Синтез фильтров по рабочим параметрам. Фильтры Баттерворта и Чебышева

Электрическим фильтром называют четырехполюсник, пропускающий электрические колебания в определенной полосе частот, называемой полосой пропускания (ПП) и не пропускающий электрические колебания в другой полосе частот, называемой полосой задерживания (ПЗ). Фильтры являются частным случаем четырехполюсников. Поэтому они также описываются характеристическими либо, что чаще, рабочими параметрами. Рабочие параметры предусматривают обеспечение ослабления в полосе пропускания ниже определенного уровня, а в полосе задерживания – выше определенного уровня. Это лучше соответствует основному назначению фильтров.
По характеру зависимости модуля их комплексной передаточной функции (АЧХ) от частоты Н(f) электрические фильтры подразделяются на фильтры: нижних частот (ФНЧ), верхних частот (ФВЧ), полосовые (ПФ) и режекторные (РФ). На рис. 29.1 приведены идеальные амплитудно-частотные характеристики соответствующих фильтров.


Рис.3.1
Показанные на рис. 3.1 АЧХ потому являются идеальными, что фильтры с такими характеристиками идеально соответствуют своему назначению. Однако характеристики реальных фильтров могут значительно отличаться от приведенных на рисунке. Граничные частоты fГ определяют границы полос пропускания и задерживания.
Структурное обозначение ФНЧ, ФВЧ, ПФ и РФ представлено на рис. 3.2


Рис. 3.2
Перечеркнутая волнистая линия обозначает своим расположением тот диапазон частот, который задерживается фильтром. Например, у ФНЧ задерживаются верхние частоты и так далее.
Одним из основных параметров фильтра является зависимость его рабочего ослабления от частоты. Рабочее ослабление фильтра показывает, на сколько децибелл полная мощность, выделяемая в нагрузке на его выходе, меньше полной максимальной мощности, которую может отдать источник в согласованную нагрузку. Рабочее ослабление оценивается в децибелах и определяется следующей формулой

Рабочая комплексная передаточная функция непосредственно связана с рабочим ослаблением фильтра следующим соотношением
или .
Большинство фильтров относятся к линейным цепям с сосредоточенными параметрами, поэтому их передаточные функции являются дробно-рациональными. Используя различные методы аппроксимации идеальных передаточных функций дробно-рациональными функциями (например, по Тейлору, по Чебышеву, метод наименьших квадратов и другие), можно получить разнообразные полиномиальные функции фильтрации. В зависимости от аппроксимирующей функции (функции фильтрации) фильтры делятся на фильтры Баттерворта, Чебышева, Золотарева, Кауэра, Гаусса и другие.
Функция фильтрации однозначно связана с передаточной функцией и, например, для ФНЧ определяется следующей формулой
, (3.1)
где ε – коэффициент неравномерности ослабления, - нормированная (безразмерная) частота, - граничная частота полосы пропускания.
На рис. 29.3 для примера показан график функции фильтрации идеального ФНЧ

Рис. 3.3
При изменении нормированной частоты от 0 до 1 функция фильтрации равна нулю, а для частот больших 1 функция фильтрации стремится к бесконечности. Если подставить эту функцию в выражение (3.1), то в результате получим АЧХ идеального ФНЧ, показанную на рис. 3.1.
При расчете фильтров используют результаты синтеза для нормированных сопротивлений и частот. Такой подход при синтезе делает эти результаты универсальными, т.е. их можно использовать для самых разнообразных исходных данных.
Нормирование - деление исходной величины на эталон. В качестве эталонного (нормирующего) сопротивления R0 выбирают сопротивление нагрузки, т.е. R0=RН. Тогда, например, некоторое нормированное операторное сопротивление будет определяться следующим соотношением.

В качестве эталонной (нормирующей) частоты w0 выбирают граничную частоту полосы пропускания или среднегеометрическое значение двух таких частот, т.е. нормированной частотой будет

На рис. 3.4 показаны графики рабочего ослабления для ФНЧ и ПФ.


Рис. 3.4
Для ФНЧ нормирующей частотой будет полоса пропускания, а для ПФ среднегеометрическое значение нижней и верхней полос пропускания, как показано на рис. 3.4