качества регулирования различных вариантов. Математическое описание регуляторов будем принимать простейшее из соответствующего класса, поскольку здесь нас интересуют в большей степени принципиальные различия, чем численные значения показателей. Будем рассматривать САР, работающую по принципу обратной связи.
Дифференциальное уравнение объекта регулирования :

(Tp +1)y = kxx +kzz, (3.88)

где z рассматривается как обобщённое внешнее возмущение. Знак при возмущении примем плюс для удобства дальнейшего анализа. Итак, если нет регулятора, то нет регулирующего воздействия, и в этом случае поведение изолированного объекта описывается уравнением

(Tp +1)y = kzz. (3.89)

В разделе «объект регулирования» рассмотрено поведение объекта при действии х. При действии z = z0 аналогично имеем следующие показатели качества регулирования для объекта без регулятора (переходный процесс – неколебательный):
kzz0 ; tпп = 3Т,

где z0 – величина скачкообразного возмущения.

Система «объект – регулятор».
1.Пропорциональный, или П-регулятор. САР описывается двумя уравнениями, первое из которых – уравнение объекта, второе – уравнение регулятора:

(Tp +1)y = kxx +kzz (3.90)
х = - kpy.

Коэффициент kp в уравнении регулятора называется коэффициентом усиления регулятора, он может быть изменён по желанию человека, и такая процедура называется настройкой регулятора. Знак минус в уравнении регулятора соответствует тому, что главная обратная связь отрицательна, это обсуждалось в теме «передаточная функция».
Исключив из этой системы х , получим уравнение САР:

[Tp + (1+kxkp)]y = kzz.

Разделив на (1+kxkp), получим

. (3.91)

Уравнение (3.91) по виду аналогично (3.89), поэтому о качестве регулирования САР с П-регулятором можно сказать следующее:
- переходный процесс неколебательный;
- установившаяся ошибка и время переходного процесса в САР
(3.92)
меньше, чем у объекта без регулятора (рис.3.30).
объект
САР
у
t



Рис.3.30. Эффект введения П-регулятора.

Увеличением коэффициента усиления регулятора достигают уменьшения обоих показателей качества. Логично возникает вопрос: возможно ли настроить регулятор на столь высокую точность регулирования, чтобы установившаяся ошибка была равна нулю? Как следует из (3.92), для этого коэффициент усиления регулятора должен быть бесконечно большим. Регуляторов с таким свойством не существует хотя бы потому, что для этого требуется бесконечно большая мощность.
Применением П-регулятора невозможно полное устранение установившейся ошибки регулирования . Практически часто обеспечивается достаточно малая ошибка, например, при регулировании частоты электроэнергии, вырабатываемой судовыми генераторами (степень неравномерности 1- 2%).

2.Интегральный, или И-регулятор. Уравнения системы:

(Tp +1)y = kxx + kzz (3.93)
рх = - kiy.

Исключая из этих уравнений x = - kiy/p, после освобождения от знаменателя получим уравнение САР:

(Tp2 + p + kxki)y = kzpz. (3.94)

Уже по уравнению регулятора видно, что установившаяся ошибка в системе равна нулю. Действительно, установившийся режим наступит, когда прекратится изменение регулирующего воздействия: x = const., тогда производная px = dx/dt = 0, следовательно, . Это можно объяснить и по уравнению САР. В его правой части имеется выражение pz= dz/dt, что при возмущении z0 = const. даёт pz0 = 0, что формально можно трактовать как исчезновение возмущения, то есть опять-таки .Регулятор является астатическим, то есть на всех установившихся режимах он поддерживает одно и то же значение регулируемой величины. Такимобразом, признаком того, что установившаяся ошибка САР равна нулю, является наличие свободного оператора дифференцирования р в левой части уравнения регулятора либо в правой части уравнения САР.
Недостатки интегрального регулятора. Дифференциальное уравнение САР оказалось второго порядка, и в системе возможны колебательные переходные процессы. При выполнении условия 1 - 4Tkxki < 0 корни характеристического уравнения Tp2 + p + kxki =0 комплексные вида
р1,2 = - a ± iw,
причём a = 1/2Т. Отсюда продолжительность переходного процесса
tпп = 3/a = 6Т,
то есть больше чем у объекта без регулятора (рис.3.31,а). Если же настройкой коэффициента усиления ki добиться, чтобы корни были вещественными, то один из них по модулю будет меньше 1/2Т, а значит, в этом случае продолжительность переходного процесса, определяемая, как указано в (3.87), будет больше 6Т (рис. 3.31,б).


САР(а)
САР(б)
t
у
объект



Рис.3.31. Эффекты введения И-регулятора.

3.Пропорционально-интегральный, или ПИ-регулятор. Уравнения системы:

(Tp +1)y = kxx +kzz (3.95)
рх = - kppy - kiy.

Здесь настроечных параметров два: коэффициенты усиления пропорциональной составляющей kp и интегральной составляющей ki. Если предположить, что kp= 0, то имеем случай И-регулятора, если же ki=0, то после сокращения на р получаем П-регулятор. Поступив уже знакомым образом, приходим к уравнению САР:

[Tp2 + (1+k x kp)p + kxki]y = kzpz. (3.96)

По аналогии с И-регулятором (свободный оператор р в правой части уравнения САР) установившаяся ошибка регулирования равна нулю. Отсюда вывод: полное устранение установившейся ошибки регулирования возможно с помощью любого регулятора, имеющего интегральную составляющую в законе регулирования. Далее, характеристическое уравнение

Tp2 + (1+k x kp)p + kxki = 0
имеет корни
.
Выбрав коэффициенты настройки так, чтобы подкоренное выражение было близким к нулю и положительным, получим два вещественных , близких по модулю корня, то есть обеспечим неколебательный переходный процесс. Выбрав, кроме того, kp достаточно большим, получим два корня, больших по модулю, что обеспечивает малую продолжительность переходного процесса (рис.3.32).

у
t
объект
САР


Рис.3.32. Эффект введения ПИ-регулятора.

Как видно, применение ПИ-регулятора позволяет получить весьма высокое качество регулирования.
Законы регулирования.
Законом регулирования называется выраженная в интегральной форме функциональная зависимость регулирующего воздействия (выходной величины регулятора) от регулируемой величины (входной величины регулятора). Законы регулирования имеют вид:
- для П- регулятора: x = - kpy;
- для И- регулятора: x=-ki ∫ ydt;
- для ПИ- регулятора: x = - kpy -ki ∫ ydt .
Наиболее общим законом регулирования является закон ПИД – пропорционально-интегрально-дифференциальный:
, (3.97)
где присутствует производная регулируемой величины и ещё один параметр настройки – коэффициент усиления дифференциальной составляющей kd. Использование сигнала по производной позволяет во многих случаях значительно повысить точность регулирования в отношении многих показателей качества. Дифференциальное уравнение ПИД- регулятора таково:

рх = - kppy - kiy ± kdp2y. (3.98)

Обратим внимание на то, что введение в закон регулирования дифференциальной составляющей требует внимательного обращения с её знаком. При неправильно выбранном знаке дифференциальной составляющей качество регулирования может, наоборот, ухудшиться, нередко вплоть до потери устойчивости. Из ПИД-регулятора как варианты получаются П-, И-, Д-, ПИ-, ПД-, ИД, наконец, ПИД-регуляторы. Следует отметить, что самостоятельно Д-регулятор не применяется, поскольку он реагирует на скорость изменения регулируемой величины и не уменьшает статическую ошибку регулирования.