Аналитическое описание цифровых электрических цепей

Центральной задачей обработки цифровых сигналов является цифровая фильтрация, которая осуществляется цифровым фильтром (ЦФ). ЦФ – является частным случаем цифровой ЭЦ. Таким образом, ЦФ – это цифровая ЭЦ, осуществляющая цифровую фильтрацию сигнала. Далее будем рассматривать только линейные ЦФ с постоянными параметрами, т. е. стационарные линейные ЦФ, которые для краткости будем называть просто «ЦФ».
В рамках основ теории ЭЦ в качестве оценки сигнала при обработке принимается линейный оператор - свертка входного сигнала и импульсной характеристики цепи.
Таким образом, свертка определяет линейную фильтрацию сигнала. Поскольку по определению фильтр осуществляет фильтрацию сигнала, то часто фильтром называют все, что осуществляет свертку, т.е. это может быть и схемотехническое устройство, и вычислительный процесс (программа).
Аналогия Z-преобразования и дискретных преобразований Фурье и Лапласа позволяет использовать основные методы анализа непрерывных ЭЦ применительно к исследованию цифровых ЭЦ. Рассмотрим основные из этих методов.
Временной метод связан с таким понятием как импульсная характеристика. Импульсной характеристикой ЦФ называется его реакция на единичный импульс r (k) и обозначается h(k). Единичный импульс определяется следующим образом: если k=0, то
r (k)=1, если k>0, то r (k)=0. Отсюда следует, что для физически реализуемого ЦФ при k<0. Тогда, используя понятие дискретной свертки, находим сигнал на выходе ЦФ с импульсной характеристикой :
= ,
где s1(∙) и s2(∙) сигнал на входе и выходе фильтра.
Переходная характеристика ЦФ - g(k) это его реакция на дискретную единичную функцию 1(k).
Частотный метод связан с таким понятием как комплексная передаточная функция.
Комплексная передаточная функция цифрового фильтра H(jn) это отношение дискретного преобразования Фурье (ДПФ) сигнала (спектра дискретного сигнала) на выходе C2(jn) к дискретному преобразованию входного сигнала C1(jn), т.е.
H(jn) = C2(jn) / C1(jn).
Далее, находим

.
Таким образом, комплексная передаточная функция цифрового фильтра H(jn) равна дискретному преобразованию Фурье от его импульсной характеристики.
Операторный метод связан с таким понятием как передаточная функция ЦФ.
Передаточная функция цифрового фильтра H(z) это отношение Z-преобразований выходного сигнала S2(z) к входному сигналу S1(z), т.е.

H(z) = S2(z) ∕ S1(z).
По аналогии можно сделать вывод, что передаточная функция цифрового фильтра H(z) равна Z- преобразованию от его импульсной характеристики
.
Используя полученные формулы, можно эффективно исследовать и установившийся и переходный режимы работы цифровых фильтров.
В качестве примера решения тестовых заданий рассмотрим наиболее типичное ТЗ. Например, необходимо определить выходное напряжение дискретной цепи с импульсной характеристикой рис. 6.4, если входное напряжение задано.


Рис. 6.4
Решение основано на знании формулы дискретной свертки. Тогда сигнал на выходе дискретной цепи с известной импульсной характеристикой (эта характеристика приведена в виде графика) определяется по формуле свертки

.
В тестовом задании требуется найти коэффициенты перед членами uвх(∙). Они определяются значениями импульсной характеристики h(0) и h(1). Из графика импульсной характеристики видно, что эти коэффициенты будут равны 2 и -1.