Анализ проблем использования математических моделей для снижения уровня неопределенности принятия УР

МИНЕСТЕРСТВООБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
КГТУ им. А.Н.ТУПОЛЕВА
КАФЕДРАСОЦИОЛОГИИ,
ПОЛИТОЛОГИИ ИМЕНЕДЖМЕНТА.
Гуманитарныйфакультет №7КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
 ПО ПРЕДМЕТУ :
Разработка управленческих решений
на тему:
«Анализ проблем использования математических моделейдля снижения уровня неопределенности принятия УР»
Казань 2005План
Введение
1.    Постановказадачи.
a.    Принятие решенийв условиях риска
b.    Критерии«ожидаемого значения дисперсии»
c.     Критерийпридельного уровня
d.    Критерий наиболеевероятного исхода
e.     Учетнеопределенных факторов, заданных законом распределения
2.    Постановка задачи стохастического программирования
3.    Метод статистического моделирования
Заключение
Список используемойлитературы
Введение
   В условиях рыночной экономики степеньнеопределенности экономического поведения субектов рынка достаточно высока.Всвязи с этим большое практическое значение приобретают методы перспективногоанализа, когда нужно принимать управленческие решения, оценивая возможныеситуации и делая выбор из нескольких альтернативных вариантов .
   Теоритически существует четыре типа ситуаций, в которых необходимо проводить анализ и принимать управленческие решения, втом числе и на уровне предприятия: в условиях определенности, риска,неопределенности, конфликта. Рассмотрим каждый из этих случаев .
В процессе управления организациями принимаетсяогромное количество самых разнообразных решений, обладающих различнымихарактеристиками.















1.   Постановка задачи
Какправило, большинство реальных инженерных задач содержит в том или ином виденеопределенность. Можно даже утверждать, что решение задач с учетом разноговида неопределенностей является общим случаем, а принятие решений без ихучета — частным. Однако, из-за концептуальных и методических трудностейв настоящее время не существует единого методологического подхода к решениютаких задач. Тем не менее, накоплено достаточно большое число методовформализации постановки и принятия решений с учетом неопределенностей. Прииспользовании этих методов следует иметь в виду, что все они носятрекомендательный характер и выбор окончательного решения всегда остается зачеловеком (ЛПР).
Как ужеуказывалось, при решении конкретных задач с учетом неопределенностей инженер сталкиваетсяс разными их типами. В исследовании операций принято различать три типанеопределенностей:
·        неопределенностьцелей; неопределенность наших знаний об окружающей обстановке и действующих в данном явлении факторах (неопределенность природы); неопределенность действий активного или пассивного партнера или противника.
В приведенной выше классификации типнеопределенностей рассматривается с позиций того или иного элементаматематической модели. Так, например, неопределенность целей отражается при постановкезадачи на выборе либо отдельных критериев, либо всего вектора полезногоэффекта.
С другой стороны, два другие типанеопределенностей влияют, в основном, на составление целевой функции уравненийограничений и метода принятия решения. Конечно, приведенное выше утверждениеявляется достаточно условным, как, впрочем, и любая классификация. Мы приводимего лишь с целью выделить еще некоторые особенности неопределенностей, которыенадо иметь в виду в процессе принятия решений.
Дело в том, что кроме рассмотренной вышеклассификации неопределенностей надо учитывать их тип (или «род») сточки зрения отношения к случайности.
По этому признаку можно различать стохастическую(вероятностную) неопределенность, когда неизвестные факторы статистическиустойчивы и поэтому представляют собой обычные объекты теории вероятностей- случайные величины (или случайные функции, события и т.д.). При этом должныбыть известны или определены при постановке задачи все необходимыестатистический характеристики (законы распределения и их параметры).[1]
Примером таких задач могут быть, вчастности, система технического обслуживания и ремонта любого вида техники,система организации рубок ухода и т.д.
Другим крайним случаем может бытьнеопределенность нестохастического вида (по выражению Е.С.Вентцель-«дурная неопределенность»), при которой никаких предположений остохастической устойчивости не существует. Наконец, можно говорить опромежуточном типе неопределенности, когда решение принимается на основаниикаких-либо гипотез о законах распределения случайных величин. При этом ЛПРдолжен иметь в виду опасность несовпадения его результатов с реальнымиусловиями. Эта опасность несовпадения формализуется с помощью коэффициентов риска.
Рассмотрим примеры и методы принятиярешений с учетом указанных выше типов неопределенностей.

Пример 1.1. Лесопосадки
Допустим, что ставится задача наиболееэффективного выращивания саженцев при лесопосадках путем внесения в почвуопределенного количества удобрений (или создания наиболее эффективной системыгидромелиорации). При этом, как правило, используются стратегии,максимизирующие доход (например, прирост древесины), или минимизирующие расход(стоимость удобрений или затрат на мелиорацию). При этом, очевидно, что обецели противоречат друг другу и с точки зрения строго научной постановки задачане имеет решения, ибо минимум затрат — нуль, а с нулевыми затратами добитьсякакого-либо эффекта теоретически невозможно.

Пример 1.2. Проектирование лесных машин
Другим очень распространенным примеромявляется создание любой машины. В частности, при создании лесной машиныставятся задачи получения максимальной производительности, минимального влиянияна окружающую среду, высокой надежности и минимальной себестоимости.Противоречивость целей здесь налицо и реальная конструкция всегда будеткаким-то компромиссом, достигаемым путем определенных уступок по каким-либокачествам. Собственно, в получении таких компромиссных решений и заключаетсяосновная проблема.
Таким образом, неопределенность целейтребует привлечения каких-либо гипотез, помогающих получению однозначныхрешений. В данном случае учет фактора неопределенности цели, как ужеуказывалось, приводит к необходимости рассмотрения другой проблемы, котораяформулируется в виде проблемы принятия оптимальных многоцелевых решений,которая подробно рассматривается авторами в главе 7. В этой же главе мырассмотрим указанные выше другие типы неопределенностей.
1.    Принятие решений в условиях риска
Как указывалось выше, с точки зрениязнаний об исходных данных в процессе принятия решений можно представить двакрайних случая: определенность и неопределенность. В некоторых случаяхнеопределенность знаний является как бы «неполной» и дополняетсянекоторыми сведениями о действующих факторах, в частности, знанием законов распределенияописывающих их случайных величин. Этот промежуточный случай соответствуетситуации риска. Принятие решений в условиях риска может быть основано наодном из следующих критериев:
·        критерийожидаемого значения; комбинации ожидаемого значения и дисперсии; известного предельного уровня; наиболее вероятного события в будущем.
Рассмотрим более подробно применениеэтих критериев.
1. Критерий ожидаемого значения (КОЗ).
Использование КОЗ предполагает принятиерешения, обуславливающего максимальную прибыль при имеющихся исходных данных овероятности полученного результата при том или другом решении. По существу, КОЗпредставляет собой выборочные средние значения случайной величины. Естественно,что достоверность получаемого решения при этом будет зависеть от объемавыборки. Так, если обозначить
КОЗ — Е(x1,x2,...,xn), (1.1)
где
x1,x2,...,xn — принимаемые решения при ихколичестве, равном n, то
E(xi)  M(xi), (1.2)
где
M(xi)- математическое ожидание критерия.
Таким образом, КОЗ может применяться,когда однотипные решения в сходных ситуациях приходится принимать большое числораз.
Приведем пример использования этогокритерия для принятия решения.
Пример 1.1.
Пусть мастерская имеет n станков, причемремонт отказавшего станка производится индивидуально, а если станки неотказывают, то через T интервалов времени производится профилактический ремонтвсех станков. Задача заключается в определении оптимального значения T, прикотором общие затраты на ремонт будут минимальны. Очевидно, что задача можетбыть решена, если известна вероятность pt отказа одного станка вмомент времени t. Эта неопределенность и представляет в данном случае элемент«риска».
КОЗ для данного случая запишется так:
E[C(T)] = (C1E(nt) + C2 n)/T, (1.3)
где
E[C(T)]- КОЗ затрат на ремонт станков за один интервал времени;
C1 — затраты на ремонт одного станка при внезапном отказе;
E(nt)- математическое ожидание вышедших из строя станков в момент t;
C2 — затраты на профилактический (плановый) ремонт одного станка.
Допустим, что nt имеетбиноминальное распределение, тогда
E(nt)= n pt и
E[C(T)] =[n (C1pt+ C2)]/T. (1.3а)
Необходимыеусловия оптимального значения T* имеют вид:
E[C(T*-1)]E[C(T*)] и E[C(T*+1)] E[C(T*)]. (1.4)
2.    Критерий «ожидаемого значения — дисперсия».
Как указывалось выше, КОЗ имеет областьприменения, ограниченную значительным числом однотипных решений, принимаемых ваналогичных ситуациях. Этот недостаток можно устранить, если применятькомбинацию КОЗ и выборочной дисперсии s2. Возможным критерием приэтом является минимум выражения
E(Z,  )= E(Z)  k U(z), (1.5)
где
E(Z, ) — критерий «ожидаемого значения — дисперсия»;
k- постоянный коэффициент;
U(Z)= mZ/S — выборочный коэффициент вариации;
mZ — оценка математического ожидания;
S- оценка среднего квадратического ожидания.
Знак«минус» ставится в случае оценки прибыли, знак «плюс» — вслучае затрат.
Из зависимости (1.5) видно, что в данномслучае точность предсказания результата повышается за счет учета возможногоразброса значений E(Z), то есть введения своеобразной «страховки».При этом степень учета этой страховки регулируется коэффициентом k, который какбы управляет степенью учета возможных отклонений. Так, например, если для ЛПРимеет большое значение ожидаемые потери прибыли, то k>>1 и при этомсущественно увеличивается роль отклонений от ожидаемого значения прибыли E(Z)за счет дисперсии.

3.    Критерий предельного уровня.
Этот критерий не имеет четко выраженнойматематической формулировки и основан в значительной степени на интуиции иопыте ЛПР. При этом ЛПР на основании субъективных соображений определяет наиболееприемлемый способ действий. Критерий предельного уровня обычно не используется,когда нет полного представления о множестве возможных альтернатив. Учетситуации риска при этом может производиться за счет введения законовраспределений случайных факторов для известных альтернатив.
Несмотря на отсутствие формализациикритерием предельного уровня пользуются довольно часто, задаваясь их значениямина основании экспертных или опытных данных.[2]
4.    Критерий наиболее вероятного исхода.
Этот критерий предполагает заменуслучайной ситуации детерминированной путем замены случайной величины прибыли(или затрат) единственным значением, имеющим наибольшую вероятностьреализации. Использование данного критерия, также как и в предыдущем случаев значительной степени опирается на опыт и интуицию. При этом необходимоучитывать два обстоятельства, затрудняющие применение этого критерия:
·        критерийнельзя использовать, если наибольшая вероятность события недопустимомала; применение критерия невозможно, если несколько значений вероятностей возможного исхода равны между собой.
 
5. Учет неопределенных факторов,заданных законом распределения.
Случай, когда неопределенные факторызаданы распределением, соответствует ситуации риска. Этот случай можетучитываться двумя путями. Первый — анализом адаптивных возможностей,позволяющих реагировать на конкретные исходы; второй — методически, присопоставлении эффективности технических решений. Суть первого подходазаключается в том, что законы распределения отдельных параметров на этапе проектированиямогут быть определены с достаточной степенью приближения на основесопоставления с аналогами, из физических соображений или на базе статистическихданных и данных прогнозов.
Методический учет случайных факторов,заданных распределением, может быть выполнен двумя приемами: заменой случайныхпараметров их математическими ожиданиями (сведением стохастической задачи кдетерминированной) и «взвешиванием» показателя качества повероятности (этот прием иногда называют «оптимизация в среднем»).
Первый прием предусматривает определениематематического ожидания случайной величины v — M(v) и определение зависимостиW(M(v)), которая в дальнейшем оптимизируется по u. Однако сведение кдетерминированной схеме может быть осуществлено в тех случаях, когда диапазонизменения параметра u невелик или когда зависимость W(u) линейна или близка кней.
Второй прием предусматривает определениеW в соответствии с зависимостями соответственно для дискретных и непрерывныхвеличин:


где
P(ui)- ряд распределений случайной величины ui;
f(ui)- плотность распределения случайной величины u.
При описании дискретных случайныхвеличин наиболее часто используют распределения Пуассона, биноминальное. Длянепрерывных величин основными распределениями являются нормальное, равномерноеи экспоненциальное.


























2.   Постановка задачи стохастического программирования
Приперспективном и оперативном планировании работы лесопромышленного предприятиявозникает необходимость в учете ряда случайных факторов, существенно влияющихна процесс производства. К таким факторам относятся спрос, который не всегдаможет быть предсказуем, непредусмотренные сбои в поступлении сырья, энергии,рабочей силы, неисправности и аварии оборудования. Еще больше случайныхфакторов необходимо учитывать при планировании лесохозяйственного производства,эффективность которого зависит от климатических условий, урожайности и т.д.Поэтому задачи планирования лесного производства целесообразно ставить иисследовать в терминах и понятиях стохастического программирования, когда элементызадачи линейного программирования (матрица коэффициентов A, вектора ресурсов b,вектора оценок c) часто оказываются случайными. Подобного типа задачи ЛПпринято классифицировать как задачи стохастического программирования (СП).[3]
Подходы к постановке и анализустохастических задач существенно различаются в зависимости отпоследовательности получения информации — в один прием или по частям. Припостроении стохастической модели важно также знать, необходимо ли принятьединственное решение, не подлежащее корректировке, или можно по мере накопленияинформации один или несколько раз корректировать решение. В соответствии с этимв стохастическом программировании исследуются одноэтапные, двухэтапные имногоэтапные задачи.
В одноэтапных задачахрешение принимается один раз и не корректируется. Они различаются попоказателям качества решения (по целевым функциям), по характеру ограничений ипо виду решения.
Задача СП может быть сформулирована в M-и P- постановках по отношению к записи целевой функции и ограничений.
Случайны элементы вектора с (целеваяфункция).
При M-постановке целевая функция Wзаписывается в виде

что означает оптимизацию математическогоожидания целевой функции. От математического ожидания целевой функции можноперейти к математическому ожиданию случайной величины cj

При P- постановке имеем:
·        примаксимизации

где
Wmin — предварительно заданное допустимое наихудшее (минимальное) значение целевойфункции.
·        приминимизации

где
Wmax — предварительно заданное допустимое наихудшее (максимальное) значение целевойфункции.
Суть P-постановки заключается в том, чтонеобходимо найти такие значения xj, при которых максимизируетсявероятность того, что целевая функция будет не хуже предельно допустимогозначения.
Ограничения задачи, которые должнывыполняться при всех реализациях параметров условий задачи, называются жесткимиограничениями. Часто возникают ситуации, в которых постановка задачипозволяет заменить жесткие ограничения их усреднением по распределениюслучайных параметров. Такие ограничения называют статистическими:
  (1.12)
В тех случаях, когда по содержательнымсоображениям можно допустить, чтобы невязки в условиях не превышали заданных свероятностями, небольшими  i>0, говорят о стохастическихзадачах с вероятностными ограничениями:
  (1.13)
т.е. вероятность выполнения каждогозаданного ограничения должна быть не менее назначенной величины  i.Параметры  i предполагаются заданными или являются решениямизадачи более высокого уровня.
Представленные задачи как в M-, так и вP- постановках непосредственно решены быть не могут. Возможным методом решенияэтих задач является переход к их детерминированным эквивалентам. В основе этогоперехода лежит использование закона распределения случайной величины. Винженерной практике наиболее часто используется нормальный закон распределения,поэтому дальнейшие зависимости приведем для этого случая.
Принимаем, что aij, bi,cj подчинены нормальному закону распределения. В этом случае будетсправедлива следующие детерминированные постановки:
·        P- постановка целевой функции, максимизация:

где
j — математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величиныcj.
·        P- постановка целевой функции, минимизация:

·        Вероятностныеограничения:

где
ijи bi;
i.
Сделаемнесколько замечаний к приведенным зависимостям:
·        задачастохастического программирования сведена к задаче нелинейной оптимизации иможет быть решена одним из рассматриваемых ранее методов; сравнение ограничения ресурса в стохастическом программировании и аналогичным ограничением в задаче линейного программирования показывает, что учет случайного характера величин aij и bi приводит к уменьшению располагаемого ресурса на величину
т.е.к необходимости в дополнительном ресурсе. Однако этот дополнительный ресурсможет оказаться неиспользованным, но для гарантированного выполнения плана егоиметь необходимо.
 
3.   Метод статистического моделирования
Приведенные формулы (1.6) и (1.7) могутбыть использованы для систем независимых случайных величин. Однако длятехнических систем, как правило, случайные параметры являются зависимыми.Причем эта зависимость не функциональная, а корреляционная. Поэтому для анализаслучайных факторов, заданных распределением, широкое применение нашли теориямарковских процессов и метод статистического моделирования (метод Монте-Карло).
В задачах принятия оптимальных решенийширокое применение получил метод Монте-Карло. Основными особенностями этогометода, основанного на многократном повторении одного и того же алгоритма длякаждой случайной реализации, являются: универсальность (метод не накладываетпрактически никаких ограничений на исследуемые параметры, на вид законовраспределения); простота расчетного алгоритма; необходимость большого числареализаций для достижения хорошей точности; возможность реализации на егооснове процедуры поиска оптимальных параметров проектирования. Отметим основныефакторы, определившие применение метода статистического моделирования в задачахисследования качества при проектировании: метод применим для задач,формализация которых другими методами затруднена или даже невозможна; возможноприменение этого метода для машинного эксперимента над не созданной в натуресистемы, когда натурный эксперимент затруднен, требует больших затрат времени исредств или вообще не допустим по другим соображениям.
Учет неопределенных пассивных условий
Неопределенные факторы, закон распределениякоторых неизвестен, являются наиболее характерными при исследовании качестваадаптивных систем. Именно на этот случай следует ориентироваться при выборегибких конструкторских решений. Методический учет таких факторов базируется наформировании специальных критериев, на основе которых принимаются решения.Критерии Вальда, Сэвиджа, Гурвица и Лапласа уже давно и прочно вошли в теориюпринятия решений.
В соответствии с критерием Вальда вкачестве оптимальной выбирается стратегия, гарантирующая выигрыш не меньший,чем «нижняя цена игры с природой»:

Правило выбора решения в соответствии скритерием Вальда можно интерпретировать следующим образом: матрица решений [Wir]дополняется еще одним столбцом из наименьших результатов Wir каждойстроки. Выбрать надлежит тот вариант, в строке которого стоит наибольшеезначение Wir этого столбца.
Выбранное таким образом решениеполностью исключает риск. Это означает, что принимающий решение не можетстолкнуться с худшим результатом, чем тот, на который он ориентируется. Какиебы условия Vj не встретились, соответствующий результат не можетоказаться ниже W. Это свойство заставляет считать критерий Вальда одним изфундаментальных. Поэтому в технических задачах он применяется чаще всего каксознательно, так и неосознанно. Однако в практических ситуациях излишнийпессимизм этого критерия может оказаться очень невыгодным.
Применение этого критерия может быть оправдано,если ситуация, в которой принимается решение, характеризуется следующимиобстоятельствами:
·        овероятности появления состояния Vj ничего не известно; с появлением состояния Vj необходимо считаться; реализуется лишь малое количество решений; не допускается никакой риск.
Критерий Байеса-Лапласа в отличие откритерия Вальда, учитывает каждое из возможных следствий всех вариантоврешений:

Соответствующее правило выбора можноинтерпретировать следующим образом: матрица решений [Wij]дополняется еще одним столбцом, содержащим математическое ожидание значенийкаждой из строк. Выбирается тот вариант, в строках которого стоит наибольшеезначение Wir этого столбца.
Критерий Байеса-Лапласа предъявляет кситуации, в которой принимается решение, следующие требования:
·        вероятностьпоявления состояния Vj известна и не зависит от времени; принятое решение теоретически допускает бесконечно большое количество реализаций; допускается некоторый риск при малых числах реализаций.
В соответствии с критерием Сэвиджав качестве оптимальной выбирается такая стратегия, при которой величина рискапринимает наименьшее значение в самой неблагополучной ситуации:

Здесь величину W можно трактовать какмаксимальный дополнительный выигрыш, который достигается, если в состоянии Vjвместо варианта Ui выбрать другой, оптимальный для этого внешнегосостояния, вариант.
Соответствующее критерию Сэвиджа правиловыбора следующее: каждый элемент матрицы решений [Wij] вычитается изнаибольшего результата max Wij соответствующего столбца. Разностиобразуют матрицу остатков. Эта матрица пополняется столбцом наибольшихразностей Wir. Выбирается тот вариант, в строке которого стоитнаименьшее значение.[4]
Согласно критерию Гурвица выбираетсятакая стратегия, которая занимает некоторое промежуточное положение между крайнимпессимизмом и оптимизмом:

где
- коэффициент пессимизма, выбираемый в интервале [0,1].
Правило выбора согласно этому критериюследующее: матрица решений [Wij] дополняется столбцом, содержащимсредние взвешенные наименьшего и наибольшего результатов для каждой строки(2.6). Выбирается тот вариант, в строках которого стоят наибольшие элементы Wirэтого столбца.
При  =1 критерий Гурвица превращаетсяв критерий Вальда (пессимиста), а при  =0 — в критерий азартногоигрока. Отсюда ясно, какое значение имеет весовой множитель . Втехнических приложениях правильно выбрать этот множитель бывает так же трудно,как правильно выбрать критерий. Поэтому чаще всего весовой множитель =0.5 принимается в качестве средней точки зрения.
Критерий Гурвица предъявляет к ситуации,в которой принимается решение, следующие требования:
·        овероятности появления состояния Vj ничего не известно; с появлением состояния Vj необходимо считаться; реализуется лишь малое количество решений; допускается некоторый риск.
Критерий Ходжа-Лемана базируетсяодновременно на критериях Вальда и Байеса-Лапласа:

Правило выбора, соответствующее этомукритерию, формулируется следующим образом: матрица решений [Wij]дополняется столбцом, составленным из средних взвешенных (с постоянными весами)математического ожидания и наименьшего результата каждой строки. Отбирается тотвариант решения, в строке которого стоит наибольшее значение этого столбца.
При z=1 критерий преобразуется вкритерий Байеса-Лапласа, а при z=0 превращается в критерий Вальда. Такимобразом, выбор параметра z подвержен влиянию субъективизма. Кроме того, безвнимания остается и число реализаций. Поэтому этот критерий редко применяетсяпри принятии технических решений.
Критерий Ходжа-Лемана предъявляет кситуации, в которой принимается решение, следующие требования:
·        овероятности появления состояния Vj ничего не известно, но некоторыепредположения о распределении вероятностей возможны; принятое решение теоретически допускает бесконечно большое количество реализаций; допускается некото