Аналитическое описание дискретных сигналов

Реально, при цифровой фильтрации, непрерывный сигнал s(t) описывается на интервале времени (0, Т0) совокупностью N отсчетов, следующих через интервал Tд, т.е.N=T0/Tд. Такую выборку можно считать одним периодом периодического сигнала и для ее спектрального описания применить ряд Фурье. Используем модель импульсного сигнала на периоде и представим импульсный периодический сигнал в виде ряда Фурье
,
где ; .
Подставляя выражение для sи(t), далее находим
.

Это и есть прямое дискретное преобразование Фурье (прямое ДПФ) (спектр дискретного сигнала).
Соответствующее выражение для дискретного сигнала имеет следующий вид
.
Это обратное ДПФ. В этой формуле сумма конечна, так как дискретный сигнал содержит конечное (N) число гармоник. Период сигнала равен Т0=NТД.
Для восстановления действительного сигнала необходимо вычислить конечную сумму:
,
где - фазовый угол соответствующей спектральной составляющей ряда Фурье.
При спектральном анализе для реализации алгоритма ДПФ на ЭВМ используют быстрое преобразование Фурье (БПФ), позволяющее во многих случаях производить обработку сигналов в реальном масштабе времени.
Формула соответствующего дискретного преобразования Лапласа (ДПЛ) имеет вид:
.
Во временной области такому изображению соответствует дискретный сигнал , соответствующий одному периоду (суммирование одного периода в ряде обратного преобразования Фурье).
Рассмотренные функциональные преобразования дискретного сигнала полезны с точки зрения установления связи с соответствующими преобразованиями непрерывных сигналов, но они достаточно сложны. Можно функциональные преобразования дискретных сигналов упростить, соответствующим выбором формы ряда.
Например, для функционального преобразования использовать степенной ряд комплексной переменной z , т.е. ряд следующего вида

Это Z-преобразование дискретного сигнала. Обозначим далее .
Очевидно, степенной ряд должен быть сходящимся, чтобы существовало
Z-преобразование. Для конечного числа отсчетов сумма будет конечной и существование
Z-преобразования будет обеспечиваться автоматически.
Обратное Z-преобразование дается следующей формулой

Составлены таблицы Z-преобразований. Сравнивая формулы ДПЛ и Z-преобразования, находим, что они будут совпадать при условии , т.е. когда Z-преобразование определяется на единичном круге. Поэтому часто Z-преобразование рассматривают, как переход от переменной «p» к переменной Z=ерТД в дискретном преобразовании Лапласа. При этом p-плоскость переходит в Z-плоскость, как показано на рис. 6.3. Левая
р-полуплоскость переходит в круг единичного радиуса, а правая р-полуплоскость во всю остальную часть Z-плоскости. Действительно, используя формулу Эйлера, можно получить
.



Рис. 6.3
Если (устойчивые системы), то Z лежит внутри единичного круга. Именно поэтому единичный круг имеет важное значение при исследовании дискретных ЭЦ.
Рассмотрим для примера решения нескольких тестовых заданий.
ТЗ№1.
Комплексная переменная Z-преобразования связана с переменной преобразования Лапласа зависимостью … .
а) z= 1/epТД, б) lnz=pTД, в) z= epTД, г) z= epTД, д) z=pTД,
Решение основано на знании соотношения между переменными преобразования Лапласа и Z-преобразования z=ерТД . Тогда правильный ответ будет б) и г).
ТЗ№2.
Точка р-плоскости pi= … соответствует точке Z-плоскости zi= , если интервал дискретизации Тд=1с.
а) j, б) 0+j , в) 1+j, г) , д) 0+j , е) - Решение основано на знании двух соотношений: р=σ+jω и . Тогда из второго равенства для точки на Z-плоскости zi= находим и . Из этих уравнений находим и ; , при условии ТД=1с. Отсюда легко получить, что σ = 0, а ω = , т.е. рi = 0+j . Таким образом, правильный ответ будет д). Конечно, можно, найдя условие σ = 0, сразу для рассмотрения оставить два конкурирующих ответа б) и д), так как только у них σ = 0.