Основы синтеза цифровых фильтров

Выражения для системных (передаточных) функций КИХ и БИХ фильтров позволяют получить самые разнообразные частотные характеристики фильтров. Однако необходимо учитывать, что принципиально невозможно создать ЦФ, частотные характеристики которого в точности повторяли бы характеристики аналогового фильтра-прототипа (АФ-прототипа). Это объясняется тем, что АЧХ и ФЧХ ЦФ являются периодическими функциями частоты, причем период определяется интервалом дискретизации по времени . В то же время, можно так выбрать интервал , что интервал частот аналоговой цепи преобразуется в отрезок частоты цифровой цепи при сохранении общего вида АЧХ и ФЧХ. Это условие следует из теоремы отсчетов: , где - верхняя частота (частота задерживания) АФ – прототипа. Однако, если необходимо использовать фильтр для фильтрации сигнала из помех или разделения сигналов по частоте, то частота дискретизации должна определяться верхней частотой сигнала или помех. В противном случае помехи попадут в следующий период АЧХ цифрового фильтра. Далее, если известна операторная передаточная функция АФ-прототипа H(p), то заменой переменной можно получить передаточную (системную) функцию БИХ фильтра. Для этого в выражении H(p) необходимо подставить .
Однако реализовать такую системную функцию с помощью структуры БИХ фильтров не удастся, поскольку они имеют дробно-рациональные передаточные функции, а замена переменной даст трансцендентную функцию, так как H(p) также дробно-рациональная функция.
Если частота дискретизации выбрана правильно, т.е. , то можно воспользоваться билинейным преобразованием:

где γ = , fП – полоса пропускания АФ-пототипа, fД –частота дискретизации.
Билинейное преобразование приведет к тому, что, во-первых, частотные характеристики АФ-прототипа и ЦФ будут совпадать, а, во-вторых, системная функция будет дробно-рациональной. Приближение будет тем точнее, чем меньше ωТД, т. е. на низких частотах и при достаточно малом интервале дискретизации ТД. Именно при этих условиях характеристики АФ и ЦФ будут совпадать. Если воспользоваться билинейным преобразованием без учёта ограничений “теоремы отсчётов” (теоремы Котельникова), то проведённый синтез может не дать требуемого результата. Это объясняется тем, что реальные фильтры-прототипы имеют непрерывную АЧХ во всём диапазоне частот. Поэтому теоретически всегда АЧХ синтезированного ЦФ будет отличаться от непрерывной АЧХ прототипа, особенно в области верхних частот из-за эффекта перекрытия.
Таким образом, процедура синтеза ЦФ состоит в том, что в передаточной функции аналогового фиьтра-прототипа осуществляется замена переменной по формуле билинейного преобразования. Полученная системная функция будет дробно-рациональной и позволяет использовать структуру КИХ или БИХ фильтра для технической реализации цифрового фильтра.
Синтез КИХ-фильтров, отличающихся большим быстродействием по сравнению с БИХ-фильтрами, чаще основан на методе инвариантности импульсной характеристики. Поскольку АФ-прототип имеет бесконечную во времени убывающую импульсную характеристику, то задача синтеза заключается в правильном ограничении числа отсчетов характеристики N в выражении H(z). Ограничение числа отсчетов импульсной характеристики эквивалентно ее умножению на функцию “окна”. В простейшем случае это может быть прямоугольная функция, которая приводит к простому ограничению числа отсчетов. Однако в этом случае возникают искажения АЧХ фильтра (эффект Гиббса), что приводит к уменьшению ослабления в полосе задерживания фильтра. Поэтому необходимо применять функции “окна” без разрыва непрерывности, например, функцию Хэмминга
W(t)= .
Тогда импульсная характеристика быстродействующего ЦФ в формуле будет определяться как .
В качестве примера решения тестового задания рассмотрим типичное ТЗ.
Необходимо определить передаточную функцию и структуру цифрового фильтра, имеющего импульсную характеристику:
h(k)={1;-1;2}
Используя выражение для передаточной функции находим



Этой передаточной функции соответствует структурная схема, приведенная на
рис. 7.4

Рис. 7.4
Тема 3. Цепи с распределенными параметрами