Группа G

Определение. Пусть  - группа. Положим . Группа  называется разрешимой, если .
Примеры:
                1) абелевые группы разрешимы, т.е. .
2) , т.к. , следовательно,  - абелевая группа. Следовательно, и  разрешима.
3) При  мы знаем, что . Следовательно,  для любого , и группа  неразрешима.
                Предложение. Пусть  - гомоморфизм групп. Тогда  и, если  - сюръективно, то .
Доказательство. (по индукции по )
База индукции. , оба утверждения верны.
1) Пусть для  утверждение верно, докажем его для . . Если , то , где , тогда , т.к. по предположению индукции .
2) Аналогично, пусть для утверждение верно, докажем его для . Нам надо доказать, что для любого элемента  найдется , такой что . Имеем, что , где , по предположению индукции , где . Но тогда , следовательно, .
                Предложение. .
Доказательство. (по индукции по )
База индукции. , утверждение верно.
Пусть утверждение верно для , докажем его для . Возьмем произвольный , тогда , где . Пусть , тогда , т.к. по предположению индукции . Следовательно, .
                Упражнение. Пусть  - подгруппа в . Если  - разрешима, то  тоже разрешима.
                Предложение. Если , то следующие два утверждения эквивалентны:
1)  разрешима;
2)  и  разрешимы.
Доказательство.
                .
В силу предыдущего упражнения  будет разрешима. Рассмотрим естественный гомоморфизм , . Этот гомоморфизм всегда сюръективен, следовательно  имеем, что . Т.к.  - разрешима, то , такое что , следовательно  , следовательно  разрешима.
.
Пусть  и . Тогда , следовательно, . Следовательно, , т.е.  разрешима.
                Теорема. Пусть  - группа. Следующие утверждения эквивалентны:
                1)  - разрешима;
                2) существует ряд нормальных подгрупп , такой, что  - абелева.
Доказательство.
                .
Положим , тогда  и  - абелева, т.к. фактор группа по коммутанту всегда абелева.
 (по индукции по ).
База индукции,  . Тогда  и  - абелева, следовательно, разрешима.
Пусть утверждение верно для , докажем его для . В группе  есть ряд длины , следовательно, по предположению индукции  разрешима. Более того,  и  - абелева (разрешима), следовательно и  - разрешима.
                Теорема. Конечная -группа разрешима.
Доказательство. (индукция по порядку группы).
База индукции, , следовательно  - абелева и разрешима.
Пусть утверждение верно для , докажем его для . Рассмотрим центр , мы знаем, что ,  - абелева (разрешима) и , т.е.  (разрешима по предположению индукции), следовательно и  разрешима.
                Рассмотрим множество  - множество верхнетреугольных матриц размера  с ненулевыми числами поля  на диагонали. Рассмотрим еще множество  - подмножество в  с единицами на диагонали.
                Упражнение. Докажите, что  - группа по умножению матриц, а  подгруппа в ней.
                Предложение.  и .
Доказательство.
                Рассмотрим отображение , отображение в  - множество наборов из  ненулевых чисел поля . Это отображение действует по правилу . Введем операцию умножения в множестве : . Теперь  - это абелевая группа и   - гомоморфизм групп, причем , следовательно . Следовательно  - это абелевая группа, изоморфная , т.е.  - абелева. Рассмотрим естественный гомоморфизм , тогда . Следовательно, .
                Теорема. Группа  всегда разрешима.
Доказательство.
                Для доказательства теоремы, нам достаточно доказать разрешимость группы  и воспользоваться предыдущим предложением. Докажем это по индукции по .
База индукции, .  - разрешима.
Пусть утверждение верно для , докажем его для . Рассмотрим отображение , определенное по следующему правилу: пусть , тогда . Если , то .
               Лемма.  - гомоморфизм групп.
               Доказательство.
.
                Рассмотрим , т.к. , то  - абелева группа (разрешима). Кроме того  - по предположению индукции разрешима. Следовательно  разрешима и  разрешима.