Шпаргалка: математика_Latvija_LLU

1.       Pamatjēdzienipar rindām: skaitļu rindas definīcija, rindas parciālsumma,konverģences definīcija.
 Parrindu sauc virknes (a1,a2,a3,...,an,…) locekļu bezgalīgusummu.                                                                    an — rindasvispārīgais loceklis. Rindas parciālsumma-
Sn=a1+a2+ a3+...+ an. Ja parciālsummaieksistē galīga robeža, kad n=>∞ tad saka, ka rindakonverģē, pretējā gadījumā rindadiverģē. Rindu sauc par konverģentu, ja tās parciālsumma virknei ir galīgarobeža. Šo robežu sauc par konverģentas rindas summu. Japarciālsummu nav galīgas robežas, tad rindu sauc pardiverģentu. Diverģentai rindai nav summas.  2.Pozitīvusk. rindu konverģences nepieciešamā pazīme. Sn=a1+a1+...+ an-1+ an; Sn-1=a1+a1+...+ an-1; an=Sn — Sn-1;Pieņēmums: rinda konverģē                    ;                                                                                    ja rinda konverģē, tad robeža kad n=>∞ ir 0.
2.       Pozitīvu sk. rindu konverģencespietiekamās pazīmes.
a) Salīdzināšanas pazīme:                 0≤an≤bn, a) ja rinda          konverģē=>         konverģē. b) jarinda          diverģē =>        diverģē. c) ja                         ,k≠±∞;k≠0, tad abas
rindas uzvedas vienādi. b) Dalambērapazīme:                         ,S1 rinda diverģē, S=1pazīme nedod atbildi. c) Košī pazīme                   , S1 rinda diverģē, S=1 jāņem citapazīme. d) Integrālā pazīme:                     ,S=∞,0 rindadiverģē, citādi konverģē.
3.       Alternējošās rindas, Leibnicapazīme, absolūtā un nosacītā konverģē  nce.
Rindu sauc par alternējošu, ja jebkuriemrindas blakus locekļiem ir pretējas zīmes: u1-u2+u3-...+(-1)n-1un+...,kur burti u1,u2,u3,...apzīmēpozitīvus sk., ir maiņzīmju rindas. Leibnica pazīme:Maiņzīmju  rindakonverģē, ja tās locekļi tiecas uz nulli, visu laikudilstot pēc absolūtās vērtības. Tādas rindasatlikumam ir tāsda pati zīme kā pirmajam atmetajam loceklim untas ir mazāks par to pēc absolūtās vērtības.Rinda konverģē, ja izpildās divi nosacījumi: 1) an>an+1,2)                 . Absolūtāun nosacītā konverģence: Rinda u1+u2+...+un+…(1) katrā ziņa konverģē, ja konverģēpozitīva rinda |u1|+|u2|+...+|un|+...  (2), kas sastādīta no dotāsrindas locekļu absolūtajām vērtībām. Dotāsrindas atlikums pēc absolūtās vērtībasnepārsniedz atbilstošo rindas (2) atlikumu. Dotās rindas summa Spēc absolūtās vērtības nepārsniedz rindas (2)summu S’, t.i., |S|≤S’. Vienādība ir tikai tad, ja visiemrindas (1) locekļiem ir viena un tā pati zīme. Definīcijas:Rindu sauc par absolūti konverģentu, ja konverģē rinda, kassastādīta no tās locekļu absolūtajāmvērtībām. Rindu sauc par nosacīti konverģentu, jatā konverģē, bet rinda, kas sastādīta no tāslocekļu absolūtajām vērtībām, diverģē.
4.       Pakāpju rinda, tās konverģencesintervāls, Ābela teorēma.Par pakāpju rindu saucšāda veida rindu: a0+a1x+ a2x2+...+anxn+… (1) un arīvispārīgākā veidā: a0+ a1(x-x0)+a2(x-x0)2+ ...+an(x-x0)n+…(2), kur x0ir patstāvīgs lielums. Par rindu (1) saka, katā ir attīstīta pēc x pakāpēm, par rindu (2), katā attīstīta pēc x-x0 pakāpēm.Konstantes a0, a1,..., an,… sauc parpakāpju rindas koeficentiem. Pakāpju rinda vienmērkonverģē vērtībai x=0. Attiecībā uzkonverģenci citos punktos var rasties trīs gadījumi: a) vargadīties, ka pakāpju rinda diverģē visos punktos,izņemot x=0. Tāda, piem, ir rinda x+22x2+33x3+...+nnxn+...,kurai vispārīgais loceklis nnxn=(nx)npēc absolūtās vērtības neierobežoti aug,sākot ar momentu, kad nx kļūst lielāks par vienu.Tādām pakāpju rindām praktiskas nozīmes nav. b)Pakāpju rinda var konverģēt visos punktos. Tāda, piem, irrinda: 1+x+(x2/2!)+ (x3/3!)+...+(xn-1/(n-1)!)+...,kuras summa jebkurai x vērtībai ir vienāda ar ex. c)Tipiskajā gadījumā pakāpju rinda vienā punktukopā konverģē, citā-diverģē. Pakāpju rindas:a0+ a1x+ a2x2+...+anxn+…konverģences apgabals ir kāds intervāls (-R;R), kas irsimetrisks attiecībā pret punktu x=0. Dažreiz tanījāieskaita abi gali x=R, x=-R, dažreiz tikai viens, bet dažreizabi gali jāizslēdz. Intervālu (-R;R) sauc par pakāpjurindas konverģences intervālu, pozitīvo sk. R parkonverģences rādiusu. Ābela teorēma: Ja pakāpju rindaa0+ a1x+ a2x2+...+anxn+…konverģē (absolūti vai nosacīti) kādā punktāx0, tad tā konverģē absolūti unvienmērīgi jebkurā slēgtā intervālā (a,b),kas atrodas intervāla (-|x0|,+|x0|)iekšienē.
5.         Funkcijuizvirzīšana pakāpju rindā. Teilora un Maklorena rinda.
Ja funkciju f(x) var izvirzīt pakāpjurindā a0+ a1(x-x0)+ a2(x-x0)2+...+an(x-x0)n+..., tad izvirzījums irviens  vienīgs un rinda sakrītar Teilora rindu, kas attīstīta pēc x-x0.pakāpēm. Teilora rinda: Par Teilora rindu (kas attīstītapēc x-x0 pakāpēm) funkcijai f(x) sauc pakāpjurindu: f(x0)+(f’(x0)/1)(x-x0)+ (f’’(x0)/2!)(x-x0)2+...+(fn(x0)/n!)(x-x0)n+...,ja x0=0, tad Teilora rindai (attīstītai pēc xpakāpēm) ir izskats: f(0)+(f’(0)/1)x+ (f’’(0)/2!)x2+...+(fn(0)/n!)xn+…Maklorena rinda: Pamatojoties uz Teilora rindu:
6.        Pakāpju rindu lietojumi.
F-ju vērtības tuvinātoaprēķināšana:                          1+(1/2)+ (1/8)+(1/8*6)+ (1/16*2)+ (1/32*120)                  ,E=10-3. Robežu aprēķināšana:x=>0; ex~1+x; sinx~x;
cosx~1-(x2/2); (1+x)2~1+2x;ln(1+x)~x; arctgx~x. Integrāļu tuvinātaaprēķināšanai:                    ; E=10-3;                                             ; Diferenciālvienādojumstuvināta atvasināšana:                              .
7.       Furjērinda. Funkciju izvirzīšana Furjē rindā.
Furjē rinda: f(x)~(a0/2)+a1cosx+ b1sinx+a2cos2x+ b2sin2x+...,                                         ;                                      . 


9. Divkāršāintegrāļa definīcija un aprēķināšana Dekartakoordinātēs.D: Robeža uz kuru tiecas summa                                                                                                     ,kad lielākais parciālo apgabalu diametrs tiecas uz nulli,sauc par divkāršo integrāli no funkcijas f(x,y) pa apgabalu D.Apzīmējums
Apgabalu D, sauc par regulāru pēc x, ja novelkot jebkurāvietā līniju x=c, tā krusto apgabala D robežu nevairāk, kā 2 reizes. Vispārregulārs – regulārspēc x un y Aprēķināšana Dekarta koordinātēs  ds=dxdy                                                       
10. Divkāršā integrāļaaprēķināšana polārajās koordinātēs.                                                        f(x,y)=f(rcosj,rsinj)=F(r,j)  DS»Dr*rDjdS=r*dr*dj
11. Divkāršā integrāļa pielietojums.1.plaknesfigūras lauk.      aprēķināšana  2. Tilpumaaprēķināšana z=z(x,y)  3. Plaknesfigūras(nehomogēnas) aprēķināšana r=r(x,y)  4. Plaknes figūrasmasas centra aprēķināšana c(xc,yc) Ioy — statiskais moments attiecībā pret y asi  


12. Trīskāršāintegrāļa definīcija un aprēķināšana Dekartakoor  dinātēs ,lietojumi.D:Pieņemsim, ka punkta P(x,y,z) funkcija f(x,y,z) ir nepārtrauktatelpas apgabala D iekšienē un uz tā robežas. Sadalām Dn daļās; to tilpumus apzīmēsim ar Dv1, Dv2,..., Dvn. Katrādaļā ņemsim punktu un sastādīsim summu Sn=f(x1,y1,z1)Dv1+ f(x2,y2,z2)Dv2+...+f(xn,yn,zn) Dvn. Robežu uz kuru tiecas Sn, kadlielākais parciālo apgabalu diametrs tiecas uz nulli, sauc parfunkcijas f(x,y,z) trīskāršo integrāli pa apgabalu D.Aprēķināšana Lietojumi 1. Tilpuma aprēķināšana  2. Nehomogēnaķermeņa masas aprēķināšana
13. Pirmā veida līnijintegrāļi, toaprēķināšana, lietojumi.  1) y=y(x),   ,ja dota parametriski,tad  14. Otrāveida līnijintegrāļi, to aprēķināšana,lietojumi. 1) y=y(x), dy=y’dx   ,ja dots parametriski,tad   , ja līnija L irnoslēgta, tad Grīna formula  Līnijintegrāļu pielietojums1)darba apr. 2) līnijas lokagarumu apr.  3)masunehomogēnai līnijai apr. 15. Pirmā veida virsmas integrāļi, toaprēķināšana, lietojumi.  ,aprēķinašķidruma plūsmu caur virsmu  16. Otrā veidavirsmas integrāļi, to aprēķināšana,lietojumi.    aprēķinašķidruma plūsmu caur virsmu


17.Skalāraislauks. Atvasinājums dotajā virzienā.Ja katraapgabala d punktam, katrā laika momentā t, pēc noteikta likumapiekārtu funkciju u, tad saka, ka ir dots skalārs lauks u=u(x,y,z,t)(1)
Ja f-ja nav atkarīga not, tad lauku sauc par stacionāru u=u(x,y,z) (2) Atvasinājumsdotajā virzienā    
u=u(x,y,z) u(M0),u(M)   Du= u(M)-u(M0)   18. Skalāra lauka gradients, tāfizikālā nozīme. Vektoru kura virzienāskalārā lauka izmaiņas ātrums ir vislielākais, saucpar skalārā lauka gradientu grad u 19. Vektoru lauks. Vektoru lauka plūsma, tāfizikālā nozīme. Ja kādā telpas apgabalākatram punktam, katrā laika momentā t ir piekārtots noteiktsvektoriāls lielums, tad saka ka ir dots vektoriāls lauks   (1)     (2)  20. Vektoru lauka diverģence,tās fizikālā nozīme.  Par vektoru lauka diverģenci saucrobežu no plūsmas un tilpuma attiecības, kad apgabala diametrstiecas uz 0    (1)  (2)
21.Vektoru laukacirkulācija, tās aprēķināšana. Par vektoru laukacirkulāciju sauc līnijintegrāli pa slēgtu līniju.Vektoru lauka rotors, tā fizikālānozīme. Par vektoru lauka a rotoru sauc sekojošo determinantu.   
Potenciāls lauks. Vektoru lauku a saucpar potenciālu, ja tas ir vienāds ar kāda skalārālauka gradientu
 
 

25.Stīgas svārstību vienādojums. d2u/dt2=a2*d2u/dx2 –stīgassv. vien. Atrisinājums
 
 

26.Siltumvadīšanasvienādojums. d2u/dt=a2*d2u/dx2 –silt.vad. vien.
 
27. Parciālie diferenciālvienādojumi,Košī problēma, Dirihlē problēma, jaukta veidaproblēma