Пропорциональное (усилительное) звено. Передаточная функция пропорционального звена равна
W(p) = k.
График переходной функции усилительного звена приведен на рисунке.
к h(t)
1 1(t) 0 t
Рис.45 Переходная функция пропорционального звена
Интегрирующее звено.
Передаточная функция интегратора:
W( p) = k/ p.
где k = 1/Т – коэффициент усиления интегратора.
Реакция интегрирующего звена на входной сигнал 1(t) имеет вид:
h(t) = k ⋅ t при t ≥ 0.
Таким образом, переходная функция звена имеет вид наклонной прямой, исходящей из нуля под углом α, k = tg α.
 |
h
h(t)
1 1(t)
α
0 T t
Рис. 46. Переходная функция интегрирующего звена
Переходная функция интегратора линейно растет с течением времени. Скорость роста обратно пропорциональна постоянной времени интегратора. Выходной сигнал интегратора достигает уровня ступенчатой функции за время, равное постоянной времени Т интегратора. Это позволяет определять постоянную времени интегратора по его экспериментально снятой характеристике.
Примером интегрирующего звена может служить емкость, наполняющаяся жидкостью, емкости (электрическая и гидравлическая), вал двигателя, угол поворота которого пропорционален интегралу от частоты вращения и
Дифференцирующее звено.
Передаточная функция этого звена равна:
W( p) = k ∙ p .
Переходная функция h(t) есть производная от единичной функции 1(t) . Это есть δ(t) -функция, то есть d1(t)/ d t = δ(t) .
График переходной функции имеет вид:
h(t)
t Рис.47 . Переходная функция интегрирующего звена
Различают идеальное и реальное дифференцирующие звенья. Идеальное дифференцирующее звено реализовать невозможно, так как величина всплеска выходной величины при подаче на вход единичного ступенчатого воздействия всегда ограничена. На практике используют реальные дифференцирующие звенья, осуществляющие приближенное дифференцирование входного сигнала.
Его уравнение: y(Tp + 1) = kTpx. При малых Т звено можно рассматривать как идеальное дифференцирующее.
При подаче на вход единичного ступенчатого воздействия выходная величина оказывается ограничена по величине и растянута во времени . По переходной характеристике, имеющей вид экспоненты, можно определить передаточный коэффициент k и постоянную времени Т.
Переходная функция реального дифференцирующего звена имеет разрыв в точке t = 0 ; при t → ∞ функция h(t) → 0 .
h(t)
k
1(t)
t
T
Рис.48 . Переходная функция реального дифференцирующего звена
Примерами таких звеньев могут являться четырехполюсник из сопротивления и емкости или сопротивления и индуктивности. Дифференцирующие звенья являются главным средством, применяемым для улучшения динамических свойств САУ.
Звено запаздывания.
Передаточная функция звена запаздывания:
W( p) = e - p τ , или y(t)=x(t- τ)
Переходная функция звена запаздывания h(t) = 1(t −τ ) . График функции приведен на рисунке.
h(t)
τ t
Рис.49 Переходная функция звена запаздывания
Примером звена запаздывания может служить транспортный конвейер, где входное воздействие x (t) – поток материала поступающий на конвейер, выходная переменная y(t) – поток материала уходящий с конвейера. Запаздывание определяется как:
τ = L / v , где L– расстояние между местом подачи материала на конвейер и местом его сброса с конвейера; v- скорость конвейера, уравнение связывающее y (t ) и x (t):
y(t) = x (t –τ) . 
Апериодическое звено (инерционное звено первого порядка).
Передаточная функция апериодического звена равна:
W( p) = k/ (Tp + 1).
Переходная характеристика апериодического звена представлен на рисунке. Такой процесс называется монотонным, он близок к апериодическому.
h(t)
К
t
0 T 3Т
Рис.50 . Переходная функция апериодического звена
Коэффициент усиления звена определяет уровень, к которому стремится переходная характеристика с течением времени. Касательная, проведенная в начале координат к переходной характеристике, пересекает этот уровень в момент времени, равный постоянной времени апериодического звена Т.
Апериодическое звено не сразу, а постепенно реагирует на ступенчатое воздействие, в этом и проявляется его инерционность, которая численно может характеризоваться величиной постоянной времени, поскольку переходный процесс заканчивается примерно за 3Т. За время 3Т переходная характеристика достигает 95% уровня, к которому она стремиться при стремлении времени к бесконечности. Примерами могут служить: термопара, электродвигатель.
Колебательное звено (Инерционное звено второго порядка).
Передаточная функцияколебательного звена имеет вид:
W( p) = k/ (T12p2 + Т2р+1).
График переходной функции колебательного звена приведен на рисунке.
 |
h(t)
k
t
0 τ
Рис.51 . Переходная функция колебательного звена
С течением времени значения характеристик стремятся к величине коэффициентов усиления звеньев. При δ > 1 колебательность переходной функции исчезает, функция становится апериодической. Примерами колебательного звена могут служить пружина, имеющая успокоительное устройство, электрический колебательный контур.
ЛИТЕРАТУРА
1. Афанасьев М.Ю., Багриновский К.А., Матюшок В.М. Прикладные задачи исследования операций: Учеб. пособие. – М.: ИНФРА- М, 2006. – 352 с. – (Учебники РУДН).
2. Беляев И.П. Основы теории принятия решений. Курс лекций. – М.: МГСУ, 2005. – 275 с.
3. Венцель Е.С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология : учеб. Пособие для вузов/Е.С. Венцель. 4-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2006,[2] с. : ил.
4. Гальперин М.В. Автоматическое управление: учебник. – М.: ИД «ФОРУМ»: ИНФРА-М, 2007. – 224 с.: ил. – (Профессиональное образование).
5. Горюнов В.И., Зарубин Ю.В. Основы имитационного моделирования: Конспект лекций/ Моск. инж.-строит. ин-т им В.В. Куйбышева. тМ.: МИСИ, 1989. 58 с.
6. Кимбл Г. Как правильно пользоваться статистикой/Пер. с англ.. Б.И. Клименко.- М.: Финансы и статистика, 1982.-294 с.
7. Куликов Ю.Г., Шеховцова Н.Ф., Зикеева Л.П. Экономико–математические методы и модели (раздел «Линейное программирование»): Учебное пособие для практических занятий. – М.: Московский психолого-социальный институт; Воронеж: Издательство НПО «МОДЭК», 2000. – 96 с.
8. Моделирование систем: Учеб. для вузов/ Б.Я. Советов, С.А. Яковлев. – 5-е изд., стер.- М.: Высш. шк.., 2007. – 343 с.: ил.
9. Мышкис А.Д. Элементы математических моделей. Изд. 3-е, исправленное. М.: КомКнига, 2007.-192 с.
10. Новожилов Б.В. Метод Монте-Карло. – М.: Знание, 1966. - 48 с.
11. Основы автоматизации техпроцессов: учеб. пособие/ А.В. Щагин, В.И. Демкин, В.Ю. Кононов, А.Б. Кабанова. – М.: Высшее образование, 2009. – 163 с. – (Основы наук).
12. Просветов Г.И. Математические методы в экономике : Учебно-методическое пособие. 3-е изд. – М.: Издательство РДЛ, 2007. – 160 с.
13. Савин М.М. Теория автоматического управления: учеб. пособие. – Ростов н. Д. : Феникс, 2007. – 469 с. ил. – (Высшее образование)
14. Таха, Хемди А. Введение в исследование операций, 7-е издание. Пер. с англ. – Ь.: Издательский дом «Вилиямс», 2005. – 912 с.
15. Тростников В.Н. Дифференциальные уравнения в современной науке. – М.: Знание, 1966. – 48 с.
16. Трофимов Е.А. Математические модели с конечной точностью. – Монография. -М.: Издательство Ассоциации строительных вузов, 2009. – 89 с.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение........................................................................................................... 4
ТЕМА 1. Моделирование как метод научного познания.
Основные понятия и определения.............................................................. 5
1.1.Объекты моделирования........................................................................ 5
1.1.1. Основные понятия общей теории систем...................................... 5
1.1.2.Структурная организация систем.................................................... 6
1.1.3. Функциональная организация систем............................................ 8
1.1.4. Виды систем........................................................................................... 8
1.2. Системный анализ – основа методологии моделирования...... 11
1.3.Моделирование. Основные понятия и определения................... 11
1.4.Цели моделирования............................................................................ 12
1.5. Формальная схема моделирования ............................................... 14
ТЕМА 2. Многообразие моделей процессов и систем …..................18
2.1. Общая классификация........................................................................ 18
2.2. Физические модели.................................................................. ………19
2.3. Виртуальные модели............................................................. ………19
2.4. Абстрактные модели............................................................... ………20
ТЕМА 3. Математические модели и их свойства...............................21
3.1. Классификация по видам математического аппарата………. 23
3.2. Классификация по предметным областям..................................... 25
3.3. Другие виды классификации........................................................ ….26
3.4. Основные свойства математических моделей............. …………27
3.5. Востребованность моделей................................................... ………33
ТЕМА 4. Модели задач исследования операций...... ..........................36
4.1.Основные положения............................................................... ………36
4.2. Линейное программирование............................................... ………38
4.3. Транспортная задача............................................................. ………42
4.4. Задача управления запасами............................................... ………48
4.5. Моделирование задач линейного программирования
в среде EXCEL................................................................................. ………54
ТЕМА 5.Имитационное моделирование...................... ..........................57
5.1. Объекты имитационного моделирования......................... ………57
5.2. Оптимизация решения задач моделирования.................. ………58
5.3. Метод Монте-Карло............................................................... ………59
5.4. Математические схемы случайностей.............................. ………61
5.4.1. Моделирование одиночного случайного события..... ………62
5.4.2. Моделирование двух независимых случайных событий.. …64
5.4.3. Моделирование двух зависимых случайных событий...... …64
5.4.4. Моделирование случайного события из полной
группы событий................................................................................ ………65
5.5. Моделирование случайных величин.......................................... …69
5.5.1. Моделирование дискретной случайной величины............. …70
5.5.2. Моделирование непрерывной случайной величины.......... …72
5.6. Оценка точности результатов моделирования........................ …73
5.7. Примеры построения имитационных моделей......................... …74
5.7.1. Вычисление числа π.................................................................... …74
5.7.2. Построение имитационной модели управления запасами …77
5.7.3. Пример имитационной модели системы массового
обслуживания........................................................................................... …82
ТЕМА 6.Модели систем управления технологическими
процессами........................................................................... ..........................87
6.1. Основные понятия и определения.................................................... 87
6.2. Задачи автоматического управления............................................. 90
6.3. Архитектура САУ технологическим процессом.......................... 88
6.4. Моделирование САУ........................................................................... 96
6.4.1. Функциональные схемы САУ......................................................... 96
6.4.2. Типовые функциональные схемы.................................................. 99
6.4.3. Структурные схемы линейных САУ.......................................... 103
6.4.4. Типовые звенья................................................................................ 106
6.4.5. Преобразование структурных схем........................................... 110
6.5. Исследование моделей САУ............................................................ 111
6.5.1. Режимы работы САУ...................................................................... 111
6.5.2. Характеристики линейных систем............................................. 114
6.5.3. Типовые звенья линейных систем.............................................. 117
Литература................... ………………………………….......................122