Абелевая группа в алгебре

Определение. Абелевая группа  называется конечно-порожденной, если , такие что , где .
Упражнение. Доказать, что  не конечно-порожденная.
                Определение. Абелевая группа  называется свободной, если в ней есть базис, т.е. такой набор элементов , что .
Теорема. Абелевая группа  свободна тогда и только тогда, когда .
Доказательство.
                . Пусть  - базис , тогда если , то , . Возьмем отображение  по правилу .  - это изоморфизм, следовательно .
. Пусть . Предъявим базис в : , тогда .
                Определение. Ранг свободной абелевой группы равен числу векторов в базисе.
Теорема. Ранг свободной абелевой группы определен однозначно.
Доказательство.
                Мы докажем эту теорему немного необычным, но красивым способом.
                Пусть  имеем базис , рассмотрим группу . Пусть  - гомоморфизм. Если , то . Таким образом  однозначно задается значениями на базисных элементах: . Следовательно всего различных гомоморфизмов будет . Пусть в  есть базис из  элементов, тогда .
                Теорема. Пусть  - свободная абелевая группа ранга  и  - подгруппа в . Тогда  - свободная абелевая группа ранга .
Примечание. В подобной теореме о размерности линейных пространств из совпадения размерностей. следовало совпадение подгруппы с самой группой, однако здесь это не верно. Пример: группа  и подгруппа  имеют ранг .
Доказательство. (по индукции)
, имеем, что  и утверждение теоремы выполнены, т.к. любая бесконечная подгруппа  является изоморфной , т.е. свободной абелевой ранга .
Пусть для  теорема доказана. Докажем ее для . Пусть  - базис в . Рассмотрим множество  - линейная оболочка первых  базисных элементов (является свободной абелевой группой с базисом . Рассмотрим отображение  такое, что если , то . Тогда  - это эпиморфизм и .  - это подгруппа в .
Если , то  и (по предположению индукции)  - свободная абелевая группа ранга .
Если , то .  - свободная подгруппа в  с базисом ,  (по предположению индукции), следовательно  - свободная подгруппа в .  элемент , такой что . Покажем, что  - базис в , .
Пусть , тогда , , тогда , следовательно, . Т.е.  и . Существование представления мы доказали, осталось доказать его единственность, для этого достаточно доказать, что из  следует, что все . Имеем  и от нашего равенства остается . Следовательно, т.к.  - базис в  и все остальные коэффициенты  равны нулю.