Группа G и ее нормальные подгруппы

Определение. Пусть  - группа и  ее нормальные подгруппы. Тогда  является прямым (внутренним) произведением групп , если каждый элемент группы  имеет и притом единственное представление , где . Обозначается  (если операция в группе - сложение, то обозначается  - прямая сумма).
Упражнение. Докажите, что .
                Предложение. Если  и , , , то .
Доказательство.
                Рассмотрим коммутатор , аналогично . Следовательно, , в силу единственности разложения имеем, что , т.е. .
                Следствие. Пусть , , тогда  и .
Доказательство.
                , здесь элемент  перестановочен с элементами  и  при  по предложению.
Имеем .
                Пример.
                , где  - окружность единичного радиуса,  - положительные вещественные числа. Т.е. любое число  представимо и притом однозначно в виде .
Лекция 7 (15.10.2001)
                Теорема. Группа  не представима в виде прямой суммы.
Доказательство. (от противного)
Допустим, что , где , тогда . Возьмем  и , . Рассмотрим элемент , он  и . Получили, что  и  - противоречие с .
                Теорема. Пусть  и , , где . Тогда .
Доказательство.
                Имеем . Следовательно, , т.е.  - это общее кратное порядков элементов . Значит минимальное такое  - НОК порядков.
                Посмотрим, как раскладываются в прямые суммы конечные циклические группы (только что мы доказали, что бесконечные циклические группы не раскладывается, т.к. они изоморфны ).
                Теорема. Если  - конечная группа и , то следующие условия эквивалентны:
                1)  - циклическая;
                2)  - циклические и их порядки  взаимно просты.
Доказательство.
                .  - являются подгруппами в , следовательно, они циклические. Возьмем произвольный , , . Пусть порядки  не взаимно просты, тогда . Тогда , по следствию из теоремы Лагранжа , т.к. . Следовательно, порядок каждого элемента , т.е. группа  не циклическая. Получили противоречие с тем, что порядки  не взаимно просты.
. Имеем, что  и  при . Возьмем элемент , тогда , следовательно .
                Следствие 1. Пусть  - простое число. Циклическая группа порядка  не разложима.
                Следствие 2. Если  и , тогда .
Доказательство.
                Группа  состоит из элементов группы  и ее порядок равен порядок равен .